Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Розв'язання. Підінтегральна функція

Розв'язання. Підінтегральна функція

, тому що її похідна

, тому що її похідна

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

11. Якщо неперервна функція f x , x l,l парна, то
l		l
f	x dx 2 f x dx .
l		0
Якщо f x – непарна, то
	l	f x dx 0 ,
		f x dx 0 ,
	l

тобто інтеграл з симетричними межами від непарної функції дорівнює нулю.

Якщо F x є первісною для неперервної функції f x на проміжку

a,b , то має місце формула Ньютона-Лейбниця:

b	f x dx F x	b	F b F a
b
				,
a		a
a

яка встановлює зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами і дозволяє знаходити значення визначеного інтеграла як різницю значень первісної на верхній та нижній межах визначеного інтеграла.

Приклади

1.Оцінити інтеграл 3sin x dx .

4 x

	x cos x sin x						x tgx cos x

f x			x tgx, x		;
	x	2		4			x	2
						3

спадає на відрізку

0 .


			3 3
Отже, найменше значення функції	m f			, а найбільше
			2
		3


значення функції M			2 2
	f			. Скориставшись теоремою про оцінку
	f			. Скориставшись теоремою про оцінку
		4
інтеграла, одержимо

396

															3 sin x
						3 3									3 sin x										2	2
																						dx									,
									2							x						dx									,
									2			3	4			x													3		4
															4
тобто
																3 sin x
													3			3 sin x										2
											0,22												dx					0,24 .
											0,22			8				x					dx			6		0,24 .
																4
																											19			sin x
		2. Оцінити абсолютну величину інтегралу																												sin x		dx .
		2. Оцінити абсолютну величину інтегралу																												8		dx .
																											10			1 x
																											10
		Розв'язання. Оскільки														sin x			1,						то			при			x 10 виконується
		Розв'язання. Оскільки														sin x			1,						то			при			x 10 виконується
нерівність					sin x			10 8				. Використовуючи властивість 7, одержимо
					sin x
					1 x8
		sin x		19			sin x			dx 19 10 10 8
	19
	19
			dx																	10 7 .
		8	dx				8													10 7 .
	10	1 x		10		1 x
																	1				sin x
		3. Оцінити інтеграл зверху I																			sin x			dx .
		3. Оцінити інтеграл зверху I																			2			dx .
																	0			1 x
																	0

Розв'язання. За узагальненою теоремою про середнє значення визначеного інтеграла маємо

1	sin x	1		dx				sin
		dx sin				sin arctgx	10

	2				2
0	1 x	0	1	x				4

Оскільки на відрізку [0, 1] функція sinx маємо оцінку інтегралу зверху:

1	sin x		sin1 0,64 .
	sin x	dx
	2	dx
0	1 x		4

0 1 .

зростає, то sin <sin1. Звідси

Можна отримати кращу оцінку, якщо ту ж теорему використати у вигляді

1		sin x			1	1			1		1 cos1
				dx			sin xdx						10	1 cos1 0,46 .

		2			1	2			1	2
0	1 x				1	0			1
0						0
			4. Обчислити інтеграл

2						2						2
			cos x cos3 xdx					cos x 1 cos2 x dx						sin x	cos x 1 2 dx



	2						2					2

397

=				Скористаємося парністю підінтегральної функції																																		=

		2															2
2 sin x cos x 1 2 dx 2																		cos x 1 2 d cos x
		0															0


		2																				3 2
=2 cos x 1 2d cos x														2 cos x												2	4	.
=2 cos x 1 2d cos x														2 cos x												2		.
		0																			3 2					0	3


						5. Обчислити інтеграл, якщо 0 ,
		1						dx									1				d x			cos
	I 1							dx							1						d x			cos									.

						x2		2x cos 1											x cos 2 sin 2
						Розв'язання
	I				1					x cos						1					1						1 cos							arctg		x cos
					1					x cos						1					1						1 cos									x cos
								arctg															arctg
								arctg															arctg
				sin							sin					1					sin									sin							sin
				sin							sin					1					sin									sin							sin
											2sin		2													2cos			2
		1									2sin				2											2cos				2
		1					arctg													arctg


			sin						2cos					sin										2cos					sin
									2cos					sin										2cos					sin
												2					2										2					2
		1																												1

											arctg tg																													.
					arctg tg						arctg tg																													.
	sin										2										2				2						sin			2	2		2		2sin

Метод заміни змінної у визначеному інтегралі

Теорема. Нехай функція f x неперервна на a,b , а функція х= t монотонна і має неперервну похідну на відрізку , , де a ,b . Тоді має місце формула заміни змінної у визначеному інтегралі

b		t t		dt .
	f x dx f	t t		dt .

a
	При заміні змінної інтегрування значення функції t не повинні
виходити за межі проміжку [a, b], коли t змінюється на , .
	Якщо функція			t є монотонною на проміжку , , то ця умова
виконується.
	Приклади
	a
	1. I		a2 x2 dx
	0

398

Розв'язання. Нехай x asin t . Визначимо нові межі інтегрування для змінної t. Нехай x 0 , тобто беремо х рівним нижній межі інтегрування у заданому інтегралі. Тоді за t можна взяти будь-який розв'язок рівняння

asin t 0,

наприклад t 0 . Для знаходження верхньої межі для змінної t

замість

підставляємо

верхню

межу

інтегрування,

що дорівнює а, і

розв'язуємо рівняння

a asin t ,

звідки

sin t 1,

2 n, n z , тобто

рівняння

має нескінченну множину розв'язків. При цьому, взявши

розв'язок t

, який відповідає n 0 , ми отримаємо, що при змінюапнні t

від 0 до

змінна х буде монотонно змінюватися від 0 до а. У такий спосіб

маємо

x a sin t,

dx a costdt

a2 a2 sin 2 ta costdt a2 cos2 tdt

x a,

2 1 cos2t

sin 2t

sin

2 2

ln 2

1 e2x dx .

2. I

Розв'язання. Функція

1 e2x

неперервною

і монотонною на

проміжку [–ln2,0]. Нехай

1 e2x

. Знаходимо межі інтегрування для

змінної

Якщо

x=0,

маємо

t=0;

якщо

x= – ln2, знаходимо

. Вочевидь, що функція, обернена до t, має

1 e 2 ln 2

1 e ln 4

ln 1 t 2

вигляд x

і буде неперервною та диференційовною на проміжку

0 t

. Тоді

ln 2

t 2 , 2e2x dx 2tdt,

1 e

1 e2x dx

tdt

e2x

t 2 1

399

								t 2 1 1																	3	1
																				3 2
3 2		t 2dt				3 2													t 1
															1						3	1
															1						3	1		2
													dt t					ln					ln	2
		t 2 1							t 2 1										t 1

															2					0	2 2			3		1
0						0																		2		1



					2				2			ln 2				.
3			1								3
3			1	ln			3				3				3
				ln			3								3
2	2									2
														2					dx
		3. Обчислимо інтеграл I																	dx	. Покажемо, що невиконання

																	2 cos x
															0

умов теореми при застосуванні метода підстановки призводять до помилок. Припустимо, ми хочемо використовувати наступну підстановку:

t tg			x			. Знаходимо нижню межу інтегрування t tg0 0 ,																																		а потім верхню
t tg						. Знаходимо нижню межу інтегрування t tg0 0 ,																																		а потім верхню
		2
межу t tg 0 . Тоді
		0								dt												0			dt
I 2										dt										2					dt	0 ,
I 2					1 t							1 t 2								2				2 3		0 ,
		0					2					1 t 2										0 t		2 3
										2

																2
												1 t				2
												1 t
що неможливо, тому що підінтегральна функція																																		1					0 . Пояснюється

																																		2 cos x
це тим, що функція tg																			x		в точці					x 0,						2 має розрив і, отже, не має
це тим, що функція tg																					в точці					x 0,						2 має розрив і, отже, не має
																			2
неперервної похідної.																		Підстановка									t tg				x	не може бути використана на
неперервної похідної.																		Підстановка									t tg				2	не може бути використана на
																															2
проміжку 0, 2 . Наведений інтеграл може бути обчислений у такий
спосіб:
2		dx							x t														dt								dt									dt
2									x t
									0																	2

	2	cos x																			2	cost											2 t
	2	cos x							2												2	cost					0 1 2sin						2 t
0																																		0				t		1
0																																	2	0
																																				sin 2						1
																																				sin 2					2 t	1
																																						2			2 t
																																							sin
																																							sin		2
																																									2
										dctg				t													ctg		t
														t															t
																						4										4			2
														2														2
				2																					arctg
																																					.
								3		1							t
																																	3 2
															2							3					3						3 2	3
							0						ctg
							0	2			2		ctg				2													0
								2			2						2													0

400

Формула інтегрування по частинам

udv uv

vdu

де u x

та v x – неперервно диференційовні

на

a,b функції.

Приклади

1. I arcsin

dx .

1 x

Розв'язання. Нехай u arcsin

, тоді

1 x

, dv dx, x v .

x 1 x 2

1 x

xdx

x 2 d

I x arcsin

3arcsin

3 3

1 x

21d

3 arctg

3 arctg 3

3 .

2. Обчислимо інтеграл In sinn xdx .

Розв'язання.

Нехай

u sin n 1 x ,

тоді

du n 1 sin n 2 xcosxdx ,

dv=sinxdx, v= – cosx. Маємо

In cos xsin n x

n 1 sin n 2

x 1 sin 2 x dx n 1 sin n 2

xdx

n 1 I n n 1 I n 2 n 1 I n .

Таким чином,

I n

n 1

I n 2 .

Отримане рекурентне співвідношення

дозволяє для будь-якого натурального n одержати значення інтеграла. При парному n:

	2k 1 2k 3 ...3 1 I 0	2k 1 ! !		2	.
I 2k	2k 1 2k 3 ...3 1 I 0	2k 1 ! !	, де I 0	dx	.
	2k 2k 2 ...2	2k ! ! 2		0	2
				0

401

При n=2k+1 знаходимо

2k 2k 2 ...2

2k !!

I 2k 1

, де I1 sin xdx 1.

2k 1 !!

1 2k 3 ...3 1

Крім

того,

cosn xdx sin n xdx

(що очевидно з геометричних

міркувань і можна перевірити заміною t

2 x ).

Таким чином,

2m 1 !!,

якщо n 2m, або

2m !!

якщо n парне.

cosn x dx sin n x dx

2m !!

якщо n 2m 1, або

2m 1 !!

якщо n непарне.

Наприклад,

5!!

5 3 1

sin 6

xdx

6 4 2 2

6!! 2

7.2. Геометричні застосування визначених інтегралів:

обчислення площ, об’ємів, довжин дуг

	7.2.1. Обчислення площ плоских фігур
	Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою			y f x , прямими
				b		x dx .
x a ,	x b, (a<b) y 0 і	f x 0 , то її площа дорівнює S f				x dx .
	Якщо f1 x f x ,			a
	Якщо f1 x f x ,	то площа, обмежена цими кривими та прямими
		b
x a і x b , дорівнює S f1 x f x dx .
		a	x x t t
	У випадку параметричного завдання кривої		x x t t			t t	2	за
					1		2
			y y t

умови, що обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки, площа обчислюється

t2		t2
S
	y t x t dt x t y t dt .
t1		t1

402

У полярних координатах площа фігури, обмеженої променями

, та кривою , дорівнює S 1 2 d . 2

Приклади:

			1.			Обчислити							площу, що міститься між колом																				x2 y2		16	і
параболою x2 12 y 1 .																																	y
																																	y
			Розв'язання.											Знайдемо							точки
перетину кривих										x2		y2 16																				S1
										x2		y2 16
											2	12 y 1
										x	2	12 y 1
16 y2 12y 12 , y												2 12 y 12 0													-4			x2		0				x1	4	x
y1 14						не підходить, тому що y 0 .																											S2
y1 14						не підходить, тому що y 0 .
		2 x2 12 x
y	2	2 x2 12 x											2 3 .
	2								1,2
			Даними кривими обмежені 2 фігури. Знайдемо площу S1 , тоді S2
можна знайти як різницю площі круга S R2 та S .
																										1
																													2
			2																												3
					3							1		2 3											3
																						1		x											8 3
								2							2
S1							16 x	2	dx					x	2	12 dx
																				2 I1							12
			2									12						=		2 I1		12		3			12							2 I1	3
				0								12		0								12		3					0						3
				0										0															0

			2	3							x 4sin t						dx 4cos tdt
			2	3
I1					16 x2 dx

												16 x			2	4cos t
			0									16 x				4cos t
			0																				3
			3					3
			3			2		3											1											3


16 cos							tdt 8		1 cos2t dt 8 t												sin 2t
16 cos							tdt 8		1 cos2t dt 8 t												sin 2t					8						.
			0						0										2				0					3		4
			0						0														0


	16	3
S1

	3	4

2. Обчислити y 2 x3 .

Розв'язання.


		16	3	32	4 3
S2	16					.

		3	4	3	3
		3	4	3	3

площу S , що знаходиться між кривими y 2 x2 і

y 1

Розв'язуючи спільно

					2
	y 2 x				2				A	S	B
	y 2 x								A	S	B
систему рівнянь		2		3	,	знаходимо
		2	x	3
	y		x
межі інтегрування x1 1 і х2=1.
									x1	x2		x
							-				2
							-	2			2

403

b	y1 y dx одержимо:
За формулою S	y1 y dx одержимо:
a
1		2		2 3			x	3	3		5 3	1	2
1								3				1

S 2 x			x		dx	2x				x		2		.
S 2 x			x		dx	2x	3		5	x		2	15	.
1							3		5			1	15

3.Знайти площу фігури, обмежену кривими, що задано

параметричними рівняннями x 6 cost

і y 2

y 2

y 4 sin t

Розв'язання. Знайдемо

точку

перетину еліпса та

прямої:

x 6cos 3.

2 3 4sin t ; sin t

Фігура являє собою

сегмент

еліпса, заданого

параметрично.

В силу

симетрії заданої фігури			обчислимо	y
половину площі				D		В
		t2		D		В
	S


		S1 S2 y t x t dt S2 ,		А
2				А

		t1	-6	0	С 6		x
		t1	-6	0	С 6		x

де S2 – площа прямокутника ОАВС.


Очевидно,			S2 3 2 3 6					3 .
	Для криволінійної трапеції ODBC параметр t																		змінюється від					до
																						3
. Оскільки х при							цьому			спадає,					то необхідно				змінити	знак		перед
2
інтегралом на протилежний.


	2								2			2			2	1 cos2t					sin 2t		2
S1 4sin t 6 sin t dt 24									sin t				dt		24				dt 12 t
S1 4sin t 6 sin t dt 24									sin t				dt		24	2			dt 12 t	2
																2				2

	3								3						3								3
	3								3						3
						2
				1							3


12					sin							2 3				3 .
12					sin		12					2 3				3 .
	2	3		2		3		6			4
	Відповідь: S 2 2 3													4 6				.
	Відповідь: S 2 2 3									3 6		3		4 6			3	.
	4. Обчислити площу, обмежену віссю абсцис і однією аркою
циклоїди x a t sin t ,								0 t 2 .
		y a 1 cost .

404

Розв'язання. Площа S

2			2		1 cost							2				2	2		1									2		t dt a					2 2								1 cos 2t
a													dt a									2cost cos																	1 2cost								dt
a													dt a									2cost cos																	1 2cost								dt
0																	0																			0									2
		2					3								sin 2t					2				2		3												sin 4						2
		2					3								sin 2t					2				2		3												sin 4						2
a								t	2sin t													a					2 2sin 2															3 a			од.кв.
a								t	2sin t													a					2 2sin 2															3 a			од.кв.
							2								2					0						2													2
							5. Знайти площу фігури, що обмежена петлею лінії:
																													2
																									x 3t				2
																									x 3t							.
																																.
																																3
																									y 3t t							3
																									y 3t t
							Розв'язання. Оскільки																	x x t						–		парна,							а		y y t		–		непарна, то
x x y –парна, тобто
графік буде симетричним відносно осі Ох.
																							y t 3 t 2						,			y 0 .
При t1 0									x 0 . t2,3															x 9 .
При t1 0									x 0 . t2,3													3		x 9 .
							З огляду на симетрію обчислимо площу і результат подвоїмо:

																																		5					3
							3											3																5					3
S 2 3t t											3	6tdt 12 3t									2			4							3		t												9 3
											3										2	t		4							3		t												9 3

																									dt 12 t								5							12 3 3					5
							0										0																5				0								5
																																					0

	12 6 3									72			3	.																											у
														.																											у
					5							5
							6. Обчислити площу фігури, що обмежена																																		0					9	х
																																									0					9	х
кардіоїдою a(1 cos ) .
																									Розв'язання. Площа фігури в полярних
																					координатах знаходиться за формулою
																																			1
																																S			1		2 ( )d .
																																S			2		2 ( )d .

																					З міркувань симетрії одержимо
				1
S				1		a2 2 (1 cos )2 d a2 (1 2cos cos2 )d
S			2			a2 2 (1 cos )2 d a2 (1 2cos cos2 )d
			2						0													0
									0													0

405

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2714 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191.18 Mб9krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб20kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566.37 Кб2kultura (1).docx
#
09.09.201992.61 Кб1kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб46Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб172Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб236Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб13Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб13Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx