Интерпретация модели

Это описание влияния факторов на параметр оптимизации Y на языке экспериментатора. Величина коэффициента регрессии – количественная мера этого влияния. Знак коэффициента характеризует направление изменения фактора при поиске экстремума критерия оптимизации. Если ищется минимум функции отклика, то благоприятным является увеличение всех факторов, коэффициенты которых имеют знак минус.

Используя формулы для перехода к нормированным значениям z_j, можно получить уравнение модели с натуральными переменными. Коэффициенты модели изменятся. При этом пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величине и знакам коэффициентов b…, так как соответствующие вектору столбцы в матрице планирования уже не будут ортогональными, а коэффициенты будут опре-деляться зависимо друг от друга.

Продолжение аппроксимирующего эксперимента

В тех случаях, когда не удается построить адекватную линейную модель, как было сказано ранее, переходят к более сложным аппроксимирующим зависимостям, расширяя по определенным правилам количество проводимых испытаний.

Пример 1

Предварительные исследования по выбору устройства для измельчения и режима термообработки высокоминерализованной добавки для рыбного фарша из пелагических рыб (трески, минтая и др.) проводили на макетном образце рабочего органа, представляющем пружину с нанесенным методом гальваностегии абразивным покрытием в виде металлической связки на основе Ni и электрокорунда белого. В качестве основных параметров, влияющих на эксплуатационные характеристики рабочего органа, выявили два: отношение диаметра сечения витка к шагу пружины и относительный размер абразивных частиц .

При этом обнаружены интервалы, в которых это влияние сказывается наиболее ощутимо. Для первого из названных параметров это

0,6 < < 0,8,

а для второго

0,05 < < 0,11.

Для детального исследования влияния указанных параметров на качество получаемого фарша для разработки рекомендаций по проектированию рабочих органов измельчителя целесообразно провести факторный эксперимент, выбрав вышеуказанные интервалы в качестве интервалов варьирования изменяемых факторов и .

На первом этапе эксперимента определяли зависимость качества измельчения, соответствующего функции отклика, от варьируемых параметров для различного времени термообработки сырья в виде

.

Качество измельчения отождествляется с максимальным касательным напряжением при определенной скорости сдвига.

Для выбранных модели и интервалов варьирования нормированные переменные проводимого полного факторного эксперимента представляются следующим образом:

, .

Выявленная в ходе предварительных исследований достаточно высокая точность поддержания на заданных уровнях выбранных факторов позволила для дублирования ограничиться тремя параллельными опытами.

Рандомизировав для устранения влияния случайных погрешностей последовательность опытов при помощи таблицы случайных чисел, матрицы планирования эксперимента записываем в виде табл. 2.

Таблица 2

Полный факторный эксперимент для построения модели

Номера опытов	Значения нормированных факторов			Средние значения функций отклика Yi
	X1	X2	X1X2	Y1	Y2	Y3	Y4
1	1	1	1	1560	1600	1580	1560
2	–1	1	–1	1465	1495	1480	1495
3	1	–1	–1	1470	1488	1452	1452
4	–1	–1	1	1390	1410	1400	1390

После испытания образцов в порядке, соответствующем второму столбцу таблицы, результаты заносились в столбцы, отведенные для функций отклика: Y₁ – касательные напряжения добавки после термообработки сырья в течение 1,5 ч; Y₂ – касательные напряжения добавки после термообработки сырья в течение 2 ч; Y₃ – касательные напряжения добавки после термообработки сырья в течение 2,5 ч; Y₄ – касательные напряжения добавки после термообработки сырья в течение 3 ч.

Для получения статистически достоверной математической модели при анализе экспериментальных данных проверялась однородность дисперсий выборок функций отклика Y₁, Y₂, Y₃ и Y₄. Для этой цели вычислялось значение критерия Фишера по формуле:

F_p = . (1.1)

Для данных табл. 2 это значение оказалось равным 4,0, что меньше табличного значения, равного 9,28 для доверительной вероятности 95 %.

Такое соотношение между расчетным и табличным значениями критерия Фишера свидетельствует о воспроизводимости эксперимента, что дает возможность вычислить коэффициенты модели по формулам

, , (1.2)

где Х _j  – столбцы элементов матрицы планирования; – среднеарифметическое значение для каждой из функций отклика по трем параллельным опытам; М – число разных экспериментов, М = 4.

Вычисления по приведенным формулам для выполненного эксперимента с помощью пакета прикладных программ Eхсеl дали следующие оценки коэффициентов уравнений регрессии для:

y1	–	a0 = 1471,25;	a1 = 41,25;	a2 = 43,75;
y2	–	a0 = 1498,25;	a1 = –49,25;	a2 = 45,75;
y3	–	a0 = 1478;	a1 = –52;	a2 = 38;
y4	–	a0 = 1474,25;	a1 = –53,25;	a2 = 31,75.

В соответствии с проведенными вычислениями оценки уравнения регрессии записываются в виде:

y1 = 1471,25 – 41,25х1 + 43,75х2;

y2 = 1498,25 – 49,25х1 + 45,75х2;

y3 = 1478 – 52х1 + 38х2;

y4 = 1474,25 – 3,25х1 + 31,75х2.

Уравнения регрессии, построенные по этим формулам, только в том случае соответствуют реальному процессу, когда каждый член значимо отличается от случайных колебаний функций отклика. Это условие выполняется, если абсолютная величина коэффициента больше его доверительного интервала, определяемого при помощи критерия Стьюдента со степенью свободы

, так как , (1.3)

где ; ; k – число параллельных опытов.

Вычисления интервалов достоверности коэффициентов регрессии свидетельствуют о том, что в уравнениях регрессии значимы лишь те члены, для которых выполняется следующее условие:

у₁ – 0,3637;

у₂ – 26,3373;

у₃ – 16,3373;

у₄ – 30,3373.

Последним шагом, предшествующим использованию экспериментально полученных соотношений, является проверка его адекватности. Эта проверка позволяет судить о том, не отброшены ли в процессе обработки результатов величины, существенные для достоверного воспроизведения полученной зависимостью реального процесса, и правильно ли выбрана искомая математическая модель. Она заключается в вычислении расчетного значения критерия Фишера и его сравнении с табличным. Расчетное значение определяется соотношением

, при , (1.4)

где у_р i – рассчитанное по уравнениям значение функций отклика у₁ и у₂; – дисперсия среднего значения функции отклика; k – число коэффициентов в уравнении.

Пользуясь данными табл. 3.8–3.9 и результатами произведенных ранее вычислений для расчетного критерия Фишера, находим F_p = 14,2222. Для доверительной вероятности 95 % и соответствующих степеней свободы числителя и знаменателя табличное значение критерия Фишера оказалось равным 12,6744.

Соотношение F_p > F свидетельствует о том, что выбранная на первом этапе линейная математическая модель неадекватна реальной зависимости эксплуатационных характеристик рабочих органов измельчительной машины от варьируемых в эксперименте факторов. Для отыскания зависимости, адекватной реальной, достроим план эксперимента до центрального композиционного ротатабельного, добавляя так называемые «звездные точки» для значений нормированных факторов Х_i = , и дополнительные эксперименты в центре плана. Соответствующая матрица планирования и некоторые вспомогательные величины представлены в виде табл. 3.

Таблица 3

Планирование эксперимента для построения модели зависимости

качества измельчения от конструктивных параметров рабочих органов

Номера опытов	Значения нормированных факторов					Значения функции отклика Yi
	X1	X2	X1X2			Y1	Y2	Y3	Y4
1	1	1	1	1	1	1560	1600	1580	1560
2	–1	1	–1	1	1	1465	1495	1480	1495
3	1	–1	–1	1	1	1470	1488	1452	1452
4	–1	–1	1	1	1	1390	1410	1400	1390
5	1,4142	0	0	2	0	1574	1620	1517	1517
6	–1,4142	0	0	2	0	1443	1479	1404	1400
7	0	1,4142	0	0	2	1580	1396	1574	1574
8	0	–1,4142	0	0	2	1480	1517	1447	1443
9	0	0	0	0	0	1470	1400	1620	1574
10	0	0	0	0	0	1400	1574	1600	1447
11	0	0	0	0	0	1517	1574	1610	1620
12	0	0	0	0	0	1404	1447	1630	1479
13	0	0	0	0	0	1574	1620	1620	1396

Зависимости Y₁, Y₂, Y₃ и Y₄ от варьируемых параметров в этом случае искали в виде

f = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₁₂X₁X₂ + b₁₁X + b₂₂X.

Учитывая проведенные по аналогичным формулам с помощью пакета Eхсеl вычисления, включавшие оценку значимости полученных коэффициентов, уравнения регрессии записывали в виде:

Y1 = 1486,7 + 21,5X1 + 69,5X2 – 4,9X – 7,9X; Y2 = 1509,3 + 41,2X1 + 46,1X2 – 5,4X – 11,3X; Y3 = 1533,4 + 31,7X1 + 30,9X2 – 4,8X – 4,6X; Y4 = 1488,2 + 36,0X1 + 50,6X2 – 7,2X – 10,1X.

Полученные уравнения лишь в том случае имеют практическую ценность, когда адекватно описывают исследуемую зависимость. С целью проверки адекватности полученных уравнений регрессии вычисляли дисперсию адекватности. Адекватным уравнение регрессии признается, как известно, в том случае, когда

S / S F_табл,

где F_табл – табличное значение критерия Фишера.

Для данных табл. 3, уровня значимости 0,05 и соответствующих степеней свободы числителя и знаменателя расчетное значение критерия Фишера значительно меньше табличного.

Полученные таким образом уравнения регрессии отображают реальные зависимости эксплуатационных характеристик абразивных рабочих органов измельчительных машин от конструктивных параметров.

Записанные соотношения могут служить для прогнозирования качества измельчения при использовании аналогичных рабочих органов по величине абразивного зерна (а) и шага выполненной абразивной спирали (t) при известном диаметре используемой стальной проволоки (d).

Таким образом, экспериментально полученные уравнения ре-грессии могут служить математическими моделями абразивных рабочих органов измельчителя, которые целесообразно использовать для измельчения конкретного сырья.

Вторые степени варьируемых переменных говорят об экстремальном характере полученных моделей и подтверждают необходимость исследования монотонности функций отклика в выбранных диапазонах изменения независимых параметров. Такие экстремумы для функций отклика подтверждают графические изображения полученных уравнений регрессии, представленные c помощью пакета прикладных программ Mаthcad 2001.

Точное нахождение области экстремума, т. е. значений изменяемых параметров, способствующих получению наилучшего качества фарша, определяется дифференцированием выше записанного уравнения и проверкой критерия Сильвестра.

Для Y₁ из равенств Y₁/X₁ = Y₁/X₂ = 0 имеем (d/t) = 0,7455 и (a/d) = 0,0868.

Для Y₂ из равенств Y₂/X₁ = Y₂/X₂ = 0 имеем (d/t) = 0,7262 и (a/d) = 0,0947.

Для Y₃ из равенств Y₃/X₁ = Y₃/X₂ = 0 имеем (d/t) = 0,7303 и (a/d) = 0,0889.

Для Y₄ из равенств Y₄/X₁ = Y₄/X₂ = 0 имеем (d/t) = 0,7400 и (a/d) = 0,0920.

Таким образом, при использовании проволоки d = 6 мм экстремум по качеству фарша должен достигаться при шаге пружины t = 8–8,3 мм и зернистости абразива a = 520 – 568 мкм.

Судя по знакам квадратичных членов, характер монотонности для всех функций отклика аналогичен.

Выполненный анализ позволяет рекомендовать для измельчительного устройства рабочие органы в виде пружины с сечением проволоки 6 мм и шагом 8–8,3 мм с закрепленным на ней методом гальваностегии зерном 24А50.

Другой важный вывод проведенных исследований: наиболее близкими к требуемым свойствами обладает фарш из отходов, подвергнутых термообработке в течение 2–2,5 ч.