Глава 9. Функции многих переменных

В настоящей главе мы будем рассматривать обобщение понятий и методов дифференциального исчисления на случай функции двух, трех и более независимых переменных.

9.1 Основные понятия

Переменная величина u называется функцией независимых переменных х₁, х₂, ... , х_n , если каждой совокупности значений (х₁, х₂, ... , х_n) этих переменных из данной области их изменения по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие одно или несколько значений величины u. Обозначение: u= (х₁, х₂, ... , х_n) или u= u(х₁, х₂, ... , х_n). В случае функции трех переменных пишут u=f(x,y,z), а в случае функции двух переменных - u=f(x,y) или z= f(x, y), z= z(x, y).

Совокупность n чисел х₁, х₂, ... , х_n называют “точкой” в области изменения переменных х₁, х₂, ... , х_n и говорят о значении функции u в этой точке. Если функция задана аналитическим выражением (формулой) без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения понимают область существования ее аналитического выражения, т.е. совокупность всех тех точек, в которых данное аналитическое выражение определено и принимает только действительные и конечные значения.

Область определения функции трех переменных представляет собой некоторую пространственную область, в частности, некоторый объем. Область определения функции двух переменных представляет собой плоскую область.

Пример 1. Найти область определения функции z= ln (4+4x-y²).

Логарифм определен только при положительных значениях его аргумента, поэтому 4+ 4x- y²> 0 или 4+ 4x > y². Никаких других ограничений на аргументы x и y не дано.

Чтобы изобразить геометрически область D, найдем сначала ее границу 4+4x = y²или y² = 4(x + 1).

Полученное уравнение определяет параболу (рис. 9.1). Парабола делит всю плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю по отношению к параболе. Для точек одной из ее частей выполняется неравенство y² < 4 + 4x, а для другой y² > 4 + 4x ( на самой параболе y² = 4 + 4x).

Рис. 9.1

Чтобы установить, какая из этих двух частей является областью определения данной функции, т.е. удовлетворяет условию y²<4+4x, достаточно проверить это условие для какой-нибудь одной точки, не лежащей на параболе. Например, начало координат О(0, 0) лежит внутри параболы и удовлетворяет нужному условию 0< 4+4 0. Следовательно, рассматриваемая область D состоит из точек внутри параболы. Т. к. сама парабола в область D не входит, границу области - параболу- на рисунке отметим пунктиром.

9.2 Частные производные и полный дифференциал

Пусть функция u= (х₁, х₂, ... , х_n) определена в некоторой области D и точка M₀(х₁^о, х₂^о, ... , х_n^о ) - внутренняя точка этой области. Если существует предел (конечный или бесконечный) отношения частного приращения =f(х₁^о, ... , х_k^о+x_k, ... , х_n^о) - f(х₁^о, ... , х_n^о) функции u в точке M₀к соответствующему приращению переменной x_k при x_k0 , то этот предел называется частной производной функции u= (х₁, х₂, ... , х_n) в точке M₀ по переменной x_k и обозначается

Таким образом,

Частные производные находятся по обычным правилам и формулам дифференцирования. При этом, находя , все переменные, кромеx_k, рассматриваем как постоянные.

Функция u= (х₁, х₂, ... , х_n) называется дифференцируемой в точке M₀, если ее полное приращение

u= f(х₁^о+x₁, ... , х₂^о+x₂, ... , х_n^о+x_n) - f(х₁^о, ... , х_n^о)

представимо в этой точке в виде

где

а все частные производные вычислены в точке M₀.

Полным дифференциалом функции u в точке M₀ называется главная часть ее полного приращения в этой точке, линейная относительно приращений x₁, x₂, ..., x_n.

Следовательно,

Т.к. дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. x_k= dx_k (k=), полный дифференциал можно переписать в виде

При достаточно малых приращениях независимых переменных, т.е. при малом можно полное приращение функции приближенно заменить ее полным дифференциалом: