nikolaeva_lineinaya_algebra_konspekt_lekciy_chast1

Добавил:

Loll384 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную для

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.09.2020

Размер:

842.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

То есть при вычислении определителя третьего порядка используются определители второго порядка, причем a22 a23 – определитель матрицы, по-

					a32	a33
лученный из A3			вычеркиванием элемента a11			(точнее, первой строки и первого
столбца,	на пересечении которых стоит a ),						a21	a23	– вычеркиванием эле-
столбца,	на пересечении которых стоит a ),						a21	a23	– вычеркиванием эле-
				11			a31	a33
							a31	a33
мента a	,	a21	a22		– элемента a .
мента a	,	a21	a22		– элемента a .
12		a31	a32		13
		a31	a32

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дополнительным минором M ik элемента aik квадрат-

ной матрицы A называется определитель матрицы, получаемой из A вычеркиванием i -ой строки и k -го столбца.

ПРИМЕР.

	3		−1																														1		-2 3
A =	3		−1			M				11	= 7, M				12	= 5, M				21		= −1, M					22	= 3. A =						4	5 0
2										11					12					21							22					3
	5			7																														3	-1 2
																																		3	-1 2
M		11	=		5	0	= 10, M					12	=	4	0	= 8, M			13	=				4	5	= −19, M					22	=	1		3	= −7
M			=		5	0	= 10, M						=	4	0	= 8, M				=				4	5	= −19, M						=	1		3	= −7
					−1	2								3	2									3	−1								3		2
					−1	2								3	2									3	−1								3		2
и так далее: матрица третьего порядка имеет 9 дополнительных миноров.
	ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением элемента aik																																		квадратной
матрицы A называется число A															= (-1)i+k × M						ik		.
														ik							ik
	ПРИМЕР.									A = (-1)1+1 M = 7													A = (-1)2+1 M = 1
	Для матрицы							A2	:	A = (-1)1+1 M = 7													A = (-1)2+1 M = 1
	Для матрицы							A2	:		11					11							21						21
											11					11							21						21
										A = (-1)1+2 M							12	= -5				A = (-1)2+2 M							22	= 3
											12						12						22						22
	Для матрицы							A3	:		A		= (-1)1+1 ×10 = 10, A = (-1)1+2 ×8 = -8,																				и так далее.
	Для матрицы							A3	:			11								12													и так далее.
												11								12

A13 = (-1)1+3 ×(-19) = -19, A22 = (-1)2+2 (-7) = -7

Итак, с учетом сформулированных определений (1.3) можно переписать в

виде: A3 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 .

Перейдем теперь к общему случаю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем квадратной матрицы An порядка n называется число, которое записывается и вычисляется следующим образом:

		a11	a12	L a1n
		a21	a22	L a2n		n
An	=	a21	a22	L a2n		= a11 A11 + a12 A12 + K + a1n A1n = ∑a1k A1k	(1.4)
		M	M	O	M	k =1
		an1	an2	L	ann

Равенство (1.4) называется разложением определителя по элементам первой строки. В этой формуле алгебраические дополнения вычисляются как определители (n −1) -го порядка. Таким образом, при вычислении определителя 4-го

порядка по формуле (1.4) надо, вообще говоря, вычислить 4 определителя 3-го порядка; при вычислении определителя 5-го порядка – 5 определителей 4-го порядка и т.д. Однако если, к примеру, в определителе 4-го порядка первая строка содержит 3 нулевых элемента, то в формуле (1.4) останется лишь одно ненулевое слагаемое.

ПРИМЕР.

3	0	0	0					2		0	0
3	0	0	0
-1 2		0	0	= 3 × A + 0 × A + 0 × A + 0 × A = 3								= 3 × 2	4	0	=

								1	4		0
5	1	4	0	11	12	13	14						1	5
5	1	4	0					-3		1	5		1	5
-2	-3	1	5					-3		1	5
-2	-3	1	5

= 3 × 2 × 4 ×5 =120

Рассмотрим (без доказательства) свойства определителей:

1. Определитель можно разложить по элементам первого столбца:

							n
			DAn = a11 A11 + a21 A21 +K + an1 An1 = ∑ai1 Ai1										(1.5)
							i=1
	ПРИМЕР.
3	4	5	6					-2	3	-1


0	-2 3		-1	= 3 × A + 0 × A + 0 × A + 0 × A = 3 ×							= 3 ×(-2) ×	7 2		=

								0 7 2
0	0	7	2	11	21	31	41					0	5
0	0	7	2					0	0	5		0	5
0	0	0	5					0	0	5
0	0	0	5

= -3 × 2 × 7 ×5 = -210

ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: опре-

делитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

2. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется:

A = AT .

Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны.

3.Если в определителе поменять местами две строки (два столбца), то определитель изменит свой знак, не изменившись по абсолютной величине.

4.Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен нулю.

5.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя умножить на число α , то величина определителя умножится на это число. Отсюда, в частности, следует, что общий множитель любой строки

(столбца) можно выносить за знак определителя. Кроме того, определи-

тель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю.

6.Определитель, имеющий пропорциональные строки (столбцы), равен нулю.

7.Определитель можно разложить по элементам любой строки (любого

			n
столбца):	DAn = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +K + ain Ain = ∑aik Aik ,			i =1, 2,K, n	(1.6)
			k =1
или
			n
DAn = a1k A1k + a2k A2k			+K + ank Ank = ∑aik Aik ,	k =1, 2,K, n	(1.7)
			i=1
Равенство	(1.6)	называется	разложением определителя по элементам
i -й строки.
Равенство	(1.7)	называется	разложением определителя по элементам

k-го столбца.

8.Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки

n	n
(столбца) равна нулю, то есть при i ¹ j ∑aik Ajk = 0 и	∑aik Ail при k ¹ l .
k =1	i=1

9.Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

10.Определитель произведения двух матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц: D( A × B) = DA ×DB ( A, B – квадратные

матрицы одного порядка).

	−2	7	−3
	−2	7	−3
ПРИМЕР.	4	−14	6	= 0 , так как элементы первой и второй строк
	−3	7	13

этого определителя соответственно пропорциональны (свойство 6).

Особенно часто при вычислении определителей используется свойство 9, так как оно позволяет в любом определителе получать строку или столбец, где все элементы, кроме одного, равны нулю.

ПРИМЕР.

	2		3	-1				0					0	0			-1			0									10	8		-5		)


	4 -1			3				-5		(9)			10	8			3		-5														5
																																	5
																											× (-1)1+3						(
D =	-5 0			2				7			=		-1 6				2			7			= (-1)				× (-1)1+3		-1 6			7	=
	3		2	4				-2					11	14			4		-2										11	14		-2
	3		2	4				-2					11	14			4		-2
					×3
					×3
						×2


= -2		10	4	-5					×(−1)		(=)	- 2			10	4	-5				(=)	- 2			10		-26	-35			(=)
									×(−1)

		-1 3 7													-1 3 7										-1 6			10
											9										9										7
		11	7	-2											1	3	3								1		0	0
		11	7	-2											1	3	3								1		0	0

													×( −3)
													×( −3)
													×( −3)


				1+3			-26 -35							(5)		2 × 5		13 7						= 20		× 5 =100
				1+3			-26 -35							(5)				13 7
= -2 ×1× (-1)								6			10			= 2 ×				3		2
								6			10							3		2

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A−1 называется обратной для матрицы A ,

если она вместе с A удовлетворяет условию: A × A−1 = A−1 × A = E , где E – единичная матрица.

Из определения следует, что A и A−1 – перестановочные, значит, обратная матрица существует лишь для квадратной матрицы A (прямоугольные матрицы обратных не имеют).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A называется невырожденной, если DA ¹ 0 . Если DA = 0 , то A называется вырожденной.

ПРИМЕР.

	1	−1	2
A =	2	−2	4				определителей, то есть A – вырожден-
A =	2	−2	4	, A = 0 по свойству 6			определителей, то есть A – вырожден-
	0	3	7
	0	3	7
ная.
B =	1	7	DB = 3, значит, B –		невырожденная.
B =		,	DB = 3, значит, B –		невырожденная.
	0	3
	ТЕОРЕМА. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем
одну.
	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим для определенности квадратную мат-
рицу A третьего порядка:
					a	11	a	12	a	13
				A =		11		12		13
				A =	a	21	a 22		a 23		.
							a 32		a 33
					a 31		a 32		a 33

		1		A	A	A
	X =			11	21	31
Покажем, что матрица вида			A12		A22	A32	является обратной для

		A		A13	A23	A33

A ( Aik				– алгебраические дополнения элементов aik														матрицы A , i, k = 1, 2,3 ).
		По условию A – невырожденная, т.е.															DA ¹ 0 X		существует.			Найдем
произведение A × X , используя свойства 7,8 определителей:
				a	a	a					A	A	A
A × X =				11	12	13	1				11	21	31		=
				a a a							A A A
				a a a							A A A
				21	22	23					12	22	32
					a32	a33	DA				A13	A23
				a31	a32	a33					A13	A23	A33
	1	a A + a A + a A									a A + a A + a A							a A + a A + a A
	1			11 11	12	12	13			13	11	21	12	22		13 23		11 31	12 32	13 33			(7)
=			a A + a A + a A a A + a A + a														A a A + a A + a				A		=
=			a A + a A + a A a A + a A + a														A a A + a A + a				A		=
				21 11	22	12	23			13	21	21	22	22			23 23	21 31	22 32		23 33		(8)
	DA				+ a32 A12 + a33 A13						a31 A21 + a32 A22 + a33 A23
		a31 A11			+ a32 A12 + a33 A13						a31 A21 + a32 A22 + a33 A23							a31 A31 + a32 A32 + a33 A33
		DA 0				0		1			0 0
	1
=				0 DA		0	=		0		1 0	.
=				0 DA		0	=		0		1 0	.
	DA			0	0	DA			0		0 1
				0	0	DA			0		0 1

Аналогично доказывается, что X × A = E .

Следовательно, по определению матрица X является обратной для A .

Докажем единственность обратной матрицы.

Пусть невырожденная матрица A имеет две обратные:																			A−1	и A−1	. Тогда
																			1	2
по определению									A × A−1 = E
									A × A−1 = E												(1.8)
										1
									A−1 × A = E												(1.9)
									2
Умножим (1.8) слева на A−1				:					A−1 × ( AA−1 ) = A−1E .
		2								2	1				2
Используя свойство 2 умножения матриц и равенство (1.9), получим:
( A−1 A) A−1			= A−1E EA−1 = A−1E A−1															= A−1 .
2	1				2						1				2		1		2
Таким образом, обратная матрица единственна, что и требовалось доказать.
Обратная матрица для матрицы A n - го порядка имеет вид:
									A		A	A			L A
									11		21		31			n1
	A−1 =				1				A12		A22	A32			L An2
					1				A A A						L A		.
									A A A						L A		.
				DA					13		23		33			n3
									M		M		M		O	M
									A1n		A2n	A3n
									A1n		A2n	A3n			L Ann
ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную для																1	7
ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную для															B =		.
										− 7					0		3
ΔΒ =3 Β−1 существует. Β−1					=	1 3				− 7
											.
											.
										1
						3 0				1
Проверка:
B × B−1 =		1	1			7 3					-7		1		3 0		1 0
								×				=				=			,
								×				=				=			,
		3 0				3 0					1			3	0 3		0 1
B−1 × B =		1	3			-7				1	7		1		3 0		1 0
									×			=				=		.
									×			=				=		.
		3 0					1 0				3			3	0 3		0 1

			1		1					-1						2	0		-1		= (-1)(-1)3+2											2		-1	= -4 ¹ 0 A−1



DA =			2		0					-3					=	2	0		-3																									суще-
			1	-1						0						1	-1			0												2		-3
ствует.			1	-1						0						1	-1			0
ствует.
A =				1+1			0 -3								= -3 A = (-1)									2+1				1 -1					=1 A =			(-1)	3+1		1 -1					= -3
				1+1			0 -3																	2+1				1 -1									3+1		1 -1
		(-1)					-1					0																-1		0									0 -3
11							-1					0						21										-1		0				31					0 -3
11																		21																31

A =				1+2					2 -3					= -3			A = (-1)						2+2				1 -1				=1			A =		(-1)	3+2				1 -1			=1
				1+2					2 -3														2+2				1 -1										3+2				1 -1
		(-1)
12									1			0						22									1			0				32							2	-3
									1			0															1			0											2	-3
A =				1+3				2 0					= -2				A = (-1)					2+3				1 1					= 2			A = (-1)			3+3			1 1			= -2
				1+3				2 0														2+3				1 1											3+3			1 1
		(-1)
13								1			-1							23								1			-1					33						2		0
								1			-1															1			-1											2		0
						-3						1		-3
	−1		= -		1				-3
A												1		1			.
A					4							1		1			.
					4				-2			2		-2
									-2			2		-2
Проверка:
											-3				1 -3 1 1													-1						-4 0 0
		−1								1																						1
A				× A = -								-3		1 1				×		2 0					-3					= -				0 -4 0				= E.
A				× A = -						4		-3		1 1				×		2 0					-3					= -		4		0 -4 0				= E.
										4		-2		2 -2						1 -1					0							4		0 0 -4
												-2		2 -2						1 -1					0									0 0 -4

Аналогично проверяется, что A × A−1 = E .

КРАМЕРОВСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

a x + a x +L + a x = b
	11 1	12 2	1n n	1
a21x1 + a22 x2			+L + a2n xn	= b2	(1.10)
	M	M	M	M	(1.10)
	M	M	M	M
a x + a x +L + a x = b
	n1 1	n2 2	nn n	n

Матрица, составленная из коэффициентов системы (1.10)

a	a	L a
11	12	1n
A = a21	a22	L a2n	,

M	M	M
an1	an2	L ann

называется основной матрицей системы (1.10), A – основной определитель

системы (1.10).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется Крамеров-

ской, если

1)число уравнений равно числу неизвестных;

2)основной определитель не равен нулю.

	x
		1
Рассмотрим матрицы	x2		и
Рассмотрим матрицы	X =	M	и
		M

	xn

b
	1
b2		:	Х – столбец неизвестных,
B =	M	:	Х – столбец неизвестных,
	M

bn

В – столбец правых частей. Очевидно, что система (1.10) может быть записана в виде матричного уравнения

A × X = B.	(1.11)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность n чисел α1,α2 ,L,αn	называется реше-

нием системы (1.10), если каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство при подстановке в него чисел αi вместо соответствующих

переменных xi , i = 1,2,L, n.

ТЕОРЕМА. Всякая Крамеровская система имеет решение, причем одно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию DA ¹ 0. Значит, для основной матрицы А системы существует обратная матрица A−1 . Умножим (1.11) на A−1 слева:

A−1 × ( A × X ) = A−1 × B ( A−1 × A) × X = A−1 × B
X = A−1 × B	(1.12)
По формуле (1.12) определяется каждое из неизвестных xi , i = 1, 2,L, n,	то есть

находится решение системы (1.10), причем оно единственно, так как единственна обратная матрица A−1.

ЗАМЕЧАНИЕ. Способ решения системы (1.10) по формуле (1.12) назы-

вается матричным способом решения системы линейных уравнений.

ПРИМЕР. Решить систему уравнений матричным способом:

x + y - z = 2

−1

−3

2x - 3z = 0

A =

B =

= y .

−1

x - y = 2

В предыдущем примере

было показано,

что

A = −4 ,

значит, систему

матричным способом решить можно. Там же была найдена обратная матрица

				-3		1	-3			x			-3 1			-3		2		3
	−1	= -	1		-3				X =		= -	1		-3			×		=
A						1	1			y					1	1		0		1	.
			4									4
					-2	2	-2							-2	2	-2		2		2
										z
Таким образом, x = 3,						y = 1,		z = 2.	Проверкой убеждаемся, что решение найде-
но верно.

ЗАМЕЧАНИЕ. Матричный способ удобен, когда надо решить несколько Крамеровских систем, которые отличаются только правыми частями.

Вернемся к равенству (1.12). Из него следует, что

			A	A	K A
			11	21	n1
X =	1	A12		A22	K An 2
	A		M	M	O M
			A1n	A2n	K Ann
			A1n	A2n	K Ann

b2 =

	b1 A11 + b2 A21 + L + bn An1						1
1	b A + b A + L + b A				1
1	1 12	2 22	n n 2	=	1		2	,
	1 12			=			2	,
A		K			A	M
		+ b2 A2n + L + bn Ann
	b1 A1n	+ b2 A2n + L + bn Ann					n

поэтому	x =	1	, x =	2 , K , x =		n	,	(1.13)
		D				D
	1		2	D	n

где = A ,	i – определитель матрицы,				полученной из А заменой ее i -го
столбца на столбец правых частей системы (1.10)							, i = 1,2,…,	n . Формулы
(1.13) называются формулами Крамера.
РАНГ МАТРИЦЫ.		ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором порядка k матрицы А называется определитель k -го порядка, составленный из элементов матрицы А, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов без изменения порядка их следования.

-1	2	-3	4
ПРИМЕР. Рассмотрим матрицу A = -5	0	-6	1	.
2	3	4	5

Миноры первого порядка –	каждый элемент матрицы A .
Миноры второго порядка:	−1 2					−1 −3					0 1				2		4			2	4
	−1 2					−1 −3					0 1				2		4			2	4
	−5 0			,		−5 −6				,	3	5	,		3		5	,		0		1		и так далее.
Матрица A имеет всего 18 миноров второго порядка.
		−1 2				−3		−1				−3		4			−1 2					4			2	−3	4
		−1 2				−3		−1				−3		4			−1 2					4			2	−3	4
Миноры третьего порядка:		−5	0			−6	,	−5				−6		1		,	−5		0			1	,		0	−6	1	.
		2	3		4				2			4		5			2		3			5			3	4	5

Миноров четвертого порядка у этой матрицы нет.

ТЕОРЕМА. Если все миноры k -го порядка матрица А равны нулю, то равны нулю и все миноры старших порядков, если они существуют.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим минор порядка (k + 1) . Это определитель (k + 1) -го порядка, который ( по свойству 7 ) можно разложить по элементам некоторой строки (столбца ). В разложении будут алгебраические дополнения, которые с точностью до знака совпадают с минорами k - го порядка и по условию равны нулю. Поэтому равен нулю и рассматриваемый минор порядка (k + 1). Аналогично равны нулю и миноры старших порядков (k + 2), (k + 3) ,…, если они существуют, что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы А называется такое целое число r , что среди ее миноров r -го порядка есть хотя бы один ненулевой, а все миноры порядка ( r +1 ) равны нулю.

Из доказанной теоремы следует, что, другими словами, ранг матрицы –

это наивысший порядок отличного от нуля минора.

Будем обозначать rA ранг матрицы A .

Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее миноры равны

нулю, то есть если матрица нулевая.
ПРИМЕР.
1 2		3		0		0			1	0	6
1 2		3		0		0			2	0	7
A = 1	2	3	, r = 1.	B =	0	1	, r = 1. C =		2	0	7	, r = 2.
			A				B		3	0	8		C
	2	3			0	0			3	0	8
1	2	3			0	0				0	9
								4		0	9

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>