Дифференцирование функции одной переменной (производная и дифференциал) Производная функции

Приращения аргумента и функции в точке х₀ можно рассматривать как сравнимые бесконечно малые величины (см. тему 4, сравнение БМ), т.е. БМ одного порядка.

Тогда их отношение будет иметь конечный предел, который определяется как производная функции в т х₀.

• Предел отношения приращения функции к БМ приращению аргумента в точке х=х₀ называется производной функции в данной точке.

Символическое обозначение производной штрихом (а, вернее, римской цифрой I) введено Ньютоном. Можно использовать еще нижний индекс, который показывает, по какой переменной вычисляется производная, например, . Широко используется также другое обозначение, предложенное основоположником исчисления производных, немецким математиком Лейбницем:. С происхождением этого обозначения вы подробнее познакомитесь в разделеДифференциал функции и дифференциал аргумента.

• Производная, вычисленная в определенной точке – эточисло (если соответствующий предел существует и конечен).

Данное число оценивает скорость изменения функции, проходящей через точку .

Установим геометрический смысл производной функции в точке. С этой целью построим график функции y=y(x) и отметим на нем точки, определяющие изменение y(x) в промежутке

, где .

Касательной к графику функции в точке М₀ будем считать предельное положение секущейМ₀ М при условии(точкаМскользит по графику функции к точкеМ₀ ).

Рассмотрим . Очевидно,.

Если точку М устремить вдоль графика функции по направлению к точке М₀, то значение будет стремиться к некоторому пределу, который обозначим. При этом.

Предельный угол  совпадает с углом наклона касательной, проведенной к графику функции в т. М₀, поэтому производная численно равнаугловому коэффициенту касательной в указанной точке.

-

геометрический смысл производной функции в точке.

Таким образом, можно записать уравнения касательной и нормали (нормаль – это прямая, перпендикулярная касательной) к графику функции в некоторой точке х₀ :

Касательная - .

Нормаль - .

Представляют интерес случаи, когда эти прямые расположены горизонтально или вертикально (см. тему 3, частные случаи положения прямой на плоскости). Тогда,

если ;

если .

Определение производной называется дифференцированием функции.

 Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

 Теорема. Если функция y=y(x) дифференцируема в т. х₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, непрерывность– необходимое (но не достаточное) условие дифференцируемости функции.

Основные правила дифференцирования

Обозначения:

С - const, постоянная величина;

U=U(x); V=V(x) – дифференцируемые функции.

Основные правила дифференцирования относятся к так называемым композициям функций вида: .

1		Производная постоянной равна нулю:
2		Производная аргумента равна единице:
3		Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
4		Производная произведения двух дифференцируемых функций:
5		Постоянный множитель можно выносить за знак производной (следствие из 4):
6		Производная частного двух дифференцируемых функций (при условии, что V0):

Из приведенных правил следует: ;.