Добавил:

Loll384 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Технический Университет

Предмет:

Математика

Файл:

nikolaeva_lineinaya_algebra_konspekt_lekciy_chast1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.09.2020

Размер:

842.16 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. a × b = 0 a b.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

а)

пусть

a × b = 0

a × b

sinϕ = 0

= 0 или

= 0 ,

или

sinϕ = 0

. В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор.

Его направление

не определено, поэтому можно считать, что

a b .

Если

sinϕ = 0

, то ϕ = 0

или ϕ = π , то есть a b .

б) пусть a b ϕ = 0 или ϕ = π sinϕ = 0 a × b = 0 a × b = 0.

2. a × b = −(b × a).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: По определению направления векторов a × b и

b × a противоположны, а модули равны, значит, векторы отличаются лишь знаком.

3. (α a + β b)× c = α (a × c) + β (b × c) – свойство линейности векторного

произведения по первому сомножителю (без доказательства).

Векторное произведение также линейно и по второму сомножителю. Используя определение и свойства 1 и 2, составим таблицу вычисления

векторного произведения базисных векторов i, j, k : векторы, стоящие в левом столбце, умножаются на соответствующие векторы верхней строки (рис. 20).

Векторное

произведение

- j

- k

- i

Рис. 20

Пусть в некоторой пдск a = xa i + ya

j + za k,

b = xb i + yb j + zb k . Найдем вектор-

ное произведение этих векторов:

a × b = (xa i + ya j + za k )× (xb i

+ yb j

+ zb k ) =

+ xa yb

= 0

× j ) + xa zb (i

× k ) + ya xb

( j × i) + 0 +

+ ya zb ( j × k ) + za xb (k

× i) + za yb (k × j )

+ 0

= xa yb k − xa zb j

− ya xb k + ya zb i + za xb j

− za yb i =

= ( ya zb − za yb )i

− ( xa zb − za xb ) j + ( xa yb − ya xb )k.

Заметим, что это выражение можно получить, вычислив символический определитель (сделать это можно по-разному, но лучше разложить по первой строке):

( ya zb

( xa yb

- xb ya ) .

= i

- yb za ) - j ( xa zb

- xb za ) + k

z b

Таким образом,

R R

a ´ b =

(2.8)

z b

ПРИМЕР. Вычислить векторное произведение векторов a = (-1,3,0), b = (2,4,5).

R R	i	j	k	R	R	R	= (15, 5, -10).
R R	-1			R	R	R
По формуле (2.8): a ´ b =	-1	3	0	=15i	+ 5 j -10k
	2	4	5

Заметим, что площадь треугольника, построенного на векторах a и b , можно вычислить двумя способами: как половину длины найденного вектора

или используя формулу (2.7). Заметим, что a ´ b = 5(3, 1, - 2) .

							1		R R			5						5
							1		R R			5						5
			S =						a ´ b	=			9			+1 + 4 =			14
			S =						a ´ b	=			9			+1 + 4 =			14
							2					2						2
или							2					2						2
или

		1			R	R			R R		2			1							5
S =		1			a	b		- (a,b)				=		1		10 × 45 -102 =					5	14.
S =					a	b		- (a,b)				=				10 × 45 -102 =						14.
2												2							2
2												2							2
ПРИМЕР. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-
																							π
торах a = 2 p − 3q и b = −2 p + q , если															R	= 2,	UR	=		UR R
торах a = 2 p − 3q и b = −2 p + q , если															q	= 2,	p	=	1, ( p, q) = .
Так как S =	a × b																					3
																						3
				,	то вычислим векторное произведение, используя его
				,	то вычислим векторное произведение, используя его

свойства: a × b = (2 p − 3q)× (q − 2 p) = 2 p × q − 4 p × p − 3q × q + 6q × p = 4q × p .

	R UR		R	UR
Отсюда S =	4q × p	= 4	q	p	sin	π = 4 3.
						3
						3

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕТОРОВ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением векторов a,b,c называет-

ся число (a,b ´ c) – скалярное произведение a на векторное произведение b × c .

Смешанное произведение обозначается так: (a,b,c) = (a,b × c).

Пусть в некоторой пдск a = ( xa , ya , za ), b = ( xb , yb , zb ), c = ( xc , yc , zc ). Обозначим

UR R R

= b ´ c =

j +

Тогда

R R R

R UR

+ za zp =

(a,b,c) = (a, p) = xa xp + ya yp

= x

− y

+ z

по 7 свойству определителей.

Таким образом,

R R R

(a,b,c) =

(2.9)

По

определению скалярного

произведения

R R R

R R

(a,b,c) =

b ´ c

cosα , α = (a,b ´ c).

b × c a

Совместим начала всех трех векторов в од-

ной точке. Тогда (рис. 21)

b ´ c

= S –

площадь параллелограмма,

cosα = h –

высота параллелепипеда,

Рис. 21

R R R

= S

× h = V –

объем параллелепипеда.

(a,b,c)

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векто-

рах-сомножителях, при этом (a,b,c) > 0 , если (a,b,c) – правая тройка, и

(a,b,c) < 0 , если (a,b,c) – левая тройка.

(R R R ) = Vпараллелепипеда .

СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов

является равенство нулю их смешанного произведения:

a,b,c

компланарны

(a,b,c) = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

(a,b,c) = 0.

а) a,b,c компланарны

Если a,b,c компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а

потому (a,b,c) = 0.

б) (a,b,c) = 0

a,b,c компланарны.

= 0

a = 0

R R R

R R

cosα = 0

= 0

(a,b,c) =

× c

b × c

b c

R R

b × c

cosα = 0

Во всех трех случаях

a,b,c

компланарны: в частности,

если a b × c , то a

параллелен плоскости векторов b,c , что означает их компланарность.

2. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не изменяет его величины. Перестановка соседних сомножителей изменяет его знак, не изменяя абсолютной величины:

(a,b,c) = −(b, a,c) = (b,c, a) = −(c,b, a) = (c, a,b) = −(a,c,b).

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.

3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами: (a,b × c) = (a × b,c).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим: (a,b,c) = (c, a,b) = (c, a × b) = (a × b,c).

4. Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей. (α1 a1 + α2 a2 ,b,c) = α1 (a1,b,c) + α2 (a2 ,b,c) – линейность по первому сомножите-

лю.

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей.

ПРИМЕР. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах a = (3, -1,1), b = (0, -5, 2), c = (-2,3,3) , и его высоту, перпендикулярную плоско-

сти векторов a и b .

Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих

							1		R R R
									R R R
векторах, поэтому Vт					=			(a,b,c)					.
векторах, поэтому Vт					=			(a,b,c)					.
					6											×2
					6
R R R	3 -1 1										1 2 4								1 2 4							-5 2



		-5 2								=	0 -5 2							=	0 -5 2			=								= -69 .
(a,b,c) =	0	-5 2								=	0 -5 2							=	0 -5 2			=								= -69 .
	-2 3 3										-2 3 3								0 7 11							7	11
	-2 3 3										-2 3 3								0 7 11
Отсюда Vт =				23	(заметим, что (a,b,c) –													левая тройка, так как смешанное
Отсюда Vт =					(заметим, что (a,b,c) –													левая тройка, так как смешанное
		2
произведение отрицательно).
Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой
																								R R R
																								R R R
		1	Sосн. × h h =									3V					1	R R		h =			(a,b,c)
V =		1										3V		; Sосн.	=		1	a ´ b						R			R	.


		3										Sосн.			2									a ´ b
		3										Sосн.			2									a ´ b
			R		R
			R		R													h =			69				23		30
По формуле (2.7)			a ´ b			=		11× 29 - 49 = 3							30						69	=			23		30		.


																		3			30	30
																		3			30	30

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск уравнением первой степени относительно двух переменных.

Если A – некоторая точка на прямой L , а n – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через A перпендикулярно n проходит единственная прямая на плоскости, а, во-вторых, для любой точки M L вектор AM ^ n . Таким свойством обладают только точки, лежащие на L .

Y			Чтобы вывести уравнение прямой, за-
			дадим на плоскости пдск XOY .
L	A ( x0	, y0 )	В этой системе координат A( x0 , y0 ) ,
	A ( x0	, y0 )	n = ( A, B) .
r0	M ( x, y)		n = ( A, B) .
r0	M ( x, y)		Пусть M ( x, y ) – произвольная точка
r			Пусть M ( x, y ) – произвольная точка
r			X на L . Тогда (рис. 22 ) AM = r − r0 . Так
О			X на L . Тогда (рис. 22 ) AM = r − r0 . Так

nкак AM n , то по свойству 5 скалярного произведения

Рис. 22	( AM , n) = 0 (r − r0 , n) = 0 –	вектор-
Рис. 22	ное уравнение прямой L .
	ное уравнение прямой L .
AM = ( x − x0 , y − y0 ) , поэтому по формуле (2.5) получим
	A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 .	(3.1)

Координаты точек, лежащих на прямой L , связаны соотношением (3.1). Если же M L , то AM не перпендикулярен n ( AM , n) ¹ 0 , значит, координаты M

не будут удовлетворять полученному уравнению. Поэтому (3.1) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных x и y .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой ненулевой вектор n , перпендикулярный пря-

мой L , называется ее нормальным вектором, или нормалью.

(3.1)		Ax + By + (− Ax0 − By0 ) = 0 . Обозначая	C = − Ax0 − By0 , получим
		Ax + By + C = 0 .	(3.2)
(3.2)	–	общее уравнение прямой на плоскости,	n = ( A, B) L – нормаль L .

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любой ненулевой вектор s , параллельный прямой, называется ее направляющим вектором.

Если A – некоторая точка на прямой L , а s – вектор, параллельный ей, то, во-первых, через A параллельно s проходит единственная прямая, а, вовторых, для любой точки M L вектор AM s . Таким свойством обладают

только точки, лежащие на L .

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск XOY . В этой системе координат A( x0 , y0 ), s = (m, n) .

Пусть M ( x, y ) – произвольная точка на L . Тогда					AM = ( x − x0 , y − y0 ) и
AM s. Запишем условие коллинеарности векторов:
	x − x0	=	y − y0	.	(3.3)
	m
			n

(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.

Если B ( x1, y1 ), C ( x2 , y2 ) L , то BC = ( x2 − x1, y2 − y1 ) – направляющий вектор прямой L , поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

x − x1	=	y − y1	.	(3.4)
x2 − x1
		y2 − y1

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

Пусть

s = (m, n)

–

направляющий вектор прямой L , и L

не параллельна

оси OY , тогда m ¹ 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Угловым коэффициентом прямой L называется число

k =

, m ¹ 0.

Очевидно, что если

α –

угол между прямой L и положительным направ-

лением оси ОХ, то tg α = k .

Рассмотрим уравнение (3.3)

прямой с направляющим вектором s :

x − x0

y − y0

y - y =

( x - x

) .

Отсюда следует

(3.5) –

уравнение прямой с заданным угловым коэффи-

циентом, проходящей через заданную точку A( x0 , y0 ) :

y = y ( x0 ) + k ( x - x0 )

(3.5)

Из (3.5) получим y = y0 + kx − kx0 . Обозначим b = y0 − kx0 , тогда

y = kx + b .

(3.6)

(3.6) –

уравнение прямой с угловым коэффициентом.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ НА ПЛОСКОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя прямыми на плоскости называется любой из двух смежных углов, образованных ими при пересечении. Если прямые параллельны, то угол между ними равен 0 или π радиан.

Пусть прямые заданы общими уравнениями.

: A x + B y + C = 0, n = ( A , B ),

L2 : A2 x + B2 y + C2 =

UUR

= ( A2 , B2 ),

0, n2

О n1

UR UUR

,L 2 )

, n2 )

(рис. 23).

ϕ = (L1

= (n1

Рис. 23

UR UUR

cosϕ

(n1, n2 )

или

cos ϕ =

A A + B B

(3.7)

UUR

2 + B 2

A 2

+ B

Условие параллельности прямых:

				UR	UUR	A1		B1
L	1	L	2	n n		A1	=	B1	.
L		L		n n			=		.
				1	2	A2		B2
						A2		B2

Условие перпендикулярности прямых:

L1 L 2 n1 n2 (n2 , n2 ) = 0 A1 A2 + B1B2 = 0 .

Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

L1 : y = k1x + b1, k1 = tg α1

L2 : y = k2 x + b2 , k2 = tg α2

Так как ϕ = α2

− α1 (рис. 24 ), то

tgϕ = tg (α

− α ) =

k2 − k1

1 + k1k2

α1

α2

Условие параллельности прямых:

L1 L2 k1 = k2 .

Условие перпендикулярности:

Рис. 24

ϕ = π

. Так как tg π не

существует, то 1 + k1 k2 = 0 .

ПРИМЕР. Даны вершины треугольника: A(−5,3) , B (−4, −6), C (0, 2) . На-

писать:

а) уравнение медианы AM , б) (рис. 25).

B M H C

Рис.25

высоты AH , в) найти угол между AM и AH


	а) A(−5, 3), M (−2, − 2) –				середина	ВС
(см.		(2.4)). Напишем уравнение (3.4) пря-
мой,			проходящей через		две точки:
	x + 5	=	y − 3	. Вектор AM = s = (3, −5) –		на-
3
			−5
правляющий вектор прямой					AM .

Перепишем уравнение медианы в общем виде:

(5,3) –

нормаль АМ.

−5( x + 5) = 3( y − 3) 5x + 3y + 16 = 0 nAM =

б)

BC = (4,8) = 4(1, 2) AH nAH = (1,2) – нормаль AH . Уравнение пря-

мой (3.1), проходящей через точку A перпендикулярно вектору nAH :

x + 5 + 2( y − 3) = 0 x + 2 y −1 = 0.

в)

= n , n

= n . По формуле (3.7) cos ϕ =

5 + 6

170

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Пусть в некоторой пдск

XOY задана прямая L : Ax + By + C = 0 и точка

M ( x0 , y0 ) L. Найдем расстояние от точки M до прямой L.

Пусть P ( x1, y1 )

– проекция точки M на L

(рис. 26),

тогда PM = ( x0 − x1, y0 − y1 ).

Нормаль

UUUUR

R UUUUR

UUUUR

= d

n = ( A, B) PM

(n, PM )

Рис. 26

где d – искомое расстояние, а (n, PM) –

скалярное произведение.

R UUUUR

Следовательно,

d =

(n, PM )

Так как	P ( x1, y1 ) L , то A x1 + B y1 + C = 0 . Поэтому
(n, PM ) = A( x0 - x1 ) + B ( y0 - y1 ) = Ax0 + By0 - ( Ax1 + By1 ) = Ax0 + By0 + C .
Отсюда	d =	Ax0	+ By0 + C	.	(3.8)



			A2 + B2

(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.

ПРИМЕР. Найти длину высоты AH ABC : A(−5,3), B (−4, −6),C (0, 2).

Уравнение BC (3.4):

x + 4

y + 6

2x - y + 2 = 0 d =

2 × (-5) - 3 + 2

–

искомая длина высоты АН.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОКРУЖНОСТЬ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск XOY задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных x, y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Окружностью называется совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром. Выведем уравнение окружности. Зададим пдск XOY . Пусть O1 ( x0 , y0 ) – фикси-

рованная точка (центр окружности), а R – расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если M ( x, y ) – произвольная точка окружно-

	UUUUR		UUUUR
	UUUUR		UUUUR	= ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2
сти, то длина O1M равна	R . O1M = ( x − x0 , y − y0 )		O1M	= ( x − x0 )2 + ( y − y0 )2
	( x - x )2	+ ( y - y )2 = R2		(3.9)
	0	0
Если точка M ( x, y )	не лежит на окружности, то				O1 M	¹ R и ее коорди-
Если точка M ( x, y )	не лежит на окружности, то				O1 M	¹ R и ее коорди-
наты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) –					уравнение окружности
с центром O1 ( x0 , y0 ) радиуса R .
Если O1 (0,0) , то уравнение окружности примет вид:
		x2 + y2 = R2 .		(3.10)

(3.10) – каноническое уравнение окружности.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>