Получение оценок коэффициентов модели

Параметры уравнения модели регрессии находятся методом наименьших квадратов из условия минимума величины . Для линейной модели с р-факторами при ПФЭ коэффициенты независимы и вычисляются по формулам

b_j = , j = 0, …, p.

Т. е. столбец соответствующего фактора умножается на столбец и сумма почленных произведений делится на число опытов в матрице планирования (без учета параллельности). Аналогично вычисляются коэффициенты для взаимодействий факторов: b_jl = .

Проверка значимости коэффициентов модели

Этот этап включает проверку гипотезы H₀:  = 0, где  – теоретический коэффициент, оценка которого  b является случайной вели-чиной, и основан на вычислении статистики Стьюдента t =  b  / S_b, где S_b = . При использовании ПФЭ величины S_b для каждого из коэффициентов минимальны и равны (следствие ортогональности матрицы планирования). Для дробных реплик коэффициенты регрессии имеют большую дисперсию, чем коэффициенты, определенные по данным ПФЭ.

Доверительный интервал коэффициентов

Критическая область определяется неравенством

b – t_1– S_b    b + t_1– S_b,

где t  t_1–, t_1– – квантиль t-распределения с числом степеней свободы n (m – 1), с которым определялась дисперсия .

Для ортогонального планирования все незначимые оценки могут быть приравнены к нулю, и соответствующие им члены уравнения регрессии отбрасываются без пересчета всех остальных оценок коэффициентов.

Незначимость оценок коэффициентов может быть обусловлена следующими причинами:

1) соответствующий фактор (или взаимодействие) не имеет функциональной связи с откликом Y;

2) эксперимент производится в окрестностях частного экстремума по соответствующему фактору;

3) интервал варьирования соответствующего фактора выбран малым;

4) дисперсия воспроизводимости слишком велика, т. е. на фоне "шума" выделить влияние данного фактора невозможно.

Проверка адекватности математической модели

Это действие сводится к проверке гипотезы об однородности дисперсий воспроизводимости и адекватности . Дисперсия адекватности характеризует рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии (аналогична при регрессионном анализе)

= ,

где l – число значимых коэффициентов модели у = f ().

Адекватность проверяют с помощью критерия Фишера:

F = / ,

где  .

Для уровня значимости  находится критическое значение F_ с числом степеней свободы n – 1 и n (m – 1). Модель является адекватной при F  F_.

Решение о проведении дальнейших исследований принимается в зависимости от возможной ситуации.

1. Если коэффициенты регрессии значимы и линейная модель адекватна, то модель объекта можно считать построенной. При условии близости отклика к оптимальному значению f_min исследования можно закончить.

2. Если все коэффициенты регрессии незначимы (кроме b₀), а линейная модель адекватна, то необходимо расширить интервал варьирования или увеличить точность эксперимента (снизить ) за счет большего числа параллельных опытов. Увеличение интервалов варьирования приводит к увеличению абсолютных величин коэффициентов регрессии.

3. Если линейная модель неадекватна, то это означает, что поверхность отклика не удается аппроксимировать плоскостью. В этом случае необходимо уменьшить интервалы варьирования, перенести нулевую точку варьирования или использовать более сложную модель – добавить взаимодействия факторов, т. е. перейти к нелинейным моделям. При сужении области экспериментирования необходимо помнить об ограничениях, накладываемых на минимальную величину x_j.

4. Если коэффициенты регрессии значимы, а план эксперимента является насыщенным, то адекватность проверить невозможно, так как в этом случае число степеней свободы, с которым определяется , n – l = 0. Проверка возможна, если число коэффициентов модели меньше числа точек факторного пространства, в которых измерялся отклик.

В этом случае можно провести дополнительные измерения в некоторой точке, например в , тем самым увеличив n.