6. Экономические задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям

Пример 1. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость –А₀. Какова будет стоимость оборудования по истеченииt лет?

Пусть А_t– стоимость оборудования в моментt. Изменение стоимости (обесценивание) выражается разностьюА₀ – А_t. Скорость обесцениванияпропорциональна фактической стоимости в данный моментА_t. Получаем уравнение с начальным условием

Решив его, получим

Для определения произвольной постоянной С используем начальное условие А_t=А₀приt=0: A₀=Ce^-k0, C=A₀, A_t=A₀e^-kt.Полученное частное решение дает ответ на вопрос данной задачи.

Пример 2. Пустьy(t) – количество продукции, выпускаемой отраслью за времяt; р– цена продукции. Сумма инвестиций (средств, направленных на расширение производства)I(t) пропорциональна доходурy(t) с коэффициентом пропорциональностиm (m=const, 0<m<1). Увеличение скорости выпуска продукции пропорционально увеличению инвестиций с коэффициентом пропорциональности. Требуется найти количество продукции, выпускаемой отраслью за времяt, если в начальный момент времениt=t₀; y=y₀.

В соответствии с условием I(t)=m p y(t), или

Обозначим k=mp. Тогда уравнение примет вид Имеем уравнение с разделяющимися переменными y=Ce^kt

Учтем, что тогда Отсюда

Пример 3. Пусть спрос и предложение на товар определяются соответственно соотношениями

где р– цена товара;- тенденция формирования цены (производная цены по времени). Пусть также в начальный момент времени ценарза единицу товара составляла 1 ден. ед. Исходя из требования соответствия спроса предложению, найти закон изменения цены в зависимости от времени.

Для того, чтобы спрос соответствовал предложению, необходимо выполнение равенства Отсюда

Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Учтем, чтотогда

1=С+10; С=-9; p=-9e^-0,1t+10.

Значит, чтобы между спросом и предложением сохранилось равновесие, необходимо, чтобы цена изменилась в соответствии с полученной формулой.

Пример 4. Пусть спрос и предложение на товар определяются соотношениями гдер– цена на товар;- тенденция формирования цены;- темп изменения цены. Пусть также в начальный момент временир(0)=6, D(0)=S(0)=10. Исходя из требований соответствия спроса предложению, найти зависимость цены от времени.

Исходя из требования соответствия спроса предложению, имеем D=S.

Следовательно, откуда получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: Соответствующее однородное уравнение:

Характеристическое уравнение: Корни характеристического уравнения: Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде р_ч=А.

Тогда Подставив эти значения в дифференциальное уравнение, получим 2А=10, А=5, р_ч=5.

Общее решение будет таким:

Учтем начальные условия: р(0)=6; 6=С₁+5; С₁=1. Тогда

Отсюда Учитывая, чтоиD(0)=10, находим 10=2(-С₂)-(С₂-1)-6+15, откуда С₂=0. Значит,

Пример 5. Пусть торговыми учреждениями реализуется продукция, о которой в момент времениtиз числа потенциальных покупателейNзнает лишьхпокупателей. После проведения рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о продукции покупателей пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих.

Известно, что в начальный момент времени t=0 о товаре узналоN/ человек (время отсчитывается после рекламных объявлений),- заданное число. Найти закон изменения в зависимости от времени числахпокупателей, знающих о продукции.

Согласно условию, уравнение для определения x=x(t) имеет вид

, где- скорость изменения числа знающих о товаре покупателей;х– число знающих о товаре;N-x – число не знающих о товаре в момент времениt; k – положительный коэффициент пропорциональности.

Начальное условие: Решаем дифференциальное уравнение, являющееся уравнением с разделяющимися переменными: В результате интегрирования имеем ПолагаяNC=C₁, приходим к равенству гдеРешим последнее уравнение относительно х: гдер=1/А. Полученное уравнение называется уравнением логиcтической кривой.

Учтем начальные условия: Тогда- закон изменения числа покупателей в зависимости от времениt. В частности, при=2 получим На рисунке изображена лoгистическая кривая при=2.

Пример 6. Составить дифференциальное уравнение расширенного воспроизводства.

Обозначим Р– стоимость валового национального продукта,Р₁– стоимость производственных средств производства,Р₂.- стоимость средств потребления. ПустьТогдаР₁=HP, P₂=(1-H)P.

Обозначим долю перенесенной стоимости в национальном доходе черезS. Тогда национальный доход (в стоимостном выражении) является разностьюP-SP=P(1-S). Часть национального дохода идет на увеличение производственных фондовС(в фонд накопления) с целью расширения производства. Эта часть образует скорость увеличения, т.е.(t– время). Другая часть идет на потребление, т.е. Вводя фондоемкость прироста продукциии учитывая, что, получаем, откудаЭто уравнение называется дифференциальным уравнением расширенного воспроизводства.

Задача.Через какой промежуток времени произойдет удвоение совокупного общественного продукта Р, если зависимость его от времени определяется дифференциальным уравнением расширенного воспроизводства, гдеН=0,6 ; S=0,5; f=1.

При заданных постоянных параметрах уравнение принимает вид: или, и является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем общее решение:. ПостояннуюСнайдем из условия, что в начальный момент времениt=0 совокупный общественный продуктР=Р₀. Очевидно, тогдаС=Р₀и частное решение ДУ расширенного воспроизводства. Теперь найдем время, за которое произойдет удвоение совокупного (валового) продукта, т.е.Р=2Р₀. Для этого выразим время из частного решения:илиt=10 ln27. Удвоение совокупного национального продукта произойдет приблизительно через 7 лет.

30