3. Нормальное, тангенциальное и полное ускорения.

Движение тела характеризуется скоростью и ускорением, которые могут изменяться во времени. Пусть материальная точка движется по плоской криволинейной траектории с переменной по величине и направлению скоростью (рис. 4). Для характеристики степени криволинейности вводится понятие радиуса кривизны в данной точке траектории.

Радиусом кривизны R траектории называют радиус окружности, которая сливается с криволинейной траекторией на бесконечно малом ее участке.

В данной точке траектории касательная всегда перпендикулярна радиусу кривизны.

Пу сть и скорость, и ускорение меняются по величине и направлению.

Мы знаем, что ускорение тела при движении есть .

Вектор скорости   можно представить как произведение модуля скорости и некоторого единичного вектора  , сонаправленного с вектором линейной скорости  , направленного по касательной к траектории.

Таким образом, полное ускорение материальной точки при криволинейном движении можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое  .

Вектор   сонаправлен с вектором  , т.е. направлен по касательной к траектории и называется тангенциальнымили касательным ускорением. Его модуль равен  , поэтому   характеризует быстроту изменения скорости криволинейного движения по величине, но не направлению, так как вектор   не изменяется.

Следовательно, можно заключить, что   - тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по величине, оно направлено по касательной к траектории.

Второе слагаемое   называется нормальным ускорением. Что характеризует этот вектор, куда направлен, как его рассчитать?

Так как вектор   сонаправлен с вектором , который определяет изменение направления вектора линейной скорости, то он характеризует изменение скорости криволинейного движения по направлению.

О

пределим величину и направление  . Рассмотрим частный случай движения материальной точки по окружности радиусом R с постоянной по величине скоростью (рис.5). Среднее изменение скорости на дуге АВ отнесем к точке С, лежащей посередине дуги.

 направлено вдоль R к центру окружности.

 ∾ : 

.

  перпендикулярно скорости, направлено вдоль радиуса к центру окружности. Его называют нормальным, радиальным или центростремительным ускорением.

Полное ускорение материальной точки при криволинейном движении характеризует быстроту изменения скорости как по величине, так и по направлению (рис.6).

, .

3. Угловая скорость и угловое ускорение.

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна , а направление совпадает с осью, вокруг которой производится поворот. Направление поворота и изображающего его отрезка связано правилом правого винта.

В математике показывается, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы, обозначаемые символами   или  . Направление вектора поворота связывается с направлением вращения тела;  является псевдовектором, так как не имеет точки приложения.

При вращательном движении твердого тела каждая точка движется по окружности, центр которой лежит на общей оси вращения (рис. 7). При этом радиус-вектор R, направленный от оси вращения к точке, поворачивается за время t на некоторый угол . Для характеристики вращательного движения вводится угловая скорость и угловое ускорение.

Уг ловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

- вектор элементарного поворота тела.

Угол в 1 радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. 360^о = 2 рад.

Направление угловой скорости задается правилом правого винта: вектор угловой скорости сонаправлен с  , то есть с поступательным движением винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности. Линейная скорость точки связана с угловой скоростью:

.

В векторной форме  .

Если в процессе вращения угловая скорость изменяется, то возникает угловое ускорение:

Угловое ускорение – векторная величина равная первой производной угловой скорости по времени. Вектор угловой скорости сонаправлен с вектором элементарного изменения угловой скорости  , происшедшего за время dt.

При ускоренном движении вектор   параллелен   (рис. 8), при замедленном – противонаправлен (рис. 9).

Угловое ускорение возникает в системе только тогда, когда происходит изменение угловой скорости, то есть когда линейная скорость движения изменяется по величине. Изменение же скорости по величине характеризует тангенциальное ускорение.

Найдем связь между угловым и тангенциальным ускорениями:

.

Изменение направления скорости при криволинейном движении характеризуется нормальным ускорением :

.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:

.

Типы вращательного движения

а) переменное – движение, при котором изменяются   и  :

б) равнопеременное – вращательное движение с постоянным угловым ускорением:

.

в) равномерное – вращательное движение с постоянной угловой скоростью:

.

Равномерное вращательное движение можно характеризовать периодом и частотой вращения  .

Период – это время, за которое тело совершает один полный оборот.

, [T] = c.

Частота вращения – это число оборотов совершаемых за единицу времени.

, [] = c^-1.

За один оборот:  ,

, .

http://works.doklad.ru/view/xjQctC-4Ivw/2.html

Криволинейное движение

Скачать все статьи раздела КИНЕМАТИКА

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения  направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То естьускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

или

Где v_τ, v₀ – величины скоростей в момент времени t₀ + Δt и t₀соответственно.

Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.

Нормальное ускорение - это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

http://av-physics.narod.ru/mechanics/curvilinear-movement.htm

Ускорение – среднее, мгновенное, тангенциальное, нормальное, полное

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю – автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением, но со знаком «-».

 

Среднее ускорение.

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

,

где   - это вектор ускорения. Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ  =   -  ₀

где  ₀ является начальной скоростью. В момент времени t₁ (см. рис. ниже) у тела  ₀. В момент времени t₂ тело имеет скорость  . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ  =   -  ₀. Отсюда вычисляем ускорение:

 

.

 

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

 

.

 

Метр на секунду в квадрате – это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с², значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

 

Мгновенное ускорение.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами – это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

 

.

 

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ  в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а_Х, a_Y, a_Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v₂ > v₁, а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости  ₂.

Если скорость тела по модулю уменьшается (v₂ < v₁), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости  ₂. Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

 

 

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

 

Тангенциальное ускорение.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

 

 

У вектора тангенциального ускорения  _τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

 

Нормальное ускорение.

Нормальным ускорением является та часть вектора ускорения, которая направлена по нормали к траектории движения в заданной точке на траектории движения тела. Т.е. вектор нормального ускорения расположен перпендикулярно к линейной скорости движения (см. рис. выше). Нормальное ускорение описывает степень изменения скорости по направлению и обозначается как  _n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

 

Полное ускорение.

Полное ускорение при криволинейном движении составляется из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и вычисляется при помощи формулы:

 

 

(по теореме Пифагора для прямоугольного прямоугольника). При помощи правила сложения векторов вычисляем и направление полного ускорения:

 

 =  _τ +  _n.

https://www.calc.ru/Uskoreniye-Sredneye-Mgnovennoye-Tangentsialnoye-Normalnoye-P.html

Вопрос №1. Перемещение, скорость, путь, ускорение. Вычисление пройденного пути при равномерном и равноускоренном прямолинейном движении.

Механическим движениемтела называют изменение его положения в пространстве относительно другихтел с течением времени.Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина. (   )

Пройденный путь S равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости. Скорость— векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.Прямолинейным равномерным движением называется механическое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. (   ) Равноускоренным движением называется такое движение, при котором вектор ускорения   остается неизменным по модулю и направлению. (   )

 

Вопрос №2. Криволинейное движение. Нормальное и тангенциальное ускорения. Кривизна траектории.

Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии.

Нормальное ускорение, составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории в сторону центра кривизны; Нормальное ускорение называется также центростремительным ускорением. Численно Нормальное ускорение равно v2/r, где v — скорость точки, r — радиус кривизны траектории. При движении по окружности Нормальное ускорение может вычисляться по формуле rw2, где r — радиус окружности, w— угловая скорость вращения этого радиуса. В случае прямолинейного движения Нормальное ускорение равно нулю.

Тангенциа́льное ускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно направлено при замедленном. Характеризует изменение модуля скорости.

Принято описывать траекторию материальной точки при помощи радиус-вектора, направление, длина и начальная точка которого зависят от времени. При этом кривая, описываемая концом радиус-вектора в пространстве может быть представлена в виде сопряжённых дуг различной кривизны, находящихся в общем случае в пересекающихся плоскостях. При этом кривизна каждой дуги определяется её радиусом кривизны, направленном к дуге из мгновенного центра поворота, находящегося в той же плоскости, что и сама дуга. При том прямая линия рассматривается как предельный случай кривой, радиус кривизны которой может считаться равным бесконечности.И потому траектория в общем случае может быть представлена как совокупность сопряжённых дуг.

http://studopedya.ru/1-66690.html

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю. Очень нагляден закон сохранения момента импульса в опытах с уравновешенным гироскопом – быстро вращающимся телом, имеющим три степени свободы. Алгебраическая сумма моментов равна нулю.

 

Вопрос № 14.Момент инерции материальной точки и твердого тела. Основной закон динамики вращательного движения. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа при вращении.

Моментом инерции системы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси. Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить. Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то 

Вопрос № 15. Расчет момента инерции твердого тела. Расчет момента инерции для однородных, диска, стержня, шара. Теорема Штейнера

Момент импульса твердого телаотно­сительно оси есть сумма моментов импуль­са отдельных частиц. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы mтела на квадрат расстояния а между осями: J = J_c + ma²

 

Вопрос № 16. Движение твердого тела. Поступательное и вращательное движения. Применение законов динамики к плоскому движению твердого тела.

В твердом теле скорости точек распределяются таким образом, что проекции скоростей двух точек на прямую, их соединяющую, равны между собой (кинематическое определение твердого тела).Положение твердого тела в общем случае определяется шестью параметрами; в частных случаях, когда на движение тела наложены ограничения, число параметров соответственно уменьшается.Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Для этого достаточно, чтобы две непараллельные прямые, связанные с телом, перемещались параллельно самим себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые, параллельно расположенные траектории и имеют в любой момент времени одинаковые скорости и ускорения. Таким образом, поступательное движение тела определяется движением одной его точки О. Скорость любой точки тела в плоском движении равна векторной или геометрической сумме скорости полюса в поступательном движении тела совместно с полюсом и скорости вращения точки вокруг полюса во вращательном движении тела вокруг полюса

http://studopedya.ru/1-66691.html

Вынужденные колебания, колебания, возникающие в какой-либо системе под действием переменной внешней силы (например, колебания мембраны телефона под действием переменного магнитного поля, колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки и т.д.). Характер В. к. определяется как характером внешней силы, так и свойствами самой системы. В начале действия периодической внешней силы характер В. к. изменяется со временем (в частности, В. к. не являются периодическими), и лишь по прошествии некоторого времени в системе устанавливаются периодические В. к. с периодом, равным периоду внешней силы (установившиеся В. к.). Установление В. к. в колебательной системе происходит тем быстрее, чем больше затухание колебаний в этой системе Резонанс— явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

 

Вопрос № 24. Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Фазовая скорость волны. Групповая скорость. Формула Рэлея.

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе)

Вопрос № 26. Эффект Доплера для звуковых волн.

Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника и/или движением приёмника. Его легко наблюдать на практике, когда мимо наблюдателя проезжает машина с включённой сиреной. Предположим, сирена выдаёт какой-то определённый тон, и он не меняется. Когда машина не движется относительно наблюдателя, тогда он слышит именно тот тон, который издаёт сирена. Но если машина будет приближаться к наблюдателю, то частота звуковых волн увеличится (а длина уменьшится), и наблюдатель услышит более высокий тон, чем на самом деле издаёт сирена. В тот момент, когда машина будет проезжать мимо наблюдателя, он услышит тот самый тон, который на самом деле издаёт сирена. А когда машина проедет дальше и будет уже отдаляться, а не приближаться, то наблюдатель услышит более низкий тон, вследствие меньшей частоты (и, соответственно, большей длины) звуковых волн.

http://studopedya.ru/1-66692.html

3.Скорость и ускорение при криволинейном движении. Тангенциальное и нормальное ускорения. Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна. Криволинейное движение с постоянным ускорением всегда происходит в той плоскости, в которой находятся векторы ускорения и начальные скорости точки. В случае криволинейного движения с постоянным ускорением в плоскости xOy проекции vxи vy ее скорости на оси Ox и Oy и координаты x и  y точки в любой момент времени t определяется по формулам vx=v0x+axt,  x=x0+v0xt+axt+axt2/2;  vy=v0y+ayt,  y=y0+v0yt+ayt2/2 Частным случаем криволинейного движения – является движение по окружности. Движение по окружности, даже равномерное, всегда есть движение ускоренное: модуль скорости все время направлен по касательной к траектории, постоянно меняет направление, поэтому движение по окружности всегда происходит с центростремительным ускорением  |a|=v2/rгде r – радиус окружности. Вектор ускорения при движении по окружности направлен к центру окружности и перпендикулярно вектору скорости. При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной  и тангенциальной  составляющих: ,  - нормальное (центростремительное) ускорение, направлено к центру кривизны траектории и характеризует изменение скорости по направлению: v – мгновенное значение скорости,   r – радиус кривизна траектории в данной точке.  - тангенциальное (касательное) ускорение, направлено по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю. Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно: Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории. Следовательно Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Вычислим вектор: 

Источник: http://5fan.ru/wievjob.php?id=32728

Механика. Молекулярная физика. Термодинамика