1. Методология математического моделирования технологических машин и оборудования пищевых производств

1.1. Основные понятия планирования эксперимента (активный эксперимент)

При активном планировании любой фактор должен быть управляемым – чтобы его значения можно было устанавливать на разных уровнях. В многофакторном активном эксперименте изменяемые величины должны быть независимыми, чтобы любая из них могла устанавливаться на любом из уровней. Все возможные сочетания уровней изучаемых факторов встречаются при полном факторном эксперименте (ПФЭ). В этом случае количество испытаний n равно взаимному произведению чисел уровней каждого из факторов. Если число уровней K каждого из факторов одинаково, то n = K^р, где р – количество факторов. Для десяти факторов, имеющих по четыре уровня, п = 4¹⁰. В подобных случаях схему ПФЭ практически невозможно реализовать. Активные эксперименты ставятся таким образом, что в каждом опыте независимые факторы варьируются по специальному плану.

Методы активного планирования эксперимента позволяют нейтрализовать пропущенные сочетания уровней. Родоначальником направления является английский ученый Р.А. Фишер. Оно получило дальнейшее развитие в работах Г.Е. Бокса, К.В. Уилсона, В.В. Налимова. Предположим, что находится уравнение модели объекта в форме полинома (отрезка степенного ряда Тейлора)

у = b₀ +

В каждом i-м опыте факторы представляются i-й точкой = = (х₁, х₂, …, х_р)_i факторного пространства. Целью планирования эксперимента является отыскание оценок коэффициентов b уравнения модели по результатам опытов в n точках факторного пространства. Поверхность отклика обычно исследуется до тех пор, пока не будет обнаружена область, близкая к оптимальному (минимальному или максимальному) значению Y. На этом исследование прекращают.

При планировании эксперимента должны выполняться следующие требования:

1) наблюдения отклика у_i – независимые нормально распределенные случайные величины;

2) дисперсии ² [у_i] равны между собой в любой точке факторного пространства (воспроизводимость с равной точностью);

3) значения факторов х₁, …, х_р изменяются (варьируются) с малыми ошибками по сравнению с ошибками отклика у, т. е. значения факторов являются неслучайными величинами.

Полный и дробный факторный эксперимент

Пусть для выбранного объекта исследования ищется такое сочетание факторов, при котором значение целевой функции минимально: y = f_min (x₁, ..., x_p). Если ищется максимум целевой функции g (x₁, ..., x_p), то это равнозначно отысканию минимума функции f() = –g().

Точка начала эксперимента называется базовой (нулевой) точкой. Это центр плана эксперимента. Его координаты (x₁₀, ..., x_j 0, ..., x_p 0) = называются базовым, или нулевым, уровнем. Базовую точку выбирают возможно ближе к центру области факторного пространства, в которой ведется математическое описание объекта.

Ограничимся случаем, когда для отыскания поверхности отклика в окрестности базовой точки каждый из факторов х_j варьируют на двух уровнях, отличающихся от базового уровня х_j 0 на величину интервала варьирования  х_j. Интервал варьирования х_j не может быть меньше той ошибки, с которой выставляется уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения факторов. Поэтому интервал варьирования выбирают равным 0,05...0,3 от допустимого диапазона изменений факторов, т. е. область варьирования составляет 10–60 % от всего диапазона.

Для упрощения обработки результатов эксперимента и их интерпретации переходят от натуральных значений факторов х_j к нормированным, безразмерным значениям

z_j = (x_j – x_j 0) /  х_j.

В новой системе координат верхнему и нижнему уровням фактора х_j соответствуют нормированные значения z_jв = 1, z_jн = –1, которые не зависят от физической природы и интервалов варьирования факторов.

Матрица планирования полного факторного эксперимента реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней р независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций n = 2^p определяет число точек факторного пространства и равно числу опытов.

Планирование эксперимента сводится к построению матрицы планирования (МП). Если исследуется трехфакторная модель объекта, для которой функция отклика относительно стандартизированных факторов имеет вид

у = ,

то матрица планирования ПФЭ (матрица Адамара) для р = 3 выглядит так, как показано в табл. 1. Здесь z₀ – фиктивный фактор, соответствующий постоянной составляющей b₀ уравнения объекта. В последнем столбце записывают значения отклика, соответствующие определенным сочетаниям факторов.

Таблица 1

Матрица планирования полного факторного эксперимента

Номер опыта	z0	z1	z2	z3	z1 z2	z1 z3	z2 z3	z1 z2 z3	уi
1	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1	у1
2	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1	у2
3	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1	у3
4	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1	у4
5	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	у5
6	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1	у6
7	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1	у7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	у8

Правила построения матрицы планирования

1. В первой строке i = 1 все факторы устанавливаются на нижнем уровне z_j = –1, j = 1, …, р.

2. Последующие строки формируются по следующему правилу: при последовательном переборе точек факторного пространства (строк МП) частота смены знака для каждого последующего фактора z_j+1 вдвое меньше, чем для предыдущего z_j.

3. Все взаимодействия z_j z_i для каждой точки факторного пространства получаются перемножением нормированных значений соответствующих факторов.

Проведение ПФЭ позволяет оценить не только силу влияния факторов на отклик, но и эффекты взаимодействия: например, как добавление одних веществ будет стимулировать влияние других на качество выпускаемого продукта.

Столбцы МП, соответствующие факторам z₁, z₂, ..., z_p (в таблице обведены), образуют матрицу спектра плана. Вся МП, включающая фиктивный столбец и взаимодействия факторов, часто называется расширенной информационной матрицей.

Свойства матрицы планирования (без фиктивного столбца):

1) симметричность относительно нулевого уровня означает, что алгебраическая сумма элементов каждого столбца равна нулю;

2) сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов (свойство нормировки);

3) дисперсии предсказанных значений отклика одинаковы на равных расстояниях от нулевого уровня (свойство ротатабельности);

4) ортогональность означает, что сумма почленных произведений любых двух различных вектор-столбцов матрицы равна нулю

= 0; j  l; j, l = 1, … , р.

Таким образом, ПФЭ обладает ортогональной матрицей планирования (ОМП). Ортогональность вектор-столбцов МП позволяет оценивать коэффициенты модели регрессии независимо друг от друга, т. е. избавиться от неопределенности, связанной с неоднозначным оцениванием этих коэффициентов.

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) проводится, когда пропущены некоторые сочетания уровней факторов. ДФЭ дает возможность при неизменном числе испытаний исследовать гораздо большее число факторов, чем ПФЭ. При этом не учитывается та информация, которая в данный момент несущественна. Как и ПФЭ, дробные планы строятся для двухуровневых экспериментов. С их помощью в многомерном факторном пространстве формируется гиперплоскость – линейная модель поверхности отклика.

Особенно широко используется ДФЭ, в котором теряется информация лишь о взаимодействиях изучаемых факторов. Такие ДФЭ подробно изучались Фишером и Йэтсом. Для исследования дополнительных факторов при неизменном числе опытов новому фактору присваивается вектор-столбец, принадлежащий тому взаимодействию, которым пренебрегают.

Как мы видели ранее, при исследовании трех факторов по планам полного факторного эксперимента необходимо провести восемь различных опытов: n = 2³ = 8. Без учета взаимодействий линейная модель имеет вид

у = b₀ + b₁z₁ + b₂z₂ + b₃z₃ =.

Для оценки четырех параметров b_j этой модели следует иметь четыре уравнения с неизвестными b_j

у_i = b₀ + b₁z_1i + b₂z_{2 i} + b₃z_{3 i} , i = 1, …, 4,

т. е. как минимум надо провести четыре опыта.

Опыты проводятся по следующему плану:

Номер опыта	z0	z1	z2	z3 = z1 z2	уi
1	+1	–1	–1	+1	у1
2	+1	+1	–1	–1	у2
3	+1	–1	+1	–1	у3
4	+1	+1	+1	+1	у4

Используется матрица планирования полного факторного эксперимента 2², т. е. матрица для двух факторов с четырьмя опытами. Новому фактору z₃ присваивается вектор-столбец z₁ z₂.

В общем случае максимальное количество факторов, которое может быть исследовано с помощью матрицы ПФЭ 2,  для линейной модели равно 2 – 1. План с предельным числом факторов для данной матрицы планирования 2 называется насыщенным. Таким образом, для трех факторов план 2²  с четырьмя опытами является насыщенным (2² – 1 = 3).

Для рассмотренной ранее матрицы ПФЭ 2³ максимальное количество факторов, которое может быть исследовано, равно семи (2³ – 1 = 7) . В этом случае четыре фактора приравниваются к эффектам взаимо-действия: z₄ = z₁z₂, z₅ = z₁z₃, z₆ = z₂z₃, z₇ = z₁z₂z₃. Дробность плана равна . Данная матрица ДФЭ называется репликой полного факторного эксперимента 2⁷ , ее обозначают 2^7–4 – для анализа 7 факторов, четыре фактора приравнены к эффектам взаимо-действия.

План ПФЭ 2 можно использовать для анализа линейной модели с числом факторов, меньшим, чем 7, например, для модели с четырьмя факторами

у = b₀ + b₁z₁ + b₂z₂ + b₃z₃ + b₄z₄.

Здесь минимальное число опытов, определяемое количеством оцениваемых параметров (b₀, b₁, …, b₄), равно пяти. Так как 2²  5  2³, то используется план, предназначенный для проведения 8 опытов. Один фактор z₄ приравнивается к эффекту взаимодействия z₁z₂. В этом случае матрица ДФЭ 2^4–1 является полурепликой ПФЭ 2⁴.

Полуреплика содержит половину опытов полного факторного эксперимента. Например, рассмотренный ранее план ДФЭ 2^3–1 (3 фактора, 4 опыта) является полурепликой ПФЭ 2³, а матрица спектра плана 2³ содержит два повторяющихся спектра плана 2².

На практике редко пользуются полурепликой 2^5–1 (16 опытов), еще реже 2^6–1 (32 опыта) и т. д. – с ростом числа факторов обычно используют более дробные реплики.

Помимо рассмотренных матриц планирования существуют другие виды планов, отличающиеся числом уровней варьирования факторов и критериями оптимальности. Наиболее часто ищутся планы с минимальным числом опытов при заданной точности уравнения регрессии и планы, оптимизирующие точность уравнения регрессии.