Закон ома в дифференциальной форме.

Найдем связь между плотностью тока и полем в той же точке проводящей среды. Рассмотрим случай изотропного проводника, в котором направления векторов и совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объём с образующими параллельными вектору , а значит и .

Если поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl, то на основании (4), (11) и (12) для элементарного тока dI можем записать: jdS = .

После соответствующих сокращений получим:

, (13)

где  удельная электропроводимость среды.

В СИ единицей измерения  является сименс на метр (См/м).

Соотношение (13) выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов, а получило своё название потому, что оно устанавливает связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника.

Сторонние силы. Обобщённый закон ома

В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

Если бы все действующие на носители тока силы сводились к силам электростатического поля, то под действием этих сил положительные носители переместились бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители двигались бы в обратном направлении. Это привело бы к выравниванию потенциалов и, в результате, все соединённые проводники приобрели бы одинаковый потенциал φ и ток прекратился.

Что бы этого не произошло в цепи постоянного тока наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала φ, должны иметься участки, на которых перенос положительных носителей тока происходит в сторону возрастания φ, т.е. против сил электрического поля. Это возможно лишь с помощью сил не электростатического происхождения – так называемых сторонних сил.

Физическая природа сторонних сил может быть различной. Эти силы могут быть обусловлены химической и физической неоднородностью проводника – например возникающие при соприкосновении разнородных проводников (за счет энергии химических реакций между электродами и электролитом в гальванических элементах, аккумуляторах), взаимодействием проводников различной температуры (термоэлементы), преобразованием механической энергии (в генераторах).

Под действием поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источников тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и течет электрический ток.

Таким образом, сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов.

Скалярная физическая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой источника тока (ЭДС) ε, действующей в замкнутой цепи или на её участке:

. (14)

Суммарную работу электростатических и сторонних сил, например, на участке цепи 1-2, можно представить как:

A₁₂ = A_ст +A_кул = q + q(₁  ₂).

Скалярная физическая величина, определяемая работой, совершаемой суммарным полем кулоновских и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, называется напряжением на участке 1-2:

=  + (₁  ₂).

Напряжение на участке цепи равно разности потенциалов, если сторонние силы не действуют.

Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряжённость . Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд.

Если под действием электрического поля в пространстве возникает ток плотности , то, очевидно, что под совместным воздействием поля и :

. (15)

Это уравнение обобщает закон Ома (13) на случай неоднородных участков проводящей цепи. Оно выражает обобщенный закон Ома в дифференциальной форме.

Дополнительно (Савельев: новый т.2 §26, старый §34)