

Здесь требуется найти производную функции, заданной параметрически.

Если записать производную в дифференциальном виде: то можно найти ее как частное дифференциалов. Найдем дифференциалы х и у, как функций переменной t.

=.

После сокращения на dt получаем производную.





Надо найти производную неявно заданной функции.

Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что переменная у является функцией переменной х.

;

Сделаем алгебраические преобразования, направленные на выделение производной в полученном выражении.

Из последнего равенства найдем .





Найти дифференциал функции при данном значении х.

;

Дифференциал функции вычисляется по формуле : .

=

Подставим в полученное выражение заданное значение .

.

Окончательно: при .





Определим вид неопределенного выражения. Правило Лопиталя можно применять при неопределенностях вида .

После вычисления производных неопределенное выражение сохранилось.

=

Применим правило еще раз. Неопределенность раскрыта, получен ответ.



=

Приведение к общему знаменателю позволяет получить неопределенное выражение, которое можно раскрывать с помощью правила Лопиталя.

= ;

Перед вычислением производных учтем, что при , и .

= .

Здесь вместо повторного применения правила Лопиталя произведена замена эквивалентными бесконечно малыми величинами. 



В данном случае надо раскрыть степенную неопределенность. Степень числа е вычисляется как предел с

;

неопределенным выражением, раскрывающемся по правилу Лопиталя.

Правило применяется дважды, а затем, вместо того, чтобы применять его третий раз, можно выделить глав-

==

.

ные части числителя и знаменателя. После сокращения получим значение числа А.

.

Подставляем число А в степень числа е и получаем ответ.





Степенная неопределенность.

Степень числа е вычисляется как предел произведения функций и

;

всегда можно воспользоваться эквивалентными бесконечно малыми величинами и произвести замену

при (см. тему 4, таблица эквивалентных БМ величин).

Чтобы применить правило Лопиталя, приводим выражение под знаком предела к дроби.

=.

После сокращения получен ответ.

Число А надо подставить в степень числа е и найти предел.



1

Область

допустимых значений (D(x), ОДЗ)

Знаменатель функции обращается в нуль в точке х = 1. ОДЗ данной функции .

2

Нули функции и точки пересечения с осью 0У

График пересечет ось ординат ОУ при значении абсциссы х = 0, , поэтому график функции проходит через начало координат: (0;0).

3

Четная,

нечетная, общего вида

, значит данная функция является функцией общего вида.

4

Исследование точек разрыва и поведения функции на границах ОДЗ

Исследуем вид разрыва в точке х=1.

В точке х=1 имеется разрыв 2-го рода и прямая х=1 является вертикальной асимптотой функции.

5

Наклонные и горизонтальные асимптоты функции

, где и .

;

. Данная функция имеет горизонтальную асимптоту у = 1.

1

Точки возможных экстремумов - критические точки

; ; преобразованное выражение производной: . Критические точки:

при и

при (точка разрыва).

2

Интервалы возрастания / убывания (монотонности). Обозначения:  − возрастает,  − убывает

Критическая точка и точка разрыва разделяют интервалы монотонности функции. Определим знаки первой производной на каждом интервале.

3

Экстремумы (max / min)

Теперь можно сделать заключение об экстремуме функции в точке х=0. При переходе через эту точку первая производная меняет знак, убывание функции сменяет возрастание, поэтому это точка минимума функции : .

В точке х = 1 не существует экстремума, т.к. это точка разрыва второго рода.

1

Точки возможного перегиба графика функции

Найдем точки возможного перегиба графика функции: при и

(точка разрыва).

2

Интервалы выпуклости / вогнутости. Обозначения:  − вогнута,  − выпукла

Две найденные точки разделяют интервалы выпуклости / вогнутости функции. Определим знаки второй производной на каждом интервале.

3

Точки перегиба

Теперь можно сделать заключение о точке перегиба функции. При переходе через точку х = -1/2 вторая производная меняет знак, выпуклость функции меняется на вогнутость, поэтому это точка перегиба функции : .