МЖиГ (Вся теория)

Чтобы получить полную энергию потока E в сечении S, нужно сложить энергии отдельных струек. Другими словами, dE нужно проинтегрировать по площади S. Запишем

α = 2 – для ламинарного режима; 1,05 < α < 1,1 – для турбулентного режима.

Коэффициент α называется коэффициентом Кориолиса и представляет собой отношение действительной кинетической энергии жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени, и кинетической энергии, которая имела бы место при том же расходе, если бы все частицы жидкости обладали одинаковыми скоростями, равной средней скорости.

В технике обычно встречаются турбулентные потоки, поэтому принимают α = 1; гидравлика обычно оперирует средними скоростями потоков, поэтому индекс «ср» при скорости w опускают, опускают также индекс «цт» при p и z. Тогда уравнение Бернулли

Как видно, уравнения (3.49) и (3.54) идентичны, однако физический смысл членов уравнений различный.

3.6.Примеры практического использования уравнения Бернулли.

1. Дроссельный расходомер (Рис. 3.8).

h p1 p2 , (3.55) ρg

Vɺ ch, c f d1,d2, h .

42

Рис. 3.8. Дроссельный расходомер

2. Эффект Магнуса (Рис. 3.9).

w1 wП wвр wП ωr ,

Рис. 3.9. Эффект Магнуса

3. Измерение скоростного напора (Рис. 3.10) Для концов трубки Пито:

Рис. 3.10. Измерение скоростного напора жидкости с помощью: 1 – пьезометрической трубки; 2 – трубки Пито

Уравнение Бернулли широко применяется для решения практических задач:

–расчет трубопроводной системы;

–определение высоты всасывания насосов, определение кавитационных явлений;

–определение потребного напора насоса;

–расчет струйных установок;

43

– определение расхода сужающими устройствами (диафрагма, сопло, труба Вентури, труба Долла и т.д.).

44

Глава 4. Потери напора

4.1. Основы теории гидродинамического подобия

Теория подобия предлагает проводить обработку опытных данных, используя обобщенные переменные (безразмерные комплексы, составленные из переменных, влияющих на данный процесс). При этом снижается число переменных (облегчается обработка опытных данных) и расширяются условия применимости полученных эмпирических уравнений (эти уравнения можно использовать не только для исследуемого экспериментального процесса, но и для процессов, подобных исследуемому). Например, известно, что на режим движения жидкости влияют средняя скорость w, эквивалентный диаметр dэ, плотность ρ, коэффициент динамической вязкости μ. Однако влияние этих четырех параметров можно оценить, используя одну обобщенную переменную – критерий Рейнольдса:

Применяя теорию подобия, можно проводить изучение сложных процессов на моделях (чаще всего – на лабораторных установках), а полученные эмпирические уравнения использовать для расчета подобных промышленных процессов и аппаратов.

Существует несколько видов гидродинамического подобия – геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие предполагает пропорциональность сходственных геометрических параметров.

Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направления векторов скоростей. Из кинематического подобия вытекает геометрическое подобие линий тока (то есть для кинематического подобия требуется соблюдение и геометрического подобия).

Динамическое подобие предполагает пропорциональность сил, действующих на сходственные объемы в кинематически подобных потоках и равенство углов, характеризующих направление этих сил.

Рассмотрим наиболее простой вид подобия – геометрическое. Пусть сечение двух геометрически подобных потоков имеет треугольную форму (Рис. 4.1). Условие геометрического подобия:

где Kℓ – константа подобия линейных размеров.

Рис. 4.1. Пример геометрического подобия 45

где iℓ - инвариант геометрического подобия.

Инвариант, составленный из однородных величин, называют симплексом подобия.

Например: Г ℓ (здесь ℓ – длина прямого участка трубы, d – внутренний диаметр d

трубы).

Инвариант, составленный из разнородных величин, называется критерием подобия. Например, критерий Рейнольдса Re.

Критерии подобия – обобщенные переменные (безразмерные комплексы, определенным образом составленные из разнородных величин). Установить вид критериев подобия, определяющих ход изучаемого процесса, можно путем преобразования дифференциального уравнения процесса. Если такового не имеется, можно использовать более формальный подход (например, метод анализа размерностей).

4.1.1.Критерии гидродинамического подобия

Течение вязких несжимаемых жидкостей описывается системой дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Используем одно из уравнений в проекции на ось z. Считаем, что на жидкость из массовых сил действуют только силы тяжести (Z = - g):

части уравнения учитывает влияние сил тяжести, второй член – влияние сил давления, третий член – влияние сил вязкого трения. Левая часть уравнения учитывает влияние сил инерции.

Преобразуем уравнение методом, предложенным в теории подобия. Для этого используем следующие правила:

1.Рассматриваются и анализируются только величины, обладающие размерностью.

2.Знаки дифференциалов отбрасываются (дифференциалы заменяются конечными величинами). Полученные таким образом выражения записываются в виде соотношений пропорциональности.

В случае преобразования уравнений, в которые входят производные не первого, а более высокого порядка (в частности, второго), при отбрасывании знаков дифференциалов

соблюдается следующее правило: ~ w , и т.п.

ℓ2

46

При этом пространственные координаты x,y,z могут быть заменены на некоторый характерный линейный размер ℓ.

Поскольку критерии подобия – безразмерные обобщенные переменные, их можно получить делением одного из членов уравнения на другой. Перед этим предварительно проведем преобразование уравнений Навье-Стокса, умножая на ρ все члены уравнения и

Здесь величина, пропорциональная давлению p, заменяется на разность давлений ∆p - величину с той же размерностью, что и давление, но имеющую особое прикладное значение в гидравлике. Преобразованные члены уравнения следует поделить на один из них (рассматривая его в качестве масштаба). Для этого обычно используют член,

выражающий влияние сил инерции - w2 :

ℓ

Kр gℓ

1 w2

Физический смысл критерия Фруда состоит в том, что он отражает влияние сил тяжести на движение жидкости (является мерой отношения сил инерции к силам тяжести).

(4.10)

Re 1 wℓ (критерий Рейнольдса)

Kр3

Критерий Рейнольдса выражает меру отношения сил инерции к силам вязкого трения при движении жидкости.

wℓ

Kр (4.11)

4 t w2

47

Ho 1 wt (критерий гомохронности) Kр4 ℓ

Критерий гомохронности является критерием временного подобия и используется для описания неустановившихся процессов движения жидкостей.

Теоремы подобия

1.В подобных процессах сходственные критерии подобия численно равны.

2.Решение любого дифференциального уравнения можно представить в виде зависимости между критериями подобия, характерными для данного процесса.

3.Процессы подобны, если их сходственные определяющие критерии подобия численно равны.

Определяющие критерии – такие, в состав которых входят независимые переменные, определяющие ход процесса. В состав определяемых критериев входят искомые функции.

Условия гидродинамического подобия

Согласно первой теореме подобия, условия гидродинамического подобия запишутся:

Fr = idem

Re = idem

(4.12)

Ho = idem Термин “idem” означает «одно и то же». Eu = idem

Критериальное уравнение движения вязкой жидкости

Согласно второй теореме подобия, критериальное уравнение движения вязкой

Чаще всего при решении гидравлических задач определяемым является критерий Эйлера, все остальные критерии и симплексы подобия являются определяющими. Отсюда

уравнения. В случае установившегося движения жидкости критерий гомохронности следует исключить из данного уравнения. Если к тому же рассматривается установившееся напорное движение вязкой жидкости, из критериального уравнения следует также исключить критерий Фруда, который учитывает влияние сил тяжести на движение потока вязкой жидкости. При напорном движении потока основной движущей силой является перепад давлений, влияние сил тяжести незначительно. Отсюда:

уравнений, полученных эмпирическим путем (они справедливы в тех же пределах, в которых изменялись определяющие критерии подобия).

4.2.Гидравлическое сопротивление аппаратов и трубопроводов

При движении жидкости в аппаратах и трубопроводах возникают потери энергии, связанные с вязкостью жидкости (ламинарный режим) и с вихреобразованиями,

48

перемешиванием определенных её объемов (турбулентный режим), а также потери энергии, обусловленные резким изменением конфигурации потока (резкое изменение живого сечения потока и направления потока). Потери первого типа связывают с длиной участка аппарата или трубопровода и называют их гидравлическими потерями по длине и обозначают как hl , второго типа – местными потерями и обозначают как hм . Для удобства (упрощения) расчетов считают их независимыми друг от друга и для определения общей потери напора их арифметически суммируют:

4.3.Потери напора по длине потока. Формула Дарси-Вейсбаха

Используем критериальное уравнение установившегося напорного движения (случай, наиболее часто встречающийся в промышленной практике):

какие геометрические параметры влияют на величину потерь напора. Поскольку причиной потерь энергии является трение слоев жидкости друг о друга и о стенки трубы, такими параметрами являются длина участка трубы, ее внутренний диаметр, шероховатость стенки (l, d, ∆ соответственно, где ∆ - более точно - абсолютная шероховатость стенки трубопровода, т.е. средняя высота микронеровностей на ее поверхности).

Рис. 4.2. Иллюстрация к составлению уравнения Бернулли для двух сечений горизонтального потока в прямой трубе

49

Здесь w1 = w2 (в соответствии с уравнением неразрывности потока), ∆hℓ – потери напора по длине потока, коэффициент Кориолиса α близок к единице для турбулентных

Таким образом, в соответствии с формулой Дарси-Вейсбаха потери напора по длине потока прямо пропорциональны длине прямого участка, скоростному напору и обратно пропорциональны внутреннему диаметру трубопровода.

4.4. Ламинарное движение жидкости в трубах

Рассмотрим основные закономерности ламинарного режима при равномерном движении вязкой жидкости в горизонтальных трубах.

Пусть жидкость входит в круглую трубу из резервуара большого размера (Рис. 4.3). Во входном поперечном сечении скорости во всех точках будут одинаковы и равны w 4Vɺ / πd 2 . По мере удаления от входа, вследствие трения у стенок, слои жидкости, прилежащие к стенкам, начинают затормаживаться; толщина этого слоя постепенно увеличивается, а движение, наоборот, замедляется. Центральная часть потока (ядро течения), ещё не захваченная трением, продолжает двигаться как целое. Поскольку расход жидкости – величина постоянная, уменьшение скорости в пограничном слое приведет к увеличению скорости в ядре потока. Таким образом, в середине трубы, в ядре, скорость течения всё время возрастает, а у стенок, в растущем пограничном слое , уменьшается. Это происходит до тех пор, пока пограничный слой не захватит всего сечения потока, и ядро не будет сведено к нулю. При этом δ d / 2 . На этом формирование профиля скоростей заканчивается, в дальнейшем профиль не меняется и принимает форму, характерную для ламинарного режима течения жидкости.

50