9.5 Функции нескольких переменных в экономической теории

Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории.

Функция полезности – одно из базовых понятий экономической теории. Многомерный ее аналог – это функция z=f(x₁,,x_n), выражающая полезность от n приобретенных товаров. Чаще всего встречаются следующие ее виды:

а)

б) Такая функция называется функциейпостоянной эластичности.

Также на случай n переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов x₁, x₂,,x_n. Приведем здесь наиболее часто встречающиеся виды производственных функций (z – величина общественного продукта, x₁ – затраты труда, х₂ – объем производственных фондов), полагая для простоты n=2:

а) функция Кобба-Дугласа (см. главу 5)

б) функция с постоянной эластичностью замещения:

Значительная часть экономических процессов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменныхz=f(x,y). Например, линии уровня производственной функции называются изоквантами.

Пусть рассматривается функция выпуска z=f(x,y), где и х, у – два различных фактора производства, а f(x,y) – максимально возможный выпуск продукции, который позволяют значения факторов х и у. Все значения факторов (переменных) должны принадлежать так называемой экономической области, которая характеризуется тем, что высекаемые ею части изоквант представляют собой графики убывающих функций, т.е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска. Иными словами, экономическая область – это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим.

Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об оптимальном распределении ресурсов. Пусть z=g(x,y) – функция издержек, характеризующая затраты, необходимые для обеспечения значений ресурсов х и у (часто можно считать, что функция издержек линейная: g(x,y)=p_xx+p_yy, где p_x и p_y – "цены" факторов х и у). Линии уровня этой функции – прямые, изображены на рис.9.2. Комбинация линий уровня функции f(x) и g(x) позволяют делать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов х и у. Очевидно, например, что пара значений (х₁, у₁) более предпочтительна, чем пара (х₂, у₂), так как обеспечивает тот же выпуск, но с меньшими затратами. Оптимальными же значениями факторов будут значения (х₀, у₀) – координаты точки касания линии уровня функции выпуска и функции издержек.

Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (рис.9.3).

Линии уровня затрат на приобретение товаров х, у изображены на рис.9.3 пунктиром. Оптимальное потребление обеспечивается значением (х_0, у₀) – координатами точки касания кривой безразличия и линии уровня затрат. В этой точке заданная полезность достигается наиболее экономичным образом.

Понятие частной производной также находит применение в экономической теории. Ранее было введено понятие эластичности функции одной переменной Е_х(у). Аналогично можно ввести понятие частной эластичности функции нескольких переменных.

z=(х₁,х₂,,х_n) относительно переменной х_i:

Так, например, в производственной функции Кобба-Дугласа , как нетрудно убедиться, Е_х(z)=b₁, E_y(z)=b₂, т.е. показатели b₁ и b₂ приближенно показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда х или только объема производственных фондов у на 1%.

Рассмотрим теперь частные производные - функции полезности. Они называются предельными (маргинальными) полезностямиMu_x, Mu_y. Если измерять количество товара в стоимостном выражении, то предельные полезности можно рассматривать как функции спроса на сопутствующий товар. Найдем предельные полезности для функции постоянной эластичности

Имеем , т.е. функции спроса с ростом стоимости каждого товара являются убывающими, а параметры b₁ и b₂ представляют частные эластичности спроса на эти товары.

Пример 1. Поток пассажиров z выражается функцией где х – число жителей; у – расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл.

Производная показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производнаяпоказывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами.

Пример 2. Для выпуска некоторого товара определена производственная функция f(x,y)=20x+10y-2y²+4x²+3xy, где х, у – факторы производства. Определить: а) закон изменения производственной функции; б) эластичность функции по каждому фактору; в) коэффициент эластичности по факторам при х=1, у=1.

а) Чтобы определить изменение производственной функции по факторам х и у соответственно, необходимо найти и:

б) По определению эластичность функции по каждому из факторов такова:

где z=20x+10y-2y²+4x²+3xy.

в) Вычислим коэффициенты эластичности при х=1, у=1. Учтем, что z(1,1)=20+10-2+4+3=35:

Таким образом, с увеличением фактора х на 1% произойдет относительное увеличение заданной производственной функции приближенно на 0,89% (при условии стабильности фактора у).

При увеличении фактора на 1% и неизменности фактора х производственная функция увеличится приближенно на 0,26%. Значит, наибольшее влияние на производственную функцию z=f(x,y) оказывает фактор х.

Отметим, что отрицательное значение коэффициента эластичности показывает уменьшение производственной функции при увеличении соответствующего фактора. Например, если E_x(z)=-0,08 и z=f(x,y) – функция выпуска продукции, то увеличение фактора х на 1% приводит к снижению выпуска продукции на 0,08%.

Пример 3. Фирма производит два вида товаров G₁ и G₂ и продает их по цене 1000 ден.ед. и 800 ден.ед. соответственно. Объемы выпуска товаров – Q₁ и Q₂. Функция затрат имеет вид: Требуется найти такие значения Q₁ и Q₂, при которых прибыль, получаемая фирмой, максимальна, и найти эту прибыль.

Суммарный доход от продажи товаров G₁ и G₂: R=1000Q₁+800Q₂.

Прибыль П представляет собой разницу между доходом R и затратами С, поэтому , или

Это и есть функция, максимум которой следует найти.

Для нахождения стационарных точек, определяем частные производные первого порядка от функции П(Q₁,Q₂) и приравниваем их к нулю:

Решение системы: Q₁=100, Q₂=300, стационарная точка М₀(100;300).

Находим частные производные второго порядка:

Значит, точка М₀(100;300) является точкой максимума.

Максимальная прибыль достигается при объемах производства Q₁=100, Q₂=300. Найдем сумму максимальной прибыли:

Понятие выпуклости функции также играет существенную роль в понимании важнейших экономических законов. Многомерные аналоги примеров, рассмотренных выше, позволяют математически сформулировать законы убывающей доходности и убывающей предельной полезности.