4. Расчет коэффициента корреляции

Исследование статистических взаимосвязей между изучаемыми процессами осуществляется методами корреляционного и регрессионного анализа. Определить направленность и рассчитать силу статистической взаимосвязи признаков можно с помощью коэффициента корреляции, построить математическую модель - с помощью линейной регрессии.

Количественно направленность и сила статистической взаимосвязи (коэффициент корреляции) между признаками X и Y находится по формуле:

(3.9)

^где

^(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Пример. Определить коэффициент корреляции двумя способами: расчетным и с помощью пакета анализа данных.

Рассмотрим реализацию этапов статистического анализа в Excel.

Известно, что наиболее емким показателем уровня жизни населения являются «Среднедушевые денежные доходы населения, руб.», а уровень экономического развития территории во много определяется инвестициями. Проверим гипотезу о наличии статистической взаимосвязи между показателями уровня жизни населения и уровня экономического развития территории методом корреляционного анализа. Для этого рассчитаем линейный коэффициент корреляции Пирсона.

Определение линейного коэффициента корреляции расчетным методом наглядно отображено в таблице на рис. 43 (режим формул).

Рисунок 43. Фрагмент таблицы в режиме формул расчета линейного коэффициента корреляции

В режиме значений таблица расчета линейного коэффициента корреляции представлена на рис. 44.

Рисунок 44. Фрагмент таблицы в режиме значений расчета линейного коэффициента корреляции

Подтвердить значение полученного коэффициента корреляции можно с помощью пакета анализа данных. Последовательность действий в этом случае следующая:

1. Подготовить исходные данные (рис. 45).

2. Команда СЕРВИС – АНАЛИЗ ДАННЫХ.

3. Инструменты анализа - Корреляция.

4. Ввод параметров окна (рис. 46).

5. ОК.

Рисунок 45. Фрагмент базы данных

Рисунок 46. Ввод параметров окна при определении коэффициента корреляции

В результате получаем аналогичное значение коэффициента корреляции (r_xy), равное 0,64, что позволяет говорить о правильности расчета и наличии высокой статистической взаимосвязи между уровнем жизни населения и уровнем экономического развития субъектов Российской Федерации.

5. Построение модели парной линейной регрессии

Прогнозировать изучаемые процессы можно с помощью регрессионных моделей. Наиболее простая из них – это модель парной линейной регрессии, которая имеет следующий вид:

(3.14)

Где b₀ – свободный член уравнения, отражающий влияние всех неучтенных факторов;

b₁ – коэффициент при факторе x.

Суть построения модели сводится к определению параметров уравнения (b₀, b₁).

В Excel построение этой модели осуществляется следующим образом:

1. Команда СЕРВИС – АНАЛИЗ ДАННЫХ – РЕГРЕССИЯ.

2. Ввести параметры окна (рис. 47).

3. ОК.

Рисунок 47. Ввод параметров окна при построении парной регрессии

Наиболее наглядно сравнение наблюдаемых и полученных с помощью модели значений иллюстрируется графиком подбора (рис. 48).

Рисунок 48. Соотношение модельных и эмпирических значений Y

Таблица 1

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	T- Статистика	P- Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	3 873,838	311,1546	12,4	3,99E-20	3 251,54	4 496,14
X	0,078 207	0,010 632	7,3	1,75E-10	0,057	0,099

В данном случае регрессионное уравнение будет иметь вид:

(3.15)

Интерпретировать это уравнение можно следующим образом: при увеличении среднедушевых инвестиций в экономику региона на 1 р. (Х) среднедушевые доходы населения (Y) возрастут в среднем на 8 к., при отсутствии влияния прочих факторов.

Качество модели в целом можно оценить множественным коэффициентом детерминации (R-квадрат), который для пары признаков Y и X равен:

(3.16)

Таким образом, можно сделать вывод, что 1 % изменчивости результативного признака Y объясняется изменчивостью признака X, то есть доля объясненной дисперсии результативного признака (Y) фактором (Х) равна 41 %, что является достаточно хорошим результатом, учитывая однофакторность модели.

Этот результат подтверждается данными табл. 2, где в строке R-квадрат показано число 0,41, при умножении которого на 100 получаем множественный коэффициент детерминации.

Таблица 2

Учитывая стохастическую природу построенной модели, необходимо оценить полученное уравнение регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и F-критерия Фишера, а статистическую значимость его параметров – с помощью t-критерия Стьюдента.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

(3.17)

Для вычисления согласно формуле (3.17) составим таблицу, фрагмент которой показан на рис. 49 в режиме формул и рис. 50 в режиме значений. Здесь в столбце J определяется сумма абсолютных относительных ошибок, а в ячейке К25 - сама средняя относительная ошибка аппроксимации.

Рисунок 49. Фрагмент таблицы расчета средней относительной ошибки аппроксимации в режиме формул

Рисунок 50. Фрагмент таблицы расчета средней относительной ошибки аппроксимации в режиме значений

В нашем примере = 24,1 %, т. к. значения средней относительной ошибки аппроксимации немногим более 20 %, то можно точность уравнения определить как недостаточно высокую. В этом случае возникает вопрос, какие регионы имеют наибольшее отклонение от среднестатистического уровня, определенного с помощью модели. Осуществим эту задачу с помощью автофильтра.

Решим задачу: определить первые пять регионов, имеющих наибольшее отклонение значений моделируемого признака от среднестатистического.

Решение:

1. В результате построения регрессионной модели имеем таблицу остатков (рис. 51).

Рисунок 51. Таблица остатков

2. Выделяем ее и назначаем режим автофильтра: Данные – Фильтр – Авто – фильтр.

3. В поле Остатки назначаем режим Первые 10…, вводим соответствующие параметры (рис. 52):

Рисунок 52. Назначение условий поиска

В результате получаем пять субъектов Федерации, имеющих наибольшее положительное отклонение от среднестатистического значения (рис. 53), т. е. в рамках построенной модели у этих регионов среднедушевые доходы необоснованно высоки.

Рисунок 53. Субъекты Федерации, у которых высокие уровни среднедушевых доходов не обусловлены существующим уровнем инвестиционной активности

Список же регионов с высоким потенциалом уровня среднедушевых доходов получим, выбрав условие «Первые пять – наименьших» (рис. 54).

Рисунок 54. Субъекты Федерации, у которых согласно построенной модели уровни среднедушевых доходов должны быть выше при существующем уровне инвестиционной активности

Если же остаток равен нулю, то уровень среднедушевых доходов в регионе соответствует среднестатистическому в рамках построенной модели. Однако такой случай в приведенном примере не наблюдался. Наибольшее соответствие эмпирического значения среднедушевых доходов с оценкой, полученной с помощью модели, у Ярославской области.

Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера-Снедекора. Прежде всего, выдвигается гипотеза Н₀ о том, что уравнение в целом статистически незначимо, при конкурирующей гипотезе Н₁: уравнение в целом статистически значимо. Расчетное значение критерия находится по формуле:

(3.18)

Для уравнения парной регрессии p = 1.

Пример получения количественной оценки F-критерия, согласно формуле (3.18), показан в таблице (рис. 55).

Рисунок 55. Фрагмент таблицы для расчета количественной оценки F-критерия в режиме формул

В режиме значений таблица получения количественной оценки F-критерия показана на рис. 56.

Рисунок 56. Фрагмент таблицы для расчета количественной оценки F-критерия в режиме значений

Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости α и двум числам степеней свободы (k₁ = p = 1 и k₂ = n – p – 1 = 79 – 1 – 1 = 77):

Если F_расч < F_табл, то гипотеза Н₀ принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5 %).

Для уравнения (3.15) F_расч = 54,1, то есть неравенство не выполняется, следовательно, гипотеза Н0 отвергается. Делаем вывод, что построенная регрессионная модель в целом статистически значима.

Кроме оценки статистической модели в целом, необходимо проверить статистическую значимость оценок всех параметров (b₀, b₁) линейного уравнения. Осуществляется это с помощью t-критерия Стьюдента.

Выдвигается гипотеза Н₀: параметр b_j = 0 (j = 0, 1) (статистически незначим, случайно отличается от 0), при конкурирующей гипотезе Н₁: параметр b_j ≠ 0 (статистически значим, не случайно отличается от 0). Находится расчетное значение критерия Стьюдента:

где средняя квадратическая ошибка для параметра b₀ равна:

А для параметра b₁:

Расчет этих оценок показан в таблице в режиме формул на рис. 57, а в режиме значений – на рис. 58.

Рисунок 57. Фрагмент таблицы в режиме формул для расчета средних квадратических ошибок для параметров b₀ и b₁

Рисунок 58. Фрагмент таблицы в режиме значений для расчета средних квадратических ошибок для параметров b₀ и b₁

Зная m_i, можно определить расчетное значение критерия Стьюдента:

Для

Для

Теоретическое значение критерия t_табл. находится по таблице критических значений распределения Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n – p – 1. Если t_{bj >} t_табл., то гипотеза Н₀ отвергается с вероятностью ошибки α, т. е. оценка коэффициента регрессии b_j признается статистически значимой, в противном случае (t_bj < t_табл.) – незначимой.

Табличное значение критерия для уровня значимости _{α = 0,05} и числа степеней свободы k = n – 2 = 79 – 2 = 77 равно: ^t_табл. = 2,0.

^{Найдем доверительные интервалы для параметров b}₀ ^{и b}₁ ^{уравнения (1):}

∆b₀= t_табл. · m_b0 = 2,0 · 311,15 = 622,30;

^∆b₁ ^{= t}_табл ^{· m}_b1 ^{= 2,0} · ^{0,010 632 5 = 0,021 265.}

^{Следовательно, нижняя граница доверительного интервала для b}₀ ^равна: _b0 ^₀ ^3 873,837 9 – 622,3 = 3 251,54. ^{Верхняя граница доверительного интервала для b}₀ ^равна: b₀ ^₀ ^{ 3 873,837 9 + 622,3 = 4 496,14.}

^{Нижняя граница доверительного интервала для b}₁ ^равна:

_b1 ^ _b1 ^0,078 206 92- 0,021 265 = 0,056 9

^{Верхняя граница доверительного интервала для b}₁ ^равна:

B₁ ^ b₁ ^{ 0,078 206 92+ 0,0212 65 = 0,099}

Таблица 3

_{Проверка критерия Стьюдента}

Уравнение регрессии  3 873,838  0,078  X
Параметр уравнения bj	Среднеквадратическая ошибка параметра mbj	Расчетное значение критерия tbj	Табличное значение критерия tтабл	Вывод о статистической значимости	Границы доверительных интервалов
					левая	Правая
b0	311,15	12,45	2,0	значимая	3 251,54	4 496,14
b1	0,010 6	7,36		значимая	0,056 9	0,099

В результате проверки на статистическую значимость уравнения в целом, а также каждого его параметра можно сделать вывод о статистической его значимости, то есть построенная модель адекватно отражает рассматриваемое явление.