Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

9 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

	2				1 cos 2			2	3		sin 2				3		2


a		1		2cos			d a			2sin						a		.
a		1		2cos	2		d a		2	2sin	4				2	a		.
		0			2				2		4			0	2
		0												0
			7.	Знайти площу,		що обмежена кривою r 2acos3 і лежить поза
колом r a .
			Розв'язання. r 2acos3 – трипелюсткова троянда, тому що
r 0			cos3 0			2k 3				2k		2k							2k	.
r 0			cos3 0			2k 3				2k										.
						2				2	6		3				6		3

Таким чином, одержимо фігуру з трьох пелюстків з осями:

0,			2				4
	2				3
1		3				3

rmin 0, rmax				2a .

З огляду на симетрію обчислимо площі за формулою

S 1 2 2d . 2 1

Знайдемо точки перетину кривої та кола:

;

16 частину

r 2acos3	cos3	1		2k	.


r a		2	9	3

1) Знайдемо 12 площі одного з трьох пелюстків:

S				1		9	4a2cos2 3 d 2a2												9		1 cos6				d
S			2				4a2cos2 3 d 2a2												9						d
1			2																				2
1
						0													0
								sin6					9
								sin6					9							3
a2															a2							.
a2															a2							.
											6						9		12
														0																			.
														0
2)		S2 площа сектора круга радіуса a , з кутом, що дорівнює
																																	9
S					R2						a	2			a2		.
S	2					2					2 9				18		.
	2

																							2		2			2			2
																							2		2			2			2
Оскільки									1	S S					S		, то	S		6		a		a		3	a			a		2 3		3 .
Оскільки										S S					S	2	, то	S		6												2 3		3 .
							6							1		2						9			12		18		6
							6															9			12		18		6

406

7.2.2. Обчислення довжини дуги

Довжина дуги кривої в декартових координатах:

	b
	b		y 2 dx
L 1			y 2 dx		(a<b).
	a				x x t ,
У випадку параметричного завдання кривої					x x t ,	маємо
У випадку параметричного завдання кривої						маємо
					y y t
					.
L	(xt' )2 ( yt' )2 dt;				.

		2
		2		2 2 d ; 1 2 .
У полярних координатах	L			2 2 d ; 1 2 .
		1

Приклади

1. Знайти довжину астроїди x23 y23 a23 .

Розв'язання

Перший спосіб

l/4

dx .

1 yx

Диференціюючи рівняння астроїди, одержимо

1 3

y1 3

yx 0

x1 3

Тому довжина дуги однієї чверті астроїди:

													2 3	a
1	a		y	2 3		a	a	1 3		3a	1 3	x

	l	1			dx				dx
4			x	2 3			x1 3				2
	0				0									0

Другий спосіб (параметричний)

l xt ' 2 yt ' 2 dt .

32a l 6a .

x acos3t		x ' 3acos2tsint
			t	.
		,		.
y asin3t		y ' 3asin2tcost
			t
x ' 2	y	' 2	9a2cos2tsin2t ,	x ' 2		y ' 2	3acostsint .
t	t				t	t

407


	2		2
1		3a		3a		2
	l 3a cost sin tdt		sin 2tdt		cos 2t
4		2		4
	0		0			0

l 6a .

34a 2 32a .

2. Знайти довжину дуги трактриси

cost lntg

asint

від точки A 0,a до точки B x, y .

xt 2

yt 2 dt.

Розв'язання. l

yt acost.

asint1 a t1

t2 arcsin

sint

x t 2

yt 2

a 2

sin 2 t 2

cos2 t

sin 2 t

1 sin 2

2 cos2 t

sin

Тому що arcsin

, маємо

a cost

dt a ln

sin t

a ln

arcsin y a

sin t

arcsin y a

3. Знайти довжину кривої r a sin 3

, якщо змінюється від 0

до 3 .

Розв'язання. r' a sin 2

cos

a2 sin6

2 sin4 cos2

a 3

a sin2

1 cos

408

7.2.3. Обчислення площі поверхні обертання

Площа поверхні обертання дорівнює S 2 ydl або, у випадку

параметричного завдання кривої,

S 2 y(t) x 2 (t) y 2 (t)dt.

1. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох петлі кривої:

9 y2 x 3 x 2 .

Розв'язання. Для верхньої частини

0 x 3

3 x

кривої

при

маємо

x .

Тоді

диференціал

дуги

dx .

На

2 x

підставі формули S 2 ydl

площа поверхні

2x x2 3 dx 9 9 9 3 .

S 2 1 3 x x x 1dx

0 3

3 0

2. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням однієї арки циклоїди навколо осі OX :

x a(t	sin t)	0	t .
	cost)
y a(1

Розв'язання

		2																			2
S 2 a2 (1 cost)									(1 cost)2 sin 2							tdt 8 a2 sin 3
		0																				0
				cos	2 t					t			8 a	2	2a cos			t			2	3
8 a	2	2	1			sin					dt											cos
	2	2	1		2	sin				2	dt											cos
					2					2								2 3
		zz0
							2					2		2		64			2
				8 a				2					2				a			.
				8 a				2					2				a			.
												3		3		3

2t dt

t 2

2 0

409

7.2.4. Обчислення об'ємів тіл

1. Об’єм тіла за площами паралельних перерізів.

Нехай тіло має обє'м V. Будемо вважати, що площа S x переріза цього тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох, є відома функция, неперервна на відрізку a, b (рис. 7.3). Тоді обє'м тіла обчислюється за формулою

V S x dx .

		S(x)	S(b)
		S(x)
0	a		b	x
	S(a)

Рис. 7.3

2. Об'єм тіла, отриманого при обертанні криволінійної трапеції, що обмежена зверху кривою y f x , прямими x a , x b , y 0 , навколо

осі ОХ (рис. 7.4), знаходиться за формулою

Vox y 2 dx ,

при обертанні навколо осі ОY (рис. 7.5):

Voy 2 xydx .

y	y=f(x)
	y=f(x)
a	b
0	x

Рис. 7.4

y=f(x)

b x

Рис. 7.5

410

Приклад 1. Обчислити об'єм тіла, обмеженого еліптичним

параболоїдом z

x 2

y 2

і площиною z H .

a 2

Розв’язання. В перерізі параболоїда площиною, паралельною до

площини Оху, маємо еліпс. Для знаходження

S z

перепишемо рівняння

параболоїда таким чином

x 2

y 2

Тоді

півосі еліпса

дорівнюють

a1 a z і

b1 b

z , а його площа

S z a1b1

z abz .

Остаточно маємо

V ab zdz ab

abH 2 .

z 2

Приклад. Обчислити об'єм тривісного еліпсоїда

Розв’язання.

перерізі

еліпсоїда, утвореного площиною,

паралельною до площини Оyz,

маємо еліпс

z 2

;

або

-a

z 2

-b

-c

осі еліпса

дорівнюють

b b

c c

, а його площа

S(x) b c

bc 1

. Тоді об'єм еліпсоїда дорівнює

1 1

2 bc

abc .

V 2 bc 1

2 dx 2 bc x

411

У випадку, коли a=b=c, маємо сферу, об’єм якої дорівнює

V 43 R3 , R=a=b=c.

Приклад 3. Обчислити об'єм тіла, обмеженого двома прямими круговими циліндрами.

z Розв’язання. В перерізі,

перпендикулярному до осі Ох маємо квадрат. На рисунку зображена восьма частина тіла. Сторона квадрата дорівнює

ординаті

точці

кола

x2 y2 R2 ,

абсциса якої дорівнює х. Таким чином

сторона

квадрата

дорівнює

x2 ,

його

площа

S x y2 R2 x2 .

Остаточно

маємо

V 8 R

2 x2 dx

(куб. од).

3. Об'єм тіла, отриманого при обертанні фігури, що обмежена

лініями y y2

x і

y y1 x

y1 y2

y22

y12 dx,

Vox

Voy 2 x y2

y1 dx.

Приклад 1. Обчислити об'єм кулі радіуса R з центром на початку координат.

Розв'язання. Кулю отримаємо оберненням навколо осі ОХ півкола

R2 x2 . Тоді її об’єм обчислюється так:

Vox R2 x2

dx 2

R2 x2

dx 2 R2 x

2 R3

R3 (куб.од).

Приклад 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox однієї арки синусоїди y sin x .

412

Розв'язання


V sin2 xdx				1	cos 2x dx		y
V sin2 xdx			2	1	cos 2x dx		y
0			2	0
0				0
						2
	1					2	0	π x
x		sin 2x				.
x		sin 2x				.
2	2				0	2

7.3. Фізичні та механічні застосування визначених інтегралів

Розглянемо застосування визначеного інтеграла до розв'язання
деяких фізичних задач.
1. Маса неоднорідного стрижня. Нехай стрижень розташовано на
відрізку	a,b . Лінійна щільність цього стрижня змінюється за законом
x . Тоді маса такого стрижня обчислюється за формулою
		b
	M x dx .
		a
2.	Статичні моменти M x ,	M y та моменти інерції	I x , I y , Io
плоскої однорідної кривої.		АВ має рівняння y f x , a x b .
Припустимо, що крива лінія
Нехай	ця дуга матеріальна з	рівномірно розподіленою	щільністю
const . Тоді статичні моменти та моменти інерції обчислюються за
формулами:

а) відносно осі Ох

b yds ,

b y2ds ;

б) відносно осі Оу

M y xds ,

I x x2ds ;

x2 y2

dS ,

в) момент інерції відносно початку координат Io

де

ds 1 y 2 dx – диференціал дуги кривої.

3. Статичні моменти

M x ,

M y та

моменти інерції

I x , I y

криволінійної трапеції.

413

Нехай задано плоску фігуру (криволінійну трапецію), яка обмежена

кривою

y f x , прямими

y 0 ,

x a ,

x b і має постійну поверхневу

щільність const .

Тоді статичні

моменти та

моменти

інерції цієї

трапеції обчислюються за формулами:

а) відносно осі Ох

b y2dx ,

b y3dx ;

б) відносно осі Оу

M y xydx ,

I x x2 ydx .

4. Координати центру ваги:

а) плоскої кривої y f x ,

a x b

b xds ,

yds ,

де l – довжина кривої, ds – диференціал дуги кривої;

б) криволінійної трапеції

b xydx ,

b y2dx ,

де S – площа трапеції.

y f x ,

y x ,

в) плоскої однорідної фігури, обмеженої кривими

x a ,

x b . При цьому

припускається,

що

функції

f x

та

x є

неперервними, невід’ємними на сегменті

a,b та задовольняють умови

f x x

x a,b . Координати центру ваги такої фігури вмзначаються

за формулами:

x f x x dx

f 2 x

2 x dx

f x x

f x x dx

Мають місце такі теореми.

Теорема (перша теорема Гульдіна). Площа поверхні тіла,

утвореного обертанням дуги плоскої кривої навколо деякої осі, що лежить у її площині і не перетинає її, дорівнює добутку довжини (s) даної дуги на довжину кола, описаного при цьому обертанні центром ваги дуги, тобто П s 2 y .

414

Теорема (друга теорема Гульдіна). Об’єм тіла, утвореного обертанням дуги плоскої фігури навколо деякої осі, що лежить у її площині і не перетинає її, дорівнює добутку площі (S) даної фігури на довжину кола, описаного при цьому обертанні центром ваги фігури, тобто

V S 2 y .

Далі розглянемо ще деякі фізичні задачі, які можливо розв'язати за допомогою визначеного інтеграла.

Задача 1. Визначити роботу, необхідну для запуску ракети вагою P з поверхні Землі на висоту H. Чому дорівнює ця робота, якщо ракета повинна бути віддалена в нескінченність?

Розв'язання. Величина сили F, що виконує роботу при піднятті ракети з поверхні Землі, дорівнює величині сили тяжіння ракети Землею, тобто

F x k MP , qx 2

де M – маса Землі, qp – маса ракети, k – сталий коефіцієнт, x – відстань від

центру Землі до ракети. Сила F спрямована по радіусу від центру Землі. У тому ж напрямку відбувається і переміщення ракети із положення a=R (R – радіус Землі) до положення b=R+H.

Розіб'ємо відрізок [R,R+H] на частини xi , xi 1 та обчислимо приблизне значення роботи Ai на i-й ділянці. Через малість виділених

ділянок xi будемо вважати,	що величина сили F на кожній ділянці є
сталою і дорівнює значенню цієї сили в точці xi. Тоді
A F x		x		kMP		x		.
A F x		x	i			x		.
i	i		i	qxi2			i
				qxi2
Робота, яка відповідає всьому відрізку [R,R+H], приблизно
визначається як
		n		n
A Ai					kMP		xi .		(7.1)
A Ai							xi .		(7.1)
	i 1			i 1 qxi2

Переходячи до границі в рівності (7.1) при 0 , отримаємо, що точне значення роботи A визначається як

A lim

kMP

kMP R H dx

kMP

(7.2)

qx2

q R

415

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.08.20191 Мб10krivolin integral (1).doc
#
02.02.20152 Мб6ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201522 Мб24kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
01.04.202566 Кб4kultura (1).docx
#
09.09.201993 Кб3kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20159 Мб53Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156 Мб174Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20155 Мб243Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.20152 Мб15kurs_lek istor ukr.pdf
#
12.08.20192 Мб7kurs_po_org_vir.rtf
#
11.07.2019251 Кб7Kurs_Булев_ал.doc