Добавил:

margarita_rusheva rushevamar@mail.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Физика

Файл:

лекции по физике Родин / LEKTsIYa__10_TEOREMA_GAUSSA_DLYa_VEKTORA_V

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

09.09.2020

Размер:

345.09 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ № 10

ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ВЕКТОРА . ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЁТУ ПОЛЕЙ.

ПОЛЕ СОЛЕНОИДА.

Важнейшие свойства магнитного поля, как и электрического, связаны с потоком и циркуляцией векторного поля и выражают основные законы магнитного поля.

Потоком вектора магнитной индукции через элементарную площадку (рис.5) называют скалярное произведение :

Полный поток Ф через некоторую поверхность S равен:

. (1)

Теорема Гаусса: Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

, (2)

или в дифференциальной форме:

div = 0. (3)

Эта теорема выражает тот факт, что силовые линии магнитного поля замкнуты, поэтому число линий вектора , выходящих из любого объема, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Записанная в дифференциальной форме теорема Гаусса показывает, что в природе не существует магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам, локализованным в пространстве.

Теорема о циркуляции: для магнитного поля постоянных токов циркуляция вектора по произвольному контуру L равна произведению на алгебраическую сумму токов, охваченных контуром (рис.6):

, (4)

где I = I_k, причём I_k  величина алгебраическая.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Для тока, распределенного с какой-то плотностью , формула (4) принимает вид:

. (5)

Теорема о циркуляции может быть доказана из закона Био-Савара-Лапласа, но мы будем считать её как постулат, подтверждённый опытом.

Тот факт, что циркуляция вектора означает, что поле вектора не потенциально (в отличие от поля ). Такое поле называют вихревым или соленоидальным.

Теорема о циркуляции вектора играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов и . Вопрос в нахождении можно решить при наличии симметрии, сводя его к произведению B (B_l) на длину контура или его части.

ПРИМЕР. Пусть постоянный ток I течёт вдоль бесконечно длинного проводника, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию поля внутри и снаружи провода.

Решение

Из условия задачи следует, что линии вектора в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси проводника. Причем модуль вектора должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси проводника.

Из теоремы о циркуляции вектора :

1) Снаружи проводника для контура L₁: (r > a)

, т. е. и .

2) Внутри проводника для контура L₂: (r < a)

Выразим  ток, охватываемый данным контуром I₂ через данные в условии величины силу тока I и радиус а.

Так как плотность тока j = const во всех точках проводника и , то для контура L₂ и для проводника радиуса а можно записать равенство

 . Следовательно: , т. е. .

С помощью закона полного тока можно найти индукцию магнитного поля тороида.

Тороидом называется кольцевая катушка, имеющая форму тора, на которую намотаны витки провода (рис. 7). Если витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то тороид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на средней линии тороида. Линии магнитной индукции поля тороида имеют вид концентрических окружностей радиуса r, центры которых лежат на оси тороида. Ось проходит перпендикулярно плоскости радиуса через точку О. Очевидно, что значения индукции во всех точках замкнутого контура L, совпадающего с какой-либо линией индукции магнитного поля тороида, одинаковы.

Сказанное выше позволяет применить закон полного тока для индукции и определить ее значение внутри соленоида:

Если r > R₂ или r < R₁, то I_охв = 0, т.е. магнитное поле локализовано внутри тороида. Для контура L радиуса R₁ < r < R₂ суммарная сила токов, охватываемых контуром L, будет равна NI, где N – число витков обмотки тороида, а I – сила тока в ней. Приравнивая циркуляцию вектора в соответствии с законом (4) к величине ₀NI, получаем:

. (6)

В случае тонкого тороида диаметр витков d = R₂ – R₁ мал по сравнению с радиусом средней (осевой) линии R = (R₁ + R₂)/2 и в пределах площади витка магнитное поле тороида можно приближенно считать однородным:

B  B = ₀NI/(2R) = ₀nI, (7)

где n – число витков обмотки тороида, приходящихся на единицу длины осевой линии тороида (N = n2R).

Если неограниченно увеличивать R, сохраняя неизменным диаметр d витков и плотность n витков, то в пределе получится бесконечно длинный соленоид. Поле внутри такого соленоида однородно, так как всюду векторы одинаково направлены и равны по модулю: B = ₀nI. Это соотношение также было получено нами (рис.8) значительно более сложным путем, основанным на использовании принципа суперпозиции полей.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка с током, состоящая из большого числа витков проводника, которые образуют винтовую линию. Если витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

На рис. 8 показано сечение соленоида радиуса R и длины L с током I.

Кружки с точками изображают сечения витков, в которых электрический ток направлен из-за чертежа к нам, а кружки с крестиками – сечения витков, в которых ток направлен за чертеж.

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое соленоидом. Пусть n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида, т.е. , N – общее число витков, L – длина соленоида. В произвольной точке А, лежащей на оси соленоида, магнитная индукция в силу принципа суперпозиции, равна векторной сумме магнитных индукций полей всех витков этого соленоида.

В этой точке все векторы и результирующий вектор направлены по оси в сторону перемещения буравчика с правой резьбой при вращении его рукоятки в направлении электрического тока в витках соленоида. На малый участок соленоида длиной dl вдоль оси приходится ndl витков. Если l – расстояние вдоль оси от этих витков до точки А, то согласно закона Био-Савара-Лапласа магнитная индукция поля этих витков

. (8)

Так как r = R/sin и l = R/tg, то dl найдем как дифференциал функции R/tg: .Тогда

. (9)

В пределах соленоида угол  изменяется от ₁ до ₂, поэтому

(10)

где

. (11)

Из соотношений (10) и (11) видно, что магнитная индукция поля соленоида в точке А зависит от силы тока I, густоты намотки витков n, радиуса R витков и длины L соленоида, а также от положения точки А относительно концов соленоида. Можно показать, что значение В максимально, если l₁ = L/2, так что , тогда

. (12)

Если L >> R , то соленоид можно считать бесконечно длинным. Для точки А, лежащей вдали от концов такого соленоида, ₁  0, ₂  . Тогда в соответствии с формулой (10) имеем:

B = ₀nI. (13)

Магнитный момент соленоида равен геометрической сумме магнитных моментов всех его N = nL витков:

, (14)

где – единичный вектор, направленный по оси соленоида в ту же сторону, что и вектор . Модуль магнитного момента соленоида

p_m = nIV, (15)

где V = LS – объем соленоида.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА

ТЕОРЕМЫ О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА .

В дифференциальной форме теорема Гаусса для вектора записывается в виде:

или , (16)

т. е. дивергенция поля всюду равна нулю. Это означает, что как мы уже отмечали, магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов), магнитное поле порождают электрические токи. Закон (16) является фундаментальным, он справедлив не только для постоянных, но и для переменных магнитных полей.

Для того чтобы представить (записать) выражения (4, 5) в дифференциальной форме введём понятие ротора (вихрь) поля .

Рассмотрим отношение циркуляции вектора к площади S, ограниченной контуром. Оказывается, что это отношение стремится к некоторому пределу при S0, причём этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задаётся вектором нормали к плоскости контура и направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Полученный предел представляет собой скалярную величину, которая ведёт себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берётся циркуляция. Этот вектор называют ротором (вихрем) поля и обозначают символом rot, т. е.

(17)

где справа стоит проекция вектора rot на нормаль . Значит, в каждой точке векторного поля имеется вектор rot, направление и модуль которого связаны со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot определяется тем направлением нормали площади S, при котором достигается максимальное значение величины (17), являющейся одновременно модулем вектора rot. Формально rot можно рассматривать как векторное произведение оператора  (Набла) на вектор , т. е. .