Производная сложной функции

Пусть переменная у есть функция от переменной U: y=y(U), а переменная U, в свою очередь есть функция от переменной V: U=U(V), а переменная V – функция независимой переменной х: V=V(x) (эту цепочку можно было бы и продолжить).

 - Тогда переменная у является сложной функцией (суперпозиции функций) независимой переменной х: y=y(U(V(x))) ("сложена" из различных функций).

 - Если все функции в цепочке дифференцируемы, то производная сложной функции по независимой переменной (аргументу) равна произведению производных по промежуточным аргументам:

.

Аналогичную формулу для дифференцирования сложной функции можно получить при любом уровне вложенности и любых обозначениях, если заметить закономерность: производные в произведении вычисляются "по порядку", так, как записаны в выражении для сложной функции.

Схема:

Еще один пример (попробуйте построить формулу сами и сравните):

здесь аргумент – это t.

Таблица производных основных элементарных функций

 - Обратите внимание! При вычислении производных сложных функций в роли аргументахиз таблицы производных может выступать любая функция!

	Функция		Производная
1	Степенная		=
	Частные случаи
2	Показательная		=
	Экспонента		=
3	Логарифмическая		=
	Натуральный логарифм		=
4	Тригонометрические:
	синус
	косинус
	тангенс
	котангенс
5	Обратные тригонометрические
	арксинус
	арккосинус
	арктангенс
	арккотангенс

Примеры по вычислению производных различных функций – в разделе " Примеры выполнения обязательных заданий по теме 5 ".

На практике наиболее трудным оказывается дифференцирование сложной функции, когда необходимо правильно оценить порядок вложения функций. Поэтому здесь приведено несколько примеров. Напомним, чтонижний индекс в записи показывает, по какой переменной вычисляется производная.

Примеры

 ;	В этом примере функция "сложена" из показательной (3х), роль х играет sinx, и тригонометрической (sinx) функций.
	Здесь нижний индекс производной показывает, по какой переменной она вычисляется.
	По таблице производных находим производные соответствующих функций и перемножаем их. 

	Функция "сложена" из арктангенса (arctg x), квадратного корня и линейной функции (2х-1).
			По таблице находим производные, учитывая, что в
		роли х выступают различные функции (показаны нижним индексом). Перемножаем табличные производные выделенных функций. 

После вычисления производных не следует делать никаких алгебраических преобразований.

Производная неявно заданной функции

 - Если функция задается общим выражением относительно переменных x и y, то она называется заданной неявно:

F(x,y)=0,

(Сравните с явно заданной функцией: y=y(x)).

 - Чтобы найти производную , функции, заданной неявно, надо найти производную по переменнойх обеих частей выражения, задающего функцию.

 - При этом следует учитывать, что переменная y зависит от x (y=y(x)), и вычислять производную, как от сложной функции. Затем полученное уравнение разрешают относительно .

ПРИМЕР

Найти производную неявно заданной функции:

.

Найдем производные по х от левой и правой частей равенства, неявно задающего функцию y=y(x).

	Здесь использованы правила дифференцирования суммы и вынесения постоянной за знак производной (правила 3 и 5).
	Первое слагаемое является произведением функций:и Используем правило дифференцирования произведения (правило 4). Второе и третье слагаемые дифференцируются как сложные функции.
	Из полученного уравнения с помощью алгебраических преобразований выделяется производная.
. 