Экономические задачи, связанные с последовательностью и ее пределом (элементы математики финансов)

Рассмотрим общепринятые в рыночной экономике алгоритмы начисления процента в зависимости от срока ссуды, типа процентов, схемы их начисления.

1. Построение числовой последовательности для нахождения денежных накоплений с учетом простых процентов.

Обозначим через А (ден. ед.) первоначальную сумму. Процентная ставка равна q процентов годовых. При накоплении денежных средств с учетом простых процентов в каждый временной период на добавляемый процент начисление не производится, и денежные накопления составят:

после первого года где

после второго года A ₂= A + A× r + A× r = A×(1+2r);

. . . 

после n-го года A_n = A×(1+n×r).

Итак, A _n = A×(1 + n×r ) .

2. Построение числовой последовательности для характеристики денежных накоплений с учетом сложных процентов.

При тех же обозначениях получим, учитывая теперь, что процент дохода начисляется на все денежные накопления:

после первого года A₁ = A + A_r = A×(1+r);

после второго года A₂ = A₁ + A₁×r = A×(1+r)²;

. . .

после n-го года A_n = A_n-1 + A_n-1×r = A× (1+r)ⁿ.

Следовательно, при начислении сложных процентов в течение n лет конечная сумма денежных накоплений составит

A_n = A×(1 + r)ⁿ .

Это основная формула для начисления сложных процентов. Величина S = 1 + r называется коэффициентом сложного процента.

3. Пусть проценты начисляются равномерно m раз в году, каждый раз по норме на новый остаток вклада (сумма предполагается стабильной на протяжении всего рассматриваемого периода), тогда общий член искомой последовательности будет иметь вид

4. Пусть проценты теперь начисляют непрерывно, т.е. m   , применяя второй замечательный предел:

В результате

A_n = A×e^{r× n} .

Эту формулу можно использовать для любых расчетов, обычно приближенных, связанных со сложными процентами.

Приведенные формулы связывают четыре переменные величины: A, A_n, r, n, где ,q – процентная ставка. Зная три из них, можно легко найти четвертую.

Например, из основной формулы для начисления сложных процентов

после преобразований получим следующие формулы:

Отметим, что операция нахождения начального вклада А называется дисконтированием. Значение А называют также современным значением для A_n.

Из формулы непрерывного начисления процентов

A_n = A ×e^{r× n}

получим такие выражения для тех же величин:

22