Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный Технический Университет Харьковский Политехнический Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.02.2015

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 272 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Нехай задана функція y=f(x), де x − незалежна змінна. Диференціал

цієї функції

є деяка функція від х, при цьому від х залежить

dy y dx

тільки

y . Якщо y у свою чергу − диференційована функція,

то можна

визначити диференціал другого порядку. Диференціалом другого порядку

називається диференціал диференціала функції, тобто

d(dy)=d( y d x)= y

=d y,

або

y y dx

Взагалі диференціалом n-го порядку називається перший диференціал

диференціала (n−1)-го порядку, що позначається так:

d n y d d n1y y(n)dxn .

Користуючись диференціалами різних порядків, похідну будь-якого

порядку можна подати як відношення диференціалів відповідних порядків:

d 2 y

(n)

d n y

x dx ;

x dx2 ;...

x dxn .

(5.7)

Зауваження. Одержані рівності при n>1 є вірними тільки в тому

випадку, коли х є незалежною змінною.

5.4. Застосування похідної до дослідження функцій та побудови

графіків. Обчислення границь

5.4.1. Основні теореми диференційного числення

Теорема Ролля. Якщо функція f(x) неперервна на сегменті [a,b] має

похідну в інтервалі (a,b) і на кінцях відрізка [a,b] має рівні значення, то в

інтервалі

(a,b) існує

принаймні

одна точка

x=c , в якій похідна даної

функції дорівнює нулю, тобто

f '(c)=0 .

На

рисунку

5.3.

подана

геометрична ілюстрація теореми Ролля.

Теорема Лагранжа (про скінченні

прирости). Якщо функція f(x) неперервна

на сегменті [a,b]

і має похідну f x в

Рис. 5.3

інтервалі (a,b), то існує принаймні одна

276

така точка в інтервалі (a,b), що

f b f a

f .

b a

Геометрично теорема Лагранжа тлумачиться так. На дузі AB (рис. 5.4)

неперервної кривої, до якої можна

провести дотичну в будь-якій точці,

знайдеться принаймні одна точка C, в

якій дотична паралельна хорді, що

стягує кінцеві точки цієї кривої.

Теорема Ролля випливає з теореми

Лагранжа як

частковий випадок

при

f (a) f (b),

тобто

коли

хорда

АВ

Рис. 5.4

паралельна осі Ох.

Теорема Коші (про середнє значення).

Якщо функції f(x) та

(x)

неперервні на сегменті [a,b], мають похідні

x та

в інтервалі

x 0, то в інтервалі (a,b) існує принаймні одна точка

(a,b), при цьому

, така, що

f b f a

, де a b.

b a

Теорема Коші є узагальненням теореми Лагранжа.

5.4.2. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Правило Лопіталя використовується для розкриття невизначеностей

вигляду	0	та	та може бути сформульовано у вигляді теорем:


	0

Теорема 1. Нехай однозначні функції f x та x диференційовані всюди в околі точки a , тобто при x a , і перетворюються в нуль при x a або прямують до нескінченності, при цьому x 0. ,Тоді, якщо

існує границя (скінченна чи нескінченна) відношення похідних у цій точці, то відношення функцій має ту саму границю, тобто

lim

f x

або

lim

x a

277

		f x	0

Теорема 2 ( x ).	lim			або

	x x		0

lim f x .x x

Зауваження. Підкреслимо ще раз , що існування границі відношення похідних гарантує існування границі відношення функцій. Зворотне твердження неправильне, тому що границя відношення функцій може існувати при відсутності границі відношення похідних.

Приклад.

f x x sin x; f x 1 cos x;

x x; x 1.

f x

x sin x

sin x

lim

lim 1

lim

lim 1 cos x

– не існує.

Обчислити границі, користуючись правилом Лопіталя.

					1
	ctg x 1	0
Приклад 1. lim				lim		sin2 x

x	sin 4x	0		x cos 4x 4

4			4

2	1	.

1 4	2

Приклад 2

lim 2arctg x

x 3

e x 1

0 lim

0 x

21 1x2

	3				3

	e x
					x2

2	lim	x2	2	.
		x2
3 x 1			3

Зауваження. Правило Лопіталя може бути застосовано декілька разів, якщо відношення похідних знову призводить до невизначеності, а самі похідні задовольняють умовам правила Лопіталя.

Приклад 3

cos x ln x 3

ex e3

lim

cos3lim

x 3

cos3lim

x 3 ln ex e3

x 3

ex e3

e3 cos3lim

cos3.

x3 1

278

Приклад 4

		ex		x3		x2										ex	x2
								x 1					0	lim					x 1		0		lim	ex x 1
lim				6		2		x 1					0				2		x 1		0			ex x 1

													0			sin x x					0			cos x 1
x0			cos x x				2		1					x0									x0
			cos x x						1


						2
	0				ex	1				0				ex
	0				ex	1				0				ex
			lim								lim				1.
			lim								lim				1.
	0		x0 sin x							0		x0 cos x
			Невизначені вирази інших типів:															0 , , 00 , 0 , 1 .
			Розкриття						невизначеностей вигляду											0		та проводять за

допомогою тотожних перетворень, які переводять ці невизначеності до

вигляду

або

, а потім застосовують

таблицю еквівалентних

нескінченно малих та правило Лопіталя.

а) Нехай y f x x і

lim

f x 0,

lim x . Тоді

x x0

lim f x x

lim

f x

, або

x xo

2 x

lim f x x

lim

f x

x xo

f x

f 2 x

Приклад 5

	a2 2	tg		0	lim	a2	2

lim

a			2a		a

						ctg 2a

0	lim		2			4a	2	.
0			2			4a	2

0					1
0	a				1
		2a		sin	2
				sin	2a
					2a

Приклад 6

cos 1 x

cos2

sin

lim

2 2

cos

ln 1

x1 ln 1 x

1 x

lim

x 1

lim

2 x

2 x1

cos

2 x1

2cos

sin

2 2

279

						б)			Якщо y f x x і																												lim					f x ,												lim x ,																то записуємо
																																				x x0																		x x0
														x
y f x 1														x						,
y f x 1																				,
														f x
lim f x x																																																x
																												lim										f x 1										x
																												lim										f x 1										f x
x xo																														x xo
x xo																								x						x xo
																																		0							, A 1
																																		0							, A 1
		1									,			A lim																																		.
		1									,			A lim												x																						.
																	x xo								f	x											, A 1
						Приклад 7
																																							xsin x
								x																																								2					0									sin x x cos x


lim																														lim																										lim																			1.
lim																														lim																										lim																			1.
x			ctg x										2cos x																			x										cos x											0					x									sin x


2																																						2																						2
						Приклад 8


lim 3							x a x b x c x																																																				a										b					c
																																																											a										b					c
																																													lim x									3 1							1										1					1
																																													lim x									3 1							1										1					1
x																																														x													x										x					x
x																																														x													x										x					x

			z												1 az 1 bz 1 cz 1 3 1																																				0
		1
		1

		x								lim
		x								lim																			z																					0
		z 0										z0																	z																					0
		z 0
				1			1 az 1 bz 1 cz 23 a 1 bz 1 cz b 1 az 1 cz c 1 az 1 bz
				3			1 az 1 bz 1 cz 23 a 1 bz 1 cz b 1 az 1 cz c 1 az 1 bz
lim				3
lim																																									1
z0																																									1
	a b c										.
											.
					3
						Приклад 9
																																																							1													1
																																															3 1 x3 2 1																x 2


lim									1													1																				lim																															0
									1													1																																																			0

x 1							2 1							x				3 1 3									x																	x 1													1								1							0
																																																									1								1

																																																6	1 x 2 1 x																	3


																			1							2					1									1
																			1												1
														3							x					3	2								x				2															1 1										0
														3							x					3	2				2				x				2
lim																			3												2
lim																1							1										1													2						6 0 0											0
		x 1										1				1							1										1								1					2						6 0 0											0
												1				2	1 x3										1 x 2														1					3
							6							x																													x
							6					2		x																													x
												2																														3

280

									x			2						1
									x			3 1 x6
																														0

lim
lim				2					1						1									1					0
x1				2					1						1									1					0
	x 3 3x6 1											x3							2 1 x 2


																			1			5
																			1
																				x	6
lim																			6	x	6
																			6
							5						1				1								2										1
x1			1				5						1				1				1				2								1		1
	3
							6	1 x3								x 6									3		2								2
					x																		x											x
					x																		x											x
			6																		3												2
			6																		3												2
										1				5												1
														5

												x	6																		1
lim										6		x	6													6						.
										6																6
																									2
x1 1					5						1						1				1				2			12
		x			6 1			x3					x				2 x				2
		x			6 1			x3					x				2 x				2
	2
	2

						0
	в) Якщо y f															x x					, то ми можемо дістати, відшукуючи границю,

невизначеності: 0;																00; 1 . В такому випадку попереднім перетворенням

степенево-показникового виразу за основною логарифмічною тотожністю a eln a знаходимо спочатку границю виразу ln y x ln f x , потім границю y eln y .

Урезультаті цих дій отримуємо “формальний” запис невизначеності

впоказникові:

а) 0 eln 0		0	0
	e0ln e0 e1 e
	e0ln e0 e1 e			0	;
	0		0

б) 00 eln 00 e0 ln 0 e0 e1 e0 ;

0 0 в) 1 eln1 e ln1 e 0 e1 e0 .

При обчисленні границь зазвичай об’єднують застосування еквівалентних нескінченно малих за правилом Лопіталя. Всі множники, які наближаються до скінчених границь, що відмінні від нуля, відразу замінюють на ці границі.

281

Приклад 1

lim

ln x

x 0

ln e

lim

e .

lim xln e

11 ex 0

Приклад 2

sin 5x

cos5x

lim

ln cos 5x

2 lim

cos 5x

lim

ex 0 x2

x 0

sin 5x

5 lim

x e25.

x 0

cos5x 1

Приклад 3

1 2x ln 2

lim x 2x

lim

x2x

lim

x2x

ex x

ln 2

lim

eln 2

Приклад 4

lim

2x ln tg x

lim

ln tg x

tg x

lim

ex 2

x 2

2x 2

2 2x 2

lim

tg x cos

lim

sin x cos x

2 x

sin x

2 0

Приклад 5

1 kx

lim

ln 1kx

m lim

lim

ex 0 x

x 01kx

ekm.

282

Зауваження. Існує ряд границь, в яких невизначеність може бути усунена тільки за допомогою правила Лопіталя.

Наведемо деякі з них.

Приклад 1. Обчислити границю функції y	ax	,	n N при
	xn

Розв’язання
Нехай a 1, тоді

lim

ax ln a

lim

ax ln a 2

lim

ax ln a n

nxn1

x xn

x n n 1 xn2

Тут правило Лопіталя застосовано n разів.

Якщо 0 a 1, то

lim

0 .

x xn

Приклад 2

lim x

loga x

lim

loga x

lim

x n

nx n1

x0 x ln a

lim

lim xn

0, a 0, a 1, n N.

n ln a x0 x n

n ln a x0

x .

5.4.3. Формула Тейлора

Нехай функція f(x) має всі похідні до (n+1)-го порядку включно, в деякому проміжку, який містить у собі точку х=а, для будь-якого х з цього проміжку є справедливою формула


f x f a f ' a x a		1	f '' a x a 2 ...		f n1 a	x a n1
					n 1 !
	2!
	f n1 a x a			x a n1 ,	0 1.		(5.7)
	n 1 !

Ця формула називається формулою Тейлора для функції f(x). Якщо у формулі (5.7) покласти а=0, то вона запишеться у вигляді

f x f 0 f ' 0 x	1	f '' 0 x2 ...	f n1 0	xn1
	2!		n 1 !

283

+	f	n1 x	xn1,	0 1.
		n 1 !

Формула (5.8) називається формулою Маклорена. Наведемо розкладення деяких функцій за формулою Маклорена.

Приклад 1. Розкладення показникової функції f x ex

ex 1

...

xn1

e x ,

0 1.

n 1 !

Приклад 2. Розкладення тригонометричних функцій

f x sin x,

f x cos x :

sin x x

... 1 k 1

x2k 1

2k 1 !

x2k

o x2k 1 .

де

R2k

f 2k x

2k !

cos x 1

... 1 k

x2k

2k !

2k 1

де

R2k 1

x2k 1

f 2k 1 x

o x2k

2k 1 !

Приклад 3.

f x 1 x m :

(5.8)

приклади

1 x m 1 mx			m m 1	x2	...		m(m 1)... m n 1	xn o xn .

2!							n!
Приклад 4. Розкладення логарифмічної функції f x ln 1 x :
ln 1 x x	x2	... 1 n1			xn	o xn .

2					n

Приклад 5. Наблизити функцію y tg x поліномом третього ступеня

в околі точки a 4 .

Розв’язання

Перш за все обчислимо значення функції та її похідних до третього порядку в заданій точці.

f x tg x ,			1.
f x tg x ,	f		1.
		4

284

		1

f	x cos2 x		,
f	x cos2 x		,
				2cos3 x sin x ,
f x cos2 x				2cos3 x sin x ,
f x 2					sin	2	x
		cos2 x 3			sin		x	,
		cos2 x 3						,
					cos4 x

		2 .
f
4
			4 .
f
	4
			16 .
f
	4

Тоді задану функцію наближено можливо подати як

					2	8		3
tg x 1 2	x		2	x			x	.

		4			4	3		4

5.4.4. Умови монотонності функції. Екстремуми

Теорема 1. Якщо функція f(x) неперервна на [a,b] та диференційована на (а,b), то для того, щоб вона була постійною на [a,b], необхідно та достатньо, щоб f x 0 x a,b .

Теорема 2. Нехай f(x) неперервна на [a,b] та диференційована на

(а,b), тоді:
а) якщо f x 0			x a,b , то f(x) зростає на (а,b);
б) якщо f x 0			x a,b , то f(x) спадає на (а,b).
Теорема 3. Якщо диференційована на проміжку (а,b) функція f(x)
зростає,	то	f x 0 x a,b .		Якщо функція f(x)	спадає, то
f x 0 x a,b .
Точка x0		називається точкою локального максимуму (мінімуму)
функції	y=f(x),	якщо існує такий її		окіл ( x0 , x0 ), в	якому f(x0) є

найбільшим (найменьшим) серед усіх інших значень цієї функції. Точки локального максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму цієї функції.

Теорема 4. (Необхідна ознака існування екстремуму.) Якщо неперервна функція f(x) має в точці x x0 екстремум, то похідна функції

f x0 0 або не існує.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються

критичними.

285

<<< < Предыдущая 12 / 272 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019753.66 Кб11KP_TVP.doc
#
26.08.20191.18 Mб8krivolin integral (1).doc
#
02.02.20151.64 Mб4ktp_6_vinenko.pdf
#
02.02.201521.72 Mб19kulikova_korotkova_csvety_iz_bisera.pdf
#
09.09.201992.61 Кб0kultura_khikh_doc_pidruchnik.docx
#
02.02.20158.59 Mб44Kurpa_Vyshcha_matem_T.1_Gl.5-8_2009.pdf
#
02.02.20156.13 Mб170Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.13-14_2009.pdf
#
02.02.20154.62 Mб230Kurpa_Vyshcha_matem_T.2_Gl.9-12_2009.pdf
#
02.02.2015197.38 Кб12Kurs.docx
#
12.08.2019210.94 Кб3KURS1.doc
#
20.03.20161.3 Mб12Kursach Мирошник ЭМПП 1Семестр .docx