Добавил:

Loll384 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

nikolaeva_lineinaya_algebra_konspekt_lekciy_chast1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.09.2020

Размер:

842.16 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Н.И. Николаева

Линейная алгебра. Векторная алгебра.

Аналитическая геометрия

Конспект лекций Часть 1

Омск-2008

УДК

ББК

Рецензенты:

Ю.Ф.Стругов, д-р физ.-мат. наук, профессор С.Е.Макаров, канд. физ.-мат. наук, доцент

Николаева Н.И.

Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

Конспект лекций. Часть 1 / Н.И. Николаева. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. – с.

Пособие представляет собой конспект лекций, читаемых автором на первом курсе технического университета, и предназначено для студентов всех форм обучения. В нем подробно, последовательно и с доказательствами изложена теоретическая часть курса математики. Часть 1 включает в себя три главы: «Линейная алгебра», «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия». Изложение сопровождается достаточным количеством примеров, поясняющих наиболее важные теоретические положения, иллюстрирующих теоретический материал и дающих образцы решения задач.

Автор благодарит доцента кафедры Высшей математики ОМГТУ Горягу А.В., принявшего участие в обсуждении рукописи и сделавшего полезные замечания, и методиста кафедры Царицинскую Т.Г. за большую помощь в техническом оформлении рукописи.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

С	Н.И.Николаева, 2008
С	Омский государственный
	технический университет, 2008

Оглавление

Глава 1.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА…………………………………………………….		4
	Матрицы и действия над ними……………………………………………..			4
	Линейные операции над матрицами……………………………………….				6
	Транспонирование и умножение матриц…………………………………..					7
	Определители и их свойства………………………………………………..			9
	Обратная матрица…………………………………………………………... 14
	Крамеровские системы уравнений…………………………………………				17
	Ранг матрицы. Элементарные преобразования……………………………						19
	Исследование произвольных систем линейных уравнений……………...								22
	Однородные системы линейных уравнений……………………………… 23
	Метод Гаусса……………………………………………………………….. 24
Глава 2.	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА……………………………………………………		27
	Векторы и линейные операции над ними………………………………….					27
	Проекция вектора на ось. Координаты вектора…………………………...						31
	Деление отрезка в данном отношении……………………………………..					35
	Скалярное произведение векторов…………………………………………				36
	Векторное произведение векторов…………………………………………				39
	Смешанное произведение векторов………………………………………..				43
Глава 3.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ………………………………………..				45
	Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости…………. 45
	Уравнение прямой с направляющим вектором……………………………						46
	Уравнение прямой с угловым коэффициентом…………………………...						47
	Угол между прямыми на плоскости………………………………………..				48
	Расстояние от точки до прямой на плоскости……………………………..						49
	Кривые второго порядка. Окружность…………………….………………					50
	Эллипс………………………………………………………………………..	51
	Гипербола…………………………………………………………………….								53
	Парабола……………………………………………………………………...								56
	Преобразования координат на плоскости………………………………….					58
	Линейные преобразования на плоскости…………………………………..					60
	Произведение линейных преобразований…………………………………					63
	Приведение квадратичной формы к каноническому виду……………….								64
	Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническо-
	му виду……………………………………………………………………….								67
	Плоскость…………………………………………………………………….	70
	Особые случаи расположения плоскости………………………………….					71
	Уравнение плоскости в отрезках…………………………………………...				72
	Уравнение плоскости, проходящей через три точки……………………...							73
	Угол между плоскостями…………………………………………………...		74
	Прямая линия в пространстве………………………………………………			75
	Канонические уравнения прямой в пространстве………………………...							76
	Угол между прямыми в пространстве……………………………………..					77
	Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому
	виду…………………………………………………………………………..								78
	Угол между прямой и плоскостью…………………………………………				79
	Определение общих точек прямой и плоскости…………………………..						80
	Цилиндрические поверхности……………………………………………...			82
	Поверхности вращения……………………………………………………...		84
	Некоторые поверхности второго порядка…………………………………					85
	Библиографический список………………………………………………...			87

Глава 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Этот раздел математики возник в связи с необходимостью решать системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

2х + 3	у = 3
	.
3х + 4	у = −2

Чтобы решить ее, можно, например, выразить одну из переменных из первого уравнения, подставить во второе, после чего найти неизвестные x и y .

Однако можно найти решение быстрее: легко убедиться, что

x = 3 × 4 - (-2) ×3 = -18 , у = -2 × 2 - 3 ×3 =13.
2 × 4 - 3 ×3	2 × 4 - 3 ×3

Способ получения этого результата станет ясным, если рассмотреть таблицы, составленные из коэффициентов системы:

	2	3			× 4 - 3 ×3 = -1,	3	3		® 3 × 4		- (-2)		×3 =18 ,
			® 2		× 4 - 3 ×3 = -1,	-2			® 3 × 4		- (-2)		×3 =18 ,
3		4				-2	4
	2	3		®	(-2) × 2 - 3 ×3 = -13			x =		18			=	−13
		-2										, y		.
												, y		.
3										-1				-1

Такие таблицы называются матрицами второго порядка (так как в них две строки и два столбца), а соответствующие числа - определителями. Матрицы и определители играют важную роль при решении более сложных систем линейных уравнений, поэтому начнем изучение линейной алгебры с матриц.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовой матрицей размера m´n называется совокупность m × n чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов.

a	a	a	...	a
11	12	13	...	1n
A = a21	a22	a23	...	a2n	или A = (aik ), i =1,2,…, m , k = 1,2,…, n .

M	M	M	...	M
am1	am2	am3	...	amn

aik – элемент матрицы, стоящий на пересечении i -й строки и k -го столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.				Если m = n , то матрица называется квадратной n -го
порядка, в противном случае –						прямоугольной.
Элементы aii , i	= 1, 2, …,			n квадратной матрицы						А образуют ее главную диа-
гональ.
Матрица размера 1× n					называется матрицей-строкой, а матрица размера
m × 1 – матрицей-столбцом.
		0		1				1		0 0				− 1
		0		1		0	1 2	1		0 0
ПРИМЕР.	Α =		2	3	,	0	1 2		0	2 0	,	M =	0
ПРИМЕР.	Α =		2	3	,	Β =	, D =		0	2 0	,	M =

			4	5		3	4 5		0	0 7				− 1
			4	5					0	0 7
														0
			3х2				2х3			3х3			4х1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

ПРИМЕР. A =	1	2	¹ A	=	2	1	; B	=	1	¹ B = (1 1).
1			2				1			2
	3	4			3	4			1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть

aij = 0, i ¹ j, i, j =1,2,..., n.

На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой E .

						1	0	0
	ПРИМЕР. E =					0	1	0	–	единичная матрица третьего порядка.
	ПРИМЕР. E =					0	1	0	–	единичная матрица третьего порядка.
						0	0	1
						0	0	1
1		0	0
				–	диагональная матрица 3-го порядка.
D = 0		2	0	–	диагональная матрица 3-го порядка.
	0	0	7
	0	0	7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.

							1	0	0
		ПРИМЕР.				T =	2	4	0	– треугольная матрица третьего порядка,
						1
							3	5	6
							3	5	6
T2		7	8	–	треугольная матрица второго порядка.
T2	=	0	9	–	треугольная матрица второго порядка.
		0	9

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

К числу линейных относятся операции сложения и умножения на число.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A = (aik )						и	B = (bik		),	i =1,2,…,		m ,	k =1,2,…,	n –
матрицы размера m × n . Матрица C = (cik						)	также размера m × n называется сум-
мой матриц A и B , если cik		= aik + bik ,			i =1,2,…,			m ,	k =1,2,…,		n .
ПРИМЕР.	- 1	3	7	,		3		5	0		A + B		2 8	7
ПРИМЕР.	A =			,	B =						A + B	=		.
		2						- 3
	0	2	- 3			- 2		- 3	1				- 2 - 1 - 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.				Произведением матрицы				A = (aik )			размера	m × n на
число α	называется матрица					B = (bik )	того же размера,				элементы	которой
bik = α × aik ,	i =1,2,…,	m ,	k=1,2,…,			n .
			0	12	3		0	24	6
ПРИМЕР.
ПРИМЕР.		F =	0	0	1		2F = 0	0	2	.
			0	0				0	8
			0	0	4		0	0	8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нулевой матрицей O называется матрица, все элементы которой равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица (-1) × A называется противоположной для A и обозначается − A .

Очевидно, что A + (-A) = O для любой матрицы А.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью матриц A и B одного размера называется сумма A + (-B) и обозначается A − B .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Результат конечного числа линейных операций над матрицами называется их линейной комбинацией.

- 1						2
ПРИМЕР. Пусть A =	3	,	B =		- 5			.
	7					8
	7					8
		-1					2			-2		8		6
Матрица C = 2 A + 4B = 2		3		+ 4			-5		=	6	+	-20	=	-14	–	линейная
Матрица C = 2 A + 4B = 2		3		+ 4			-5		=	6	+	-20	=	-14	–	линейная
		7					8			14		32		46
		7					8			14		32		46

комбинация матриц A и B с коэффициентами 2 и 4.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

Если A , B , и C – матрицы одного размера, а α и β – числа, то, очевидно, справедливо следующее:

1.A + B = B + A – свойство коммутативности сложения.

2.A + ( B + C ) = ( A + B) + C – свойство ассоциативности.

3.α ( A + B) = α A + α B – свойство дистрибутивности.

4.(α + β )A = αA + βA .

5.α β A = α ( β A) = β (α A) .

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Эти операции над матрицами не относятся к числу линейных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Транспонированной матрицей A T для матрицы A размера m × n называется матрица размера n × m , полученная из A заменой всех ее строк столбцами с теми же порядковыми номерами.

То есть, если A = (aik			), то A T = (aki ) , i =1,2,…,				m , k =1,2,…,				n .
ПРИМЕР.
	1	2	1	3	5			1	2	3			1	2	3
A =	3	4	1	3	5	;	S =	2	4	5	=	S T =	2	4	5
A =	3	4	A T =			;	S =	2	4	5	=	S T =	2	4	5
				4
	5	6	2	4	6			3	5	6			3	5	6
	5	6						3	5	6			3	5	6
	3х2			2х3					3х3					3х3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если A = A T , то матрица А называется симметриче-

ской.

Все диагональные матрицы симметрические, так как равны их элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Очевидно, справедливы следующие свойства операции транспонирования:

1. ( AT )T = A	2. (α A)T = α AT	3. ( A + B)T = AT + BT
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A = (aik ) – матрица размера m × n , B = (bkj ) – мат-
рица размера n × p . Произведение этих матриц		A × B – матрица C = (cij ) разме-

ра m × p , элементы которой вычисляются по формуле:

cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ai3b3 j + K + ain bnj = ∑ ail blj , i =1,2,…, m , k =1,2,…, p ,

l =1

то есть элемент i -й строки и j -го столбца матрицы C равен сумме произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B .

ПРИМЕР.

0	- 1 3			- 2	0	- 1 3		- 2		- 2 × 0 + (- 1)× 4 + 3 × 6				14
0	- 1 3	,	B =	4	0	- 1 3	×	4		- 2 × 0 + (- 1)× 4 + 3 × 6				14
A =		,	B =	4	A × B =		×	4	=					=
										-	2 ×	2 + 1 ×
2	1 4			6	2	1 4		6		-	2 ×	2 + 1 ×	4 + 4 × 6	24
				6				6

2х3		3х1
		- 2	0	- 1	3
Произведение		4	0	- 1	3
Произведение	B × A =	4	×

		6	2	1	4
		6

2х3

3х1

2х1

– не существует.

	3х1			2х3
CВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1. (A × B) ¹ (B × A), даже если оба произведения определены.
ПРИМЕР.	0	1	,	B =	1	0	0	0	= O , хотя A ¹ O, B ¹ O.
ПРИМЕР.	A =		,	B =			A × B =		= O , хотя A ¹ O, B ¹ O.

	0	0			0	0	0	0

1	0	0	1	0	1	¹ A × B.
B × A =		×		=		¹ A × B.

0	0	0	0	0	0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются перестановочными, если A × B = B × A , в противном случае A и B называются неперестановочными.

Из определения следует, что перестановочными могут быть лишь квадратные матрицы одного размера.

ПРИМЕР.					3 5		4	-5	× L	3	5 4	-5	7 0
ПРИМЕР.			C =			,	L =	C	× L	=	×		=	,
					1 4		-1	3		1	4 -1	3	0 7
4		-5 3	5	=	7 0		матрицы C и L			перестановочные.
L ×C =		×		=			матрицы C и L			перестановочные.
-1		3 1	4		0 7
3		5 1 0		3	5		1	0 3 5		3	5			×C = C ,
C × E =		×	=		,	E ×C =		×	=		, то есть C × E = E			×C = C ,
1		4 0 1		1	4		0	1 1 4		1	4
значит,	C и E – перестановочные матрицы.
Вообще единичная матрица перестановочна с любой квадратной матри-
цей того же порядка, и для любой матрицы										A × E = E × A = A . Это свойство мат-

рицы E объясняет, почему именно она называется единичной: при умножении чисел таким свойством обладает число 1.

Если соответствующие произведения определены, то:

2. (A × B)× C = A × (B × C ).

3. A ×( B + C ) = A × B + A ×C , (A + B)× C = A × C + B × C.

4.α × (B × C ) = B × (α × C ) = (α × B)× C.

5.( A × B )T = BT × AT .

ПРИМЕР.

2	- 1	,	B =	-4	A × B =	2	-1	×	-4	=		-6	T		- 12).
A =		,	B =		A × B =			×		=			(A × B)	= (- 6	- 12).

3	0			-2		3	0		-2			-12
						2х2 2х1 2х1								1х2
				BT × AT = (- 4 -			2		3	=	(- 6 - 12).
				BT × AT = (- 4 -			2)×			=	(- 6 - 12).
									0
							- 1		0

1х2 2х2 1х2

ЗАМЕЧАНИЕ. Элементами матрицы могут быть не только числа, но и функции. Такая матрица называется функциональной.

	cos x		0			1	x		x	2
ПРИМЕР.				,
	T =				F = x2		1		x		.
		0	−sin x			x	x	2	1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА

Каждой квадратной матрице можно по определенным правилам поставить в соответствие некоторое число, которое называется ее определителем.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: A2	a	a
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка: A2	= 11	12	.
	a21	a22

Её определителем называется число, которое записывается и вычисляется так:

A =	a11	a12	= a a	22	− a a	21	(1.1)
2	a21	a22	11	22	12	21
	a21	a22

Такой определитель называется определителем второго порядка и может

обозначаться по-другому: det A =	a11	a12	или	A	=	a11	a12	.

2	a21	a22		2		a21	a22

Определителем третьего порядка называется число, соответствующее

a11

a12

a13

квадратной матрице A = a

, которое вычисляется по правилу:

a32

a33

a31

A3 =

a11

a12

a13

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 − (a31a22a13 + a32a23a11 + a21a12a33 ) (1.2)

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников и схематически его можно представить так:



		=			=			+		+					+	+
3		=			=			+		+			−		+	+


						3	−1				3	−1						1	−2	3
ПРИМЕР. A =						3	−1		A =		3	−1		= 6 + 4 = 10 ; A =				4	5	0
			2						2		4	2		3
						4	2				4	2					3		−1	2
	1	-2	3														3		−1	2
DA3 =	1	-2	3	= 1× 5 × 2 + 4 × (-1) ×3 + (-2) × 0 ×3 - (3 ×5 ×3 + (-1) × 0 ×1 + 4 × (-2) × 2) = -31
DA3 =	4	5 0
	3	-1	2

Если справа от определителя приписать первый, а затем второй столбец, то правило треугольников можно модифицировать:

	1	−2	3		1	− 2
	1	−2	3		1	− 2
A3 =	4	5	0		4	5 = 10 − 0 −12 − (45 − 0 −16) = −2 − 29 = −31
	3	−1	2		3	−1
− −		−		+		+ +

Сначала умножаются числа на главной диагонали и двух ей параллельных диагоналях, затем – числа на другой (побочной) диагонали и ей параллельных. Из суммы первых трех произведений вычитается сумма остальных.

Группируя слагаемые в (1.2) и используя (1.1), заметим, что

A3 =

a11

a12

a13

= a11 (a22a33 − a23a32 ) − a12 (a21a33 − a31a23 ) + a13 (a21a32 − a22a31) =

a21

a22

a23

a31

a32

a33

(1.3)

= a

a22

a23

− a

a21

a23

+ a

a21

a22

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>