Добавил:

AlexMograine Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

Процессы и аппараты химической технологии

Файл:

ПАХТ (все лекции)

.pdf

Скачиваний:

213

Добавлен:

10.10.2020

Размер:

12.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

площадку, перпендикулярную оси z. Тензор потока импульса за счет молекулярного механизма называется тензором вязких напряжений:

~	xx	xy	xz
~	yx	yy	yz	, где	xx ,	yy,	zz - нормальные напряжения, остальные –
в	yx	yy	yz	, где	xx ,	yy,	zz - нормальные напряжения, остальные –
	zx	zy	zz

касательные.

Все элементы тензора вязких напряжений потока импульса можно объяснить аналогично выше рассмотренному zx .

Конвективный перенос импульса

Среда движется по оси x со скоростью wx . Тогда импульс единичного объема равен w x . Следовательно, перенос количества движения по оси x за единицу времени через единицу поверхности равен:

xx w x w x .

(2.23.)

Если жидкость движется и по оси y , тогда импульс wx будет переноситься и в направлении по оси y:

yx w y w x .

(2.24.)

Аналогичным образом можно рассмотреть перенос импульса по всем направлениям, что дает 9 компонентов тензора конвективного потока импульса:

~			(2.25.)
	w w .

Турбулентный перенос импульса

Перенос импульса за счет турбулентного механизма можно записать по аналогии с молекулярным:

		zx		т	w x	т	w x	,	(2.26.)

					z		z

где т ,	т - динамический и		кинематический			коэффициенты			турбулентной

вязкости. Остальные 8 элементов тензора турбулентного потока импульса можно записать аналогично.

При конвективном течении жидкости поток импульса складывается из молекулярного и конвективного, а при турбулентном – молекулярного,

конвективного и турбулентного:
~	~	(2.27.)
w w в .		(2.27.)

Тензор вязких напряжений ~в , состоит из 9 элементов, которые в нашем

случае включают молекулярный и турбулентный перенос импульса: Например:

zx	м	т	w x	.	(2.28.)

			z

И так, рассмотрены уравнения переноса массы, энергии и импульса. Они аналогичны:

		субстанция в единичном
конвективный поток		объеме :		конвективная
		объеме :
	=	- масса,	x
субстанции		E - энергия,		скорость
		E - энергия,

		w - импульс

		коэффициен т переноса :
молекулярный поток	=	D - массы,	x	движущая сила
молекулярный поток		D - массы,		движущая сила
субстанции		- энергии,		процесса
		- импульса.

Турбулентный поток переноса субстанций аналогичен молекулярному.

2.1.5. Законы сохранения субстанций

Законы сохранения могут записываться применительно как ко всей системе или ее частям (интегральная форма), так и к отдельным точкам пространства (локальная форма), использоваться для среды в целом или отдельных компонентов.

2.1.5.1. Закон сохранения массы

Суммарное количество массы в изолированной системе неизменно:

M = const, М = 0, ddtМ 0 .

Рассмотрим закон сохранения массы для открытых систем.

Интегральная форма (материальный баланс)

Изменение массы, в некотором фиксированном разностью прихода и отвода массы из выделенного объема:

М V Мвх Мвых ,

где - изменение плотности.
		dМ
Через массовый расход M			dt		:
	dМ					d
	dt			V		dt	Мвх Мвых .
	dt					dt
Для i-го компонента:
	dМ					d i
	dt			V		dt		Mi вх Mi вых
	dt					dt

объеме V, вызывается

(2.29.)

	(2.30.)
rmi V ,	(2.31.)

где rmi - масса компонента i, образующаяся в единице объема за единицу времени (источник массы, учет, например, химической реакции).

Локальная форма сохранения массы

	dy	dx
	dy	dz
		dz
jmx		jmx+dx

Рис 2.4. Изменение массового потока вдоль оси x

Массовый расход среды, входящий в объем dV в направлении оси x через

левую площадь dydz (рис.2.4.)				m		dydz , а выходящий через
левую площадь dydz (рис.2.4.)			М xвх jx			dydz , а выходящий через
противоположную грань dydz
		m	m		j xm
М x вых	j	x dx	dydz ( j x				dx)dydz .
		x dx				x

Изменение массы в объеме dV за счет переноса по направлению x:

	jxm		jxm
М xв х М xвых	x	dxdydz		dV .	(2.32.)
	x		x

Суммарное изменение массы в объеме dV равно сумме изменений по всем трем осям:

j x

j y

j z

Мв х Мв ых

dV .

(2.33.)

Изменение массового расхода в объеме dV может быть только за счет

изменения плотности:

Мв х Мв ых dV

(2.34.)

Тогда получим:

jmy

= 0,

(2.35.)

или упрощенно:

(2.36.)

j m divj m w .

Это и есть уравнение неразрывности для сжимаемой среды. Если плотность

постоянна:
	,	(2.37.)
w 0

–уравнение неразрывности для несжимаемой среды.

Вмногокомпонентной системе закон сохранения i-го компонента:

i
i	j m	mi	,	(2.38.)
	j m		,	(2.38.)
t	i
t

где mi - изменение массы компонента i за счет источника.

В общем случае закон сохранения массы применительно и единичному объему можно сформулировать следующем образом:

скорость накопления	результирующая скорость	источник массы
скорость накопления	результирующая скорость	источник массы
массы	поступления массы
массы	поступления массы

Для многокомпонентных систем уравнение записывают обычно для потока вещества и тогда вместо плотностей используются мольные концентрации компонентов:

ci			mi
	j	i		,	(2.39.)

t			mi

где mi - мольная масса компонента i.

При отсутствии источника массы, с учетом выражения для потока компонента, нестационарная конвективная диффузия записывается уравнением:

w D

тi

(2.40.)

Распишем уравнение (2.40.)

(2.41.)

тi

При допущении Dij = const, Dтi = 0 и равенстве нулю среднемассовой скорости получим:

ci	D	2c	,	(2.42.)

t	ij	i

– это и есть второй закон Фика.

Для стационарной диффузии получим:

2c	i	= 0.	(2.43.)
	i

2.1.5.2. Закон сохранения энергии

Изолированная система не обменивается с окружающей средой массой и энергией, поэтому суммарная энергия этой системы постоянна:

E = const, E = 0, dEdt 0 .

Рассмотрим закон сохранения энергии для открытой системы.

Интегральная форма закона сохранения энергии (первый закон термодинамики)

Изменение энергии в системе вызывается разностью ее прихода и расхода. Учитывая, что энергия может передаваться в форме теплоты и работы можно записать:

			E	Q	Q	A	A		или dE Q A .	(2.44.)
				пр	расх	пр	расх
E - штрих означает, что E отнесена к единице массы.
A =	A	A	-	работа совершаемая			над	системой, поэтому перед		A в
	пр	расх

уравнение (2.44.) знак «-». Энергия системы складывается из внутренней U, кинетической Eк и потенциальной Eп. Если потенциальная энергия обусловлена

полем силы тяжести, то E gh :

E U	w2	gh .	(2.45.)
	2

Работа может совершаться движущейся средой по преодолению внешнего давления и трения:

A d	p	A	,

		тр

тогда с учетом (2.45.) и (2.46.) второе уравнение (2.44.) можно переписать:

Q dE A dU d	p	d w2	gdh A .


		2	тр

(2.46.)

(2.47.)

Рассмотрим частный случай закона сохранения энергии. Для идеальной изотермической жидкости (трение отсутствует, теплообмена с окружающей средой тоже нет) можно записать:

dU = 0, Q = 0, A				= 0,
			тр
тогда получим:		d w2
	p	d w2	gdh	0 .
d
d
		2

После интегрирования (2.48.) имеем:

p + w2 +gh = const.2

(2.48.)

(2.49.)

Это и есть уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения механической энергии единичной массы среды.

Локальная форма закона сохранения энергии

Локальное уравнение сохранения энергии можно получить для единичного объема следующим образом:

скорось на -

результирующая

скорость совершения

скорость совер -

шения работы

копления

скорость под -

работы против сил

энергии

вода энергии

давления

против сил

трения

Переносимая субстанция – энергия единичного объема E . Тогда:

(2.50.)

q p w в w .

На практике при рассмотрении процесса переноса тепла в изобарных условиях можно пренебречь работой по преодолению сил трения и изменением механической энергии. Тогда можно записать:

		cр T
				q qк qт .
			t	q qк qт .
			t

В этих условиях E cр T . Раскрывая выражение qкиqт
	cр T
			cр T w т T .
	t		cр T w т T .
	t
В частном случае ламинарного				движения	и	постоянства

характеристик ( cр , , const, т 0 ), это уравнение упрощается:

(2.51.)

получим:

(2.52.)

теплофизических

a 2T ,

(2.53.)

где

- коэффициент

молекулярной температуропроводности. Распишем

cр

уравнение (2.53.):

уравнение Фурье-Кирхгофа.

При теплопереносе в неподвижной среде (w = 0) получим уравнение

нестационарной теплопроводности Фурье:

a 2T .

(2.54.)

Для случая стационарного переноса тепла получено:

2T = 0.

(2.55.)

Решение дифференциальных уравнений, полученных на основе закона сохранения совместно с условиями однозначности, позволяет получить поля температуры и потока тепла в аппарате.

2.1.5.3. Закон сохранения импульса

Суммарный импульс изолированной системы есть величина постоянная:
P = const, P 0	,
		dP 0 .

Если же система находится под воздействием внешних сил, то производная от импульса системы по времени равна результирующей силе, действующей на систему.

Интегральная форма закона сохранения импульса

Изменение импульса в фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода импульса, а также источником импульса. Как известно, импульс является величиной векторной:


		P V w Mw вх		Mw вых	rVt ,	(2.56.)

где Mw вх ,		Mw вых	- приход и отвод импульса из объема V за время t, r -
количество	импульса,		образующегося в	единице	объема за	единицу времени

(источник импульса).

Локальная форма закона сохранения импульса

Аналогично законам сохранения массы и энергии можно получить

локальную (для точки) форму закона сохранения импульса:

скрость накопления

результирующая

сила

силы

скорость поступле -

импульса

ния импульса

давления

массовые

Отличие будет

заключаться

лишь

векторной

природе переносимой

субстанции – импульса единичного объема w :

(2.57.)

p a ,

- ускорение. Если массовая сила есть сила тяжести, то

где a

= g .

Расчленив тензор потока импульса на конвективную часть и тензор вязких

напряжений в по (2.27.), можно представить общий вид уравнения движения:

в p a .

(2.58.)

Здесь

t w w

Допустив const (молекулярная

вязкость)

для

ламинарного движения

получим уравнение Навье - Стокса:

a .

(2.59.)

Разделив уравнение (2.59.) на получим привычный вид уравнении Навье –

Стокса:

a .

(2.60.)

Развернутое уравнение для оси x в декартовой системе координат имеет

следующий вид:

1 P

(2.61.)

a x

Остальные уравнения по осям y и z имеют аналогичный вид: индексы меняются по кругу

z y

Рассмотрим частные случаи уравнения Навье – Стокса. Если среда идеальная, то = 0 и получим:

	1
dw
		p a	,
dt

– уравнение движения идеальной жидкости - уравнение Эйлера

Если среда находится в равновесии, то				и получим:
Если среда находится в равновесии, то	w 0			и получим:
		1
a			p 0 , p a		,
a			p 0 , p a		,

– уравнение равновесия Эйлера

(2.62.)

(2.63.)

2.1.6. Исчерпывающее описание процессов переноса

Дифференциальные уравнения второго порядка с частными производными, полученные на основе уравнений переноса и законов сохранения массы, энергии и импульса, а также условия однозначности к ним (начальные и граничные условия) составляют исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Проблема заключается лишь в математической сложности решения этих задач.

2.1.6.1. Условия однозначности

Общее решение дифференциального уравнения описывает целый класс процессов. Для получения частного решения необходимо задание условий однозначности. Они включают:

1)геометрическую форму и размеры системы;

2)физические свойства участвующих в процессе сред;

3)начальные и граничные условия.

Рассмотрим математическую формулировку этих условий.

1.	Форма и размер аппарата задаются уравнениями одной или нескольких
поверхностей:
	Ф x, y, z 0 .
2.	Физические свойства – плотность и коэффициенты переноса
T, ci	; T, ci ; D T, ci ; a T, ci - для ламинарного режима.

Для турбулентного режима течения среды ситуация более сложная:

T , ci ;

			T , c
			T , c	w , x, y, z ;
	т		i
D			T , c	w , x, y, z ;
		т	i
aт			T , ci	w , x, y, z .

Единственным упрощением для этого случая является близость значений этих

коэффициентов в одинаковых условиях: т Dт		a т .
3. Начальные условия в пределах Ф x, y, z 0 . В начальный момент времени
задаются:

w w x, y, z,0 ,

T T x, y, z,0 , p p x, y, z,0 , ci ci x, y, z,0 .

Граничные условия предполагают задания значений p, w, T и ci, либо значений


потоков , E , w на границах системы, т.е. на поверхности:
	Ф x, y, z 0 ,

wгр	w x, y, z, t ,	~
Tгр T x, y, z, t ,		гр x, y, z, t ,
Tгр T x, y, z, t ,
pгр p x, y, z, t ,		либо qгр q x, y, z, t ,
pгр p x, y, z, t ,
ci гр ci x, y, z, t ,		jiгр	j x, y, z, t .
ci гр ci x, y, z, t ,

2.1.6.2. Поля скорости, давления, температуры и концентраций. Пограничные слои

Для нахождения поля w, ,T и ci необходимо решить систему уравнений,

представляющую исчерпывающее математическое описание процессов переноса. К сожалению, в общем случае аналитическое решение этих уравнений не представляется возможным. Аналитическое решение возможно только для простейших случаев. Например: неизотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости по круглой трубе; поля T и ci в неподвижной среде.

Если протекают одновременно процессы переноса массы, импульса и энергии, то меняются физические свойства среды. Это означает, что эти уравнения необходимо решать совместно (так называемые сопряженные задачи). Эти уравнения могут быть решены численно, применяя компьютерные технологии. Обычно идут по пути упрощения исчерпывающего описания. Как правило, в системе имеется граница раздела фаз, вблизи которой происходит наибольшее изменение искомых величин (пограничный слой). Пограничным слоем считают области, примыкающие к границе раздела фаз, в которой происходит 99% изменения соответствующего параметра. Вне пограничного слоя – ядро потока. Упрощение заключается в пренебрежении изменениями полей в ядре потока.

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Процессы и аппараты химической технологии

#
10.10.20201.62 Mб145) Конструкция аппаратов гравитационного осаждения.pdf
#
10.10.20201.58 Mб86) Электроосаждение, фильтрование.pdf
#
10.10.20201.69 Mб137) Перемешивание.pdf
#
10.10.20201.26 Mб138) ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ.pdf
#
10.10.20201 Mб219) Промышленные способы передачи теплоты.pdf
#
10.10.202012.5 Mб213ПАХТ (все лекции).pdf