2.2. Метод контурных токов

В основу данного метода положено понятие о контурных токах, замыкающихся только по собственным контурам. Этот метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений, так как составляется система уравнений только по II закону Кирхгофа для независимых контуров электрической цепи, содержащей большое количество узлов и ветвей.

Рассмотрим три независимых контура – I, II, III для схемы цепи, представленной на рис. 11. Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток: I₁₁; I₂₂; I₃₃. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке. Сопоставляя контурные токи с действительными токами ветвей, можно показать, что значения контурных токов совпадает со значениями действительных токов только во внешних ветвях: I₁ = I₁₁; I₄ = I₃₃; I₅ = I₂₂. Токи смежных ветвей равны алгебраической сумме контурных токов соседних контуров: I ₂ = I₁₁ – I₂₂; I₃ = I₂₂ – I₃₃.

Таким образом, по найденным контурным токам легко можно найти действительные токи всех ветвей. Для определения контурных токов цепи, представленной на рис. 11, необходимо составить для трех контуров уравнения по II закону Кирхгофа:

для контура I: (R₁ + R₂) I₁₁ – R₂ I₂₂ = E ₁ – E₂;

для контура II: (R₂ + R₃ + R ₆) I₂₂ – R ₂I₁₁ – R₃I₃₃ = E₂;

для контура III: (R ₃ + R₄ + R₅) I₃₃ – R ₃I₂₂ = E₃.

Данную систему уравнений можно решить различными методами, включая численные методы решения на ЭВМ или ПК (персональном компьютере). Будем решать эту систему уравнений с помощью определителей. Для этого представляем её в общем виде:

R₁₁I₁₁ – R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁;

–R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ – R₂₃I₃₃ = E₂₂;

R₃₁I₁₁ – R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = E₃₃,

где R₁₁; R₂₂; R₃₃ – сумма всех сопротивлений ветвей рассматриваемых контуров; E₁₁; E₂₂; E₃₃ – алгебраическая сумма ЭДС соответствующих контуров.

R11 =	R 1 + R 2;		E11 =	E1 – E 2;
R22 =	R 2 + R 3 +R 6;		E22 =	E2;
R33 =	R 3 + R 4 + R 5.		E33 =	E3 .

Остальные сопротивления – сопротивления общих ветвей смежных контуров:

R₁₂ = R₂₁ = R ₂;

R₂₃ = R₃₂ = R ₃.

Тогда система уравнений записывается в матричной форме:

= или = ,

где – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных контурных токах; – матрица – столбец неизвестных контурных токов; – матрица – столбец известных контурных ЭДС.

Решением этой системы будет = , где – матрица, обратная матрице коэффициентов .

Матричная форма записи системы уравнений широко распространена при расчётах на ЭВМ сложных электрических цепей, применяемых на электрическом транспорте, в системах электроснабжения, в радиоэлектронике.

Если в электрической цепи будет n независимых контуров, то количество уравнений тоже будет n.

Общее решение системы n уравнений относительно тока I_n :

I_n = ++………+;

где  – главный определитель системы; ₁…_n – алгебраические дополнения к главному определителю, полученные из определителя  путём вычёркивания k-го столбца m-й строки и умножения полученного определителя на (–1) ^{k + m}, где k – номер столбца, m – номер строки.

Δ =