Изотермы Ван-дер-Ваальса и их сопоставление с реальными изотермами. Критическая температура. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса.

Изотермы Ван-дер-Ваальса

Проанализируем изотермы уравнения Ван–дер–Ваальса – зависимости Р от V для реального газа при постоянной температуре. Умножив уравнение Ван-дер-Ваальса на V 2 и раскрыв скобки, получаем PV 3 – (RT + bP) vV 2 + av2V - abv3 = 0. Поскольку данное уравнение имеет третью степень относительно V, а коэффициенты при V действительны, то оно имеет либо один, либо три вещественных корня, т.е. изобара Р = const пересекает кривую Р = Р(V) в одной или трех точках, как это изображено на рисунке 7.4. Причем с повышением температуры мы перейдем от немонотонной зависимости Р = Р(V) к монотонной однозначной функции. Изотерма при Ткр, которая разделяет немонотонные T < Tкр и монотонные T > Ткр изотермы, соответствует изотерме при критической температуре. При температуре выше критической зависимость Р = Р(V) является однозначной монотонной функцией объема. Это означает, что при T > Ткр вещество находится только в одном, газообразном состоянии, как это имело место у идеального газа. При температуре газа ниже критической такая однозначность исчезает, а это означает возможность перехода вещества из газообразного в жидкое и наоборот. На участке АСВ изотермы Т1 давление растет с увеличением объема (dP/dV) > 0. Данное состояние неустойчиво, поскольку здесь должны усиливаться малейшие флуктуации плотности. Поэтому область ВСА не может устойчиво существовать. В областях DLB и AGE давление падает с увеличением объема (dP/dV)Т < 0 – это необходимое, но не достаточное условие устойчивого равновесия. Эксперимент показывает, что система переходит из области устойчивых состояний GE (газ) в область устойчивых состояний LD (жидкость) через двухфазное состояние (газ – жидкость) GL вдоль горизонтальной изотермы GCL. При квазистатическом сжатии, начиная с точки G, система распадается на 2 фазы – жидкость и газ, причем плотности жидкости и газа остаются при сжатии неизменными и равными их значениям в точках L и G соответственно. При сжатии количество вещества в газообразной фазе непрерывно уменьшается, а в жидкой фазе – увеличивается, пока не будет достигнута точка L, в которой все вещество перейдет в жидкое состояние.   Рис. 7.4 Наличие критической точки на изотерме Ван–дер–Ваальса означает, что для каждой жидкости существует такая температура, выше которой вещество может существовать только в газообразном состоянии. К этому заключению пришел и Д.И. Менделеев в 1861 г. Он заметил, что при определенной температуре прекращалось поднятие жидкости в капиллярах, т.е. поверхностное натяжение обращалось в нуль. При той же температуре обращалась в нуль скрытая теплота парообразования. Такую температуру Менделеев назвал температурой абсолютного кипения. Выше этой температуры, согласно Менделееву, газ не может быть сконденсирован в жидкость никаким увеличением давления. Критическую точку K мы определили как точку перегиба критической изотермы, в которой касательная к изотерме горизонтальна (рис. 7.5). Ее можно определить также как точку, в которую в пределе переходят горизонтальные участки изотерм при повышении температуры до критической. На этом основан способ определения критических параметров Pk, Vk, Тk, принадлежащий Эндрюсу. Строится система изотерм при различных температурах. Предельная изотерма, у которой горизонтальный участок LG(рис. 7.4) переходит в точку, будет критической изотермой, а указанная точка – критической точкой (рис. 7.5).   Рис. 7.5 Недостаток способа Эндрюса заключается в его громоздкости.

Критическая температура, 1) температура вещества в его критическом состоянии. Для индивидуальных веществ Критическая температура определяется как температура, при которой исчезают различия в физических свойствах между жидкостью и паром, находящимися в равновесии. При Критическая температура плотности насыщенного пара и жидкости становятся одинаковыми, граница между ними исчезает, и теплота парообразования обращается в нуль. К. т. - одна из неизменяющихся характеристик (констант) вещества. Значения Критическая температура T_k некоторых веществ приведены в ст. Критическая точка. В двойных системах (например, пропан - изопентан) равновесие жидкость - пар имеет не одну Критическая температура, а пространственную критическую кривую, крайними точками которой являются Критическая температура чистых компонентов. 2) температура, при которой в жидких смесях с ограниченно растворимыми компонентами наступает их взаимная неограниченная растворимость; её называют Критическая температура растворимости. 3) температура перехода ряда проводников в сверхпроводящее состояние (см. Сверхпроводимость). Измерена у большого числа металлов, сплавов и химических соединений. В чистых металлах наинизшая Критическая температура наблюдается у Ti (0,37 К), самая высокая - у Тс (11,2 К). Очень высокое значение Критическая температура найдено у сплава Nb, Al и Ge (T_k»21 К).

Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса

Понятие фазы. Фазовые переходы 1 и 2 рода. Фазовые диаграммы. Тройная точка.

Термодинамическая фаза — термодинамически однородная по составу и свойствам часть термодинамической системы, отделенная от других фаз поверхностями раздела, на которых скачком изменяются некоторые свойства системы. Другое определение: Фаза — гомогенная часть гетерогенной системы. В однокомпонентной системе разные фазы могут быть представлены различными агрегатными состояниями или разными полиморфными модификациями вещества. В многокомпонентной системе фазы могут иметь различный состав и структуру.

Основные понятия

Газ всегда состоит из одной фазы, жидкость может состоять из нескольких жидких фаз разного состава (Ликвация, жидкостная несмешиваемость), но двух разных жидкостей одного состава в равновесии сосуществовать не может. Вещество в твердом состоянии может состоять из нескольких фаз, причем некоторые из них могут иметь одинаковый состав, но различную структуру (полиморфные модификации, аллотропия).

Разные фазы обладают различными вариантами упаковки молекул (для кристаллических фаз, различными кристаллическими решетками), и, следовательно, своими характерными значениями коэффициента сжимаемости, коэффициента теплового расширения и прочими характеристиками. Кроме того, различные фазы могут обладать разными электрическими (сегнетоэлектрики), магнитными (ферромагнетики), и оптическими свойствами (например, твёрдый кислород).

Термодинамические фазы на фазовой диаграмме

Типичные виды фазовых диаграмм. Зелёная линия из точек показывает аномальное поведение воды

На фазовой диаграмме вещества различные термодинамические фазы занимают определённые области. Линии, разделяющие различные термодинамические фазы, называются линиями фазового перехода. Если вещество находится в условиях, отвечающих точке внутри какой-либо области, то оно полностью находится в этой термодинамической фазе. Если же состояние вещества отвечает точке на одной из линий фазовых переходов, то вещество в термодинамическом равновесии может находиться частично в одной, а частично в другой фазе. Пропорция двух фаз определяется, как правило, полной энергией, запасённой системой.

При медленном (адиабатическом) изменении давления или температуры вещество описывается движущейся точкой на фазовой диаграмме. Если эта точка в своём движении пересекает одну из линий, разделяющих термодинамические фазы, происходит фазовый переход, при котором физические свойства вещества меняются скачкообразно.

Не все фазы полностью отделены друг от друга линией фазового перехода. В некоторых случаях эта линия может обрываться, оканчиваясь критической точкой. В этом случае возможен постепенный, а не скачкообразный переход из одной фазы в другую, в обход линии фазовых переходов.

Точка на фазовой диаграмме, где сходятся три линии фазовых переходов, называется тройной точкой. Обычно под тройной точкой вещества подразумевается частный случай, когда сходятся линии плавления, кипения и сублимации, однако на достаточно богатых фазовых диаграммах может быть несколько тройных точек. Вещество в тройной точке в состоянии термодинамического равновесия может частично находиться во всех трёх фазах. На многомерных фазовых диаграммах (то есть если кроме температуры и давления присутствуют иные интенсивные величины) могут существовать четверные и т. д. точки.

Термодинамические фазы и агрегатные состояния вещества

Набор термодинамических фаз вещества обычно значительно богаче набора агрегатных состояний, т.е. одно и то же агрегатное состояние вещества может находиться в различных термодинамических фазах. Именно поэтому описание вещества в терминах агрегатных состояний довольно огрублённое, и оно не может различить некоторые физические разные ситуации.

Богатый набор термодинамических фаз связан, как правило, с различными вариантами порядка, которые допускаются в том или ином агрегатном состоянии.

В газообразном состоянии вещество не обладает никаким порядком. Соответственно, в газообразном состоянии любое вещество обладает только одной термодинамической фазой. (Фазовые переходы типа диссоциации молекул или ионизации являются, по определению, переходами одного вещества в другое).

Жидкость обладает ориентационным порядком, но, как правило, не обладает трансляционным порядком . В результате у одной и той же жидкости могут быть разные термодинамические фазы, однако количество их редко превышает единицу. Так, например, существование новой жидкой фазы обнаружено в переохлаждённой воде. Другой, специфический, пример: сверхтекучее состояние в жидком гелии.

Кристаллическое твёрдое тело обладает как трансляционным, так и ориентационным порядком. В результате даже возникает большое число возможных вариантов ориентации соседних молекул друг относительно друга, которые могут оказаться энергетически выгодными при тех или иных давлении и температуре. В результате твёрдые тела обладают, как правило, достаточно сложной фазовой диаграммой.

https://lektsii.org/15-22007.html

Несколько вводных замечаний о предмете физики.

Мир, окружающий нас материален: он состоит из вечно существующей и непрерывно движущейся материи.

Материей в широком смысле этого слова называется все, что реально существует в природе и может быть обнаружено человеком посредством органов чувств или с помощью специальных приборов. Конкретные виды материи многообразны. К ним относятся: элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и др.), совокупности небольшого числа этих частиц (атомы, молекулы, ионы), физические тела (совокупности множества элементарных частиц) и физические поля (гравитационные, электромагнитные и др.), посредством которых взаимодействуют различные материальные частицы.

Неотъемлемым свойством материи является движение, под которым следует понимать все изменения и превращения материи, все процессы, протекающие в природе. В древности слово “физика” означало природоведение. С накоплением знаний природоведение расчленилось на ряд наук: физику, химию, астрономию, геологию, биологию, ботанику и т.д.

Среди этих наук физика занимает особое положение, так как предметом ее изучения служат все основные, наиболее общие, простейшие формы движения материи (механические, тепловые, электромагнитные и т.д.). Изучаемые физикой формы движения присутствуют во всех высших и более сложных формах движения (в химических, биологических процессах и др.) и неотделимы от них, хотя никоим образом их не исчерпывают. Установленному физикой закону сохранения энергии подчиняются все процессы, независимо от того носят ли они специфический химический, биологический или другой характер.

Процесс познания в физике, как и в любой другой науке, начинается либо с наблюдения явлений в естественных условиях, либо со специально поставленных опытов экспериментов. На основе накопленного материала строится предварительное научное предположение о механизме и взаимосвязи явлений создается гипотеза, которая требует проверки и доказательства.

Некоторые гипотезы, ряд следствий из которых противоречит опыту, оказываются ошибочными и отбрасываются при дальнейшем развитии науки (например, гипотезы флогистона, эфира и др.). Другие гипотезы, выдерживающие проверку на опыте и правильно предсказывающие ряд новых, ранее неизвестных явлений, входят в науку в качестве физических теорий. Хорошим примером этого является молекулярно-кинетическая теория.

электромагнитные, внутриатомные и внутриядерные процессы.

Эти разновидности физической формы движения являются наиболее общими потому, что они содержатся во всех более сложных формах движения материи, изучаемых другими науками.

Можно также сказать, что предмет исследования физики составляют общие закономерности явлений природы.

Развитие физики тесно связано с развитием техники. Крупные физические открытия рано или поздно приводят к техническим переворотам, созданию новых отраслей техники, тесно связанных с физикой. В свою очередь развитие техники дает физикам в руки новые, более совершенные, более мощные методы исследования. Развитие техники и промышленности требует разрешения ряда физических проблем, тесно связанных с дальнейшим техническим прогрессом.

Широкое знание физики является необходимым для специалиста, работающего в любой области науки и техники, желающего осмыслить основы своей области знания, стремящегося принять творческое участие в ее развитии. Задача курса физики, читаемого студентам высшего технического учебного заведения, и заключается в том, чтобы помочь учащимся понять физические основы техники.

Механика

Простейшим видом движения материи является механическое движение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: механическое движение – изменение взаимного расположения тел или их частей относительно друг друга в пространстве с течением времени.

В механике изучаются закономерности наиболее простых форм движения тел и причины, вызывающие эти движения. Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики.

КИНЕМАТИКА – изучает движение тел в пространстве со временем без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами, как перемещение (   ), пройденный путь (s), время (t), скорость движения (   ) и ускорение (   ).

ДИНАМИКА – исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины: сила (   ) и масса (m) тела.

СТАТИКА – исследует условия равновесия системы тел, на которую воздействуют силы и моменты сил.

2.1. Кинематика. Материальная точка. Система отсчета.

Введем ряд определений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Материальной точкой называется такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в сравнении с размерами других тел или расстояниями до них в условиях данной задачи.

Любое механическое движение относительно. В природе нет абсолютно неподвижных тел, поэтому какое-либо тело условно считают неподвижным и выбирают его за тело отсчета.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Тело, которое в условиях данной задачи может быть принято за неподвижное, называется телом отсчета.

Для описания механического движения с телом отсчета связывают систему координат.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Совокупность тела отсчета и связанной с ним системы координат называют системой отсчета.

В качестве тела отсчета часто используется Земля или предметы и сооружения, находящиеся на Земле. В качестве системы координат чаще всего используют прямоугольную декартову систему координат XYZ, связанную с какой-либо точкой «О» земной поверхности. Тогда положение материальной точки М в любой момент времени определяется координатами xyz (рис. 2.1).

 Замечание: Помимо модели материальной точки, которой пользуются, когда линейные размеры рассматриваемых тел во много раз меньше всех прочих расстояний в данной задаче, или в тех случаях, когда размеры тела хотя и соизмеримы с пройденным расстоянием, но структуру тела, расположение или движение отдельных его частей не стоит учитывать, в ряде случаев используют вторую модель – модель абсолютно твердого тела. Это тело, форма и размеры которого в данной задаче считаются неизменными, т.е. расстояние между двумя любыми произвольно выбранными точками тела может считаться постоянным. Такая модель используется, когда нельзя пренебречь размерами тела, но можно для упрощения пренебречь их изменениями. Абсолютно твердое тело можно считать совокупностью жестко связанных материальных точек. И для изучения такого тела к каждой его части, которую принимают за материальную точку, применяют законы движения материальной точки, а затем результаты суммируют.

http://poznayka.org/s70136t1.html

Кинематика движения материальной точки. Характеристики движения.

Положение материальной точки M в пространстве в данный момент времени может быть задано радиус-вектором  (см. рис. 2.1), соединяющим начало координат выбранной системы отсчета с рассматриваемой точкой. Обозначение: M(x,y,z).

 Линия, которую описывает движущаяся материальная точка в пространстве, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движения бывают прямолинейными и криволинейными. (Движение по окружности или по дуге окружности является простейшим случаем криволинейного движения.) Следует знать и помнить, что форма траектории данного движения материальной точки зависит от выбора системы отсчета и в этом смысле оказывается относительной.

 Пример: Если маленький шарик выпал из окна поезда, движущегося равномерно и прямолинейно по горизонтальному участку, то в системе отсчета, связанной с поездом, шарик опишет вертикальную прямолинейную траекторию. Движение этого же шарика с точки зрения наблюдателя, стоящего на железнодорожной насыпи (система отсчета, связанная с Землей) будет казаться происходящим по криволинейной (параболической) траектории.

Отрезок траектории ВС (рис. 2.2), пройденный точкой за некоторый промежуток времени, называется длиной пути (или просто путь S).

Вектор перемещения. Движение материальной точки характеризуется вектором перемещения (или просто перемещением), который равен изменению радиус-вектора движущейся точки за рассматриваемый промежуток времени (рис. 2.3). При переходе точки из положения 1 в положения 2 вектор перемещения   связан с радиус-векторами начального и конечного положения точки соотношением:   .

 Сравнивая две величины: скалярную – путь S и вектор перемещения   , можно сказать, что для криволинейного движения путь никогда не может равняться модулю вектора перемещения (рис. 2.4).

Не совпадает путь с модулем вектора перемещения и в случае прямолинейного движения, если направление движения с какого-либо момента времени изменяется на обратное.

 Равенство пути и модуля вектора перемещения имеет место только в одном частном случае: когда прямолинейное движение происходит в одном направлении.

В случае движения по дуге окружности вектор перемещения направлен по секущей, если Dt уменьшать, то величина   тоже будет уменьшаться, и при Dt®0 секущая будет занимать положение касательной (рис. 2.5). Таким образом, вектор перемещения при криволинейном движении при Dt®0 направлен по касательной в каждой точке.

Для того, чтобы знать форму траектории движения всего тела в любой момент времени необходимо знать координаты каждой точки тела в каждый момент времени, т.е., необходимо знать как из   меняются величины (x,y,z) в зависимости от времени. Т.е., требуется определить функции f₁, f₂, f₃. Система уравнений, которая дает возможность определить положение движущегося тела в любой момент времени, называется системой кинематических уравнений движения.

http://poznayka.org/s70137t1.html

Вектор скорости. Средняя и мгновенная скорость.

 Движения различных тел различаются тем, что тела за одинаковые промежутки (равные) времени проходят различные по величине пути. Для характеристики такого движения вводят понятие скорости.

1) Введем понятие среднейскорости (   ) – это величина, равная отношению перемещения   к тому промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло   .

2) За малый промежуток времени Dt точка проходит путь DS, совершая перемещение   (рис. 2.6). При Dt®0 отношения   и   практически перестают изменяться как по величине, так и по направлению и стремятся к определенному пределу

 и 

который будет выражать вектор мгновеннойскорости, т.е. скорости в данный момент времени.

В математике данный предел называется производной, следовательно, скорость можно определить как производную радиус-вектора движущейся точки по времени:

 или по модулю   .

При бесконечном уменьшении Dt различие между DS и   будет уменьшаться и в пределе они совпадут, тогда можно записать, что модуль скорости

 , (2.1)

т.е. мгновенная скорость при неравномерном движении численно равна первой производной пути по времени.

Итак, вектор мгновенной скорости в любой точке траектории направлен по касательной к траектории (и совпадает с направлением вектора перемещения) и численно равен первой производной пути по времени.

Единица измерения v: [v]=м/с.

Если рассматривать движение в пространстве, то величину и направление вектора скорости можно представить через проекции этого вектора на направления осей x, y, z (рис. 2.7).

 ;

где   ,

 – единичные вектора по осям x, y, z.

Тогда

Следовательно, 

http://poznayka.org/s70138t1.html

Путь при неравномерном движении.

 За малый промежуток времени Dt перемещение графически изображается в виде прямоугольника, высота которого равна некоторому значению средней скорости v (рис.2.8). Тогда для любого промежутка времени от 0 до t суммируют все эти элементарные площадки SDS, т.е. графически эта сумма представляет собой площадь фигуры ABCD (Sv_ср.×Dt). Чаще всего площадь фигуры дает нам также путь, пройденный при неравномерном движении (математически это записывается как предел).

   .

Если v(t) = const, то движение равномерное,

v(t) ¹ const – то движение неравномерное.

2.5. Ускорение. Ускорение при равнопеременном и неравнопеременном прямолинейном движении.

При неравномерном движении необходимо знать закономерность, по которой скорость изменяется со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем и называемая ускорением «  ».

 Пусть материальная точка переместилась за малый промежуток времени Dt из точки А, где она имела скорость   в точку В, где скорость   (рис.2.9). Приращение скорости точки есть вектор   , равный разности конечной и начальной скоростей:   .

 Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним ускорением     . Это понятие   вводится для неравнопеременного движения.

Среднее ускорение направлено также как приращение скорости, т.е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости.

В общем случае величина среднего ускорения может быть различной на различных участках траектории и зависеть от величины промежутка времени Dt, по которому проводится усреднение. В пределе при Dt ® 0 точка В будет стремиться к точке А и среднее ускорение по пути АВ превратится в мгновенное или истинное ускорение   в точке А.

Поэтому   . (2.2)

Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории есть вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю.

Из выше приведенных формул следует, что ускорение измеряется в м/с²; [а] = м/с².

По модулю величина ускорения равна   . Т.е. величина ускорения определяется первой производной скорости v по времени или второй производной пути по времени.

Если рассматривать движение тела в пространстве, то вектор ускорения   можно представить через его проекции на оси X, Y, Z, аналогично как это делали для вектора   .

 ;

Замечание: Следует помнить, что ускорение характеризует не только изменение модуля скорости, но и изменение направления вектора скорости. Например, равномерное движение по окружности является ускоренным из-за изменения направления вектора скорости с течением времени, хотя модуль скорости остается неизменным.

Рассмотрим частный случай ускоренного движения.

Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равноускоренным (a = const). В этом случае мгновенное ускорение будет равно среднему ускорению за любой промежуток времени. И тогда

 ; (2.3)

 В зависимости от поведения скорости со временем различают равноускоренное и «равнозамедленное» движения. Кавычки поставлены, чтобы подчеркнуть, что в любом случае движение происходит с постоянным ускорением.

1. Если а > 0, то движение равноускоренное. Из (2.3) следует, что v=v₀+a(t - t₀) и при t₀ = 0

v=v₀+at

при a > 0 скорость v возрастает. Направления   и   совпадают.

2. Если a < 0, то движение равнозамедленное и скорость v уменьшается.

Зная зависимость v от t можно подсчитать путь, пройденный телом при равнопеременном движении (рис. 2.10).

Имеем v=v₀ + at, домножим на dt.

dS = v·dt = v₀·dt + a·t·dt.

Интегрируем слева от 0 до S, справа от 0 до t. Получаем, что

 .

Тогда

 . (2.4)

Данная формула верна, если за время движения знаки начальной скорости и ускорения совпадают. Наклон прямой v₀+at на рисунке 2.10 зависит от величины «а», чем «а» больше, тем больше угол наклона. «S» численно рано площади заштрихованной фигуры.

http://poznayka.org/s70139t1.html

Ускорение при криволинейном движении (тангенциальное и нормальное ускорение).

Если траектория движения материальной точки представляет собой кривую линию, то такое движение мы будем называть криволинейным.

При таком движении   изменяется как по величине, так и по направлению. Следовательно, при криволинейном движении   .

 Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной траектории (рис. 2.11). Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Пусть в точке M₀ скорость   , а в точке М –   . При этом считаем, что промежуток времени Dt при переходе из точки М₀ в точку М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь.

 Вектор изменения скорости   . (В данном случае разность 2^хвекторов   и   будет равна   ). Разложим вектор   , который характеризует изменение скорости как по величине, так и по направлению на две составляющие   и   . Составляющая   , которая является касательной к траектории в точке М₀,характеризует изменение скорости по величине за время Dt, в течение которого была пройдена дуга М₀М и называется тангенциальной составляющей вектора изменения скорости (   ). Вектор   , направленный в пределе, когда Dt ® 0, по радиусу к центру, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальной составляющей вектора изменения скорости (   ).

Таким образом, вектор изменения скорости   равен сумме двух векторов   .

Тогда можно записать, что

 .

При бесконечном уменьшении Dt®0 угол Da при вершине DM₀АС будет стремиться к нулю. Тогда вектором   можно пренебречь по сравнению с вектором   , а вектор

будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение численно равно производной от модуля скорости по времени   и направлено по касательной к траектории.

Вычислим теперь вектор   , называемый нормальным ускорением. При достаточно малом Dt участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны M₀O и MO будут равны между собой и равны радиусу окружности R.

Повторим рисунок. ÐМ₀ОМ = ÐМСD, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 2. 12). При малом Dt можно считать |v₀|=|v|, поэтому DМ₀ОМ = DМDC подобны как равнобедренные треугольники с одинаковыми углами при вершине.

Поэтому из рис. 2.11 следует

 Þ   ,

но DS = v_ср.×Dt, тогда   .

Переходя к пределу при Dt ® 0 и учитывая, что при этом v_ср. = v находим

 , т.е.   (2.5)

 Т.к. при Dt ® 0 угол Da ® 0, то направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости   , т.е. вектор   . Поэтому это ускорение часто называют центростремительным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.

Полное ускорение определяется векторной суммой тангенциального и нормального ускорений   (рис. 2.13). Т.к. вектора этих ускорений взаимно перпендикулярны   , то модуль полного ускорения равен   ; Направление полного ускорения определяется углом j между векторами   и   : 

http://poznayka.org/s70140t1.html

Кинематика вращательного движения.

Угловая скорость.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением будем называть такое движение, при котором все точки абсолютно твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

 В качестве координаты, определяющей положение точки при вращательном движении, берут угол, характеризующий мгновенное положение радиус-вектора, проведенного из центра вращения к рассматриваемой точке (рис. 2.14)

Для характеристики вращательного движения вводится понятие угловой скорости

 .

Вектор   направлен вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта(рис. 2.15).

Модуль вектора угловой скорости равен   . Если   = const, то такое движение называется равномерным, при этом   , следовательно   и при t₀ = 0 получаем   .

Если j₀ = 0, то j = w·t или   .

Таким образом, при равномерном движении w показывает на какой угол поворачивается тело за единицу времени. Размерность угловой скорости [w]=рад/сек.

Равномерное вращение можно характеризовать периодом вращения T, под которым понимают время, за которое тело делает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p. В этом случае   , следовательно   .

 Частота вращения (число оборотов в единицу времени): n=1/T=w/2p. Отсюда w=2pn.

Дополнение 1.

Поворот тела на некоторый малый угол dj можно задать в виде отрезка, длина которого равна dj, а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот. Таким образом, повороту тела можно приписать некоторое численное значение и направление. При этом направление вектора   можно определить, связав его с направлением вращения тела. Такие вектора называются аксиальными или псевдовекторами, в отличие от истинных или полярных векторов, для которых направление определяется естественным образом (   ,   ,   и т. д.), при операции инверсии системы координат(x → -x’, y → -y’, z → -z’) последние меняют знак на противоположный:   .

Угловое ускорение.

Вектор угловой скорости   может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется о величине), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае   изменяется по направлению). Для характеристики быстроты изменения   вводится физическая величина   , называемая угловым ускорением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Средним угловым ускорением называется величина   , где Dt – промежуток времени за который произошло изменение угловой скорости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Мгновенным ускорением   называется величина равная   ;

Если направление оси вращения в пространстве постоянно, то угловая скорость изменяется только по величине   и в этом случае  .

Если под e понимать проекцию вектора   на направление   , то последняя формула примет вид   . Здесь e – алгебраическая величина и

если w ­, то e>0 (векторы   и   одного направления),

 если w ¯, то e<0 (   ­¯   ).

1) Если e>0 Þ вращение равноускоренное (   ­­   ) (рис. 2.16).

2) Если e<0 – (   ­¯   ) (рис. 2.16).

В системе СИ [e]=рад/с².

Для равноускоренного движения:

Следовательно, w = w₀ + e·(t - t₀). При t₀ = 0 получаем w = w₀ + e·t.

Тогда   ;

Окончательно

 (2.6)

Теперь установим

http://poznayka.org/s70141t1.html

Связь между линейной и угловой скоростью.

Пусть за малый промежуток времени Dt тело повернулось на угол Dj (рис. 2.17). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь DS = R×Dj. По определению линейная скорость точки будет равна

   .

Итак, v = w·R и чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Найдем теперь линейное ускорение точек вращающегося тела. Нормальное ускорение равно

 . Итак, 

Модуль тангенциального ускорения   .

Отсюда

 .

Итак,

 (2.7)

Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением R (R – расстояние от точки до оси вращения).

Полученное ранее уравнение v=wR устанавливает связь между модулями векторов   и   . Пользуясь специальным математическим аппаратом («векторное исчисление») можно установить связь между самими векторами.

 Известно: векторным произведением двух векторов   и   называется вектор   (обозначение:   ), обладающий следующими свойствами:

1. Модуль вектора   равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла a между ними (рис. 2.18).

 2. Вектор   перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора   и   , причем направление его связано с направлениями   и   по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору   , то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.

Пусть тело вращается вокруг оси Z с угловой скоростью w (рис. 2.19). Легко видеть, что векторное произведение   на радиус–вектор   точки, скорость   которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором   и имеющий модуль, равный w×r×sina=w×R, т.е. v.

Таким образом, векторное произведение

 .

Иногда применяют другие обозначения векторного произведения

 или 

Учитывая, что   , получим

Первое слагаемое в последнем выражении равно нулю, т.к. sina = 0. Следовательно,   .

Итак,

 , (2.8)

где   - перпендикулярная к оси вращения составляющая радиус-вектора   , проведенного из точки, взятой на оси.

Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение AB·sina численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах   и   (рис. 2.20), вектор   в этом случае ^ плоскости чертежа и направлен за чертеж.

Рис. 2.20

ЛЕКЦИЯ 3

Динамика

Раздел механики, исследующий законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.

В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687г.

Законы Ньютона (как и все остальные физические законы) возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их (хотя и для очень обширного, но все же ограниченного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Ньютоновская механика достигла в течение двух столетий таких огромных успехов, что многие физики 19в. были убеждены в ее всемогуществе. Считалось, что объяснить любое физическое явление означает свести его механическому процессу, подчиняющемуся законам Ньютона. Однако с развитием науки обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Эти факты получили свое объяснение в новых теориях – специальной теории относительности (СТО) и квантовой механике.

В СТО, созданной Эйнштейном в 1905г., подвергались радикальному пересмотру ньютоновские представления о пространстве и времени. Этот пересмотр привел к созданию релятивистской механики («механики больших скоростей»). Новая механика не привела, однако, к полному отрицанию старой ньютоновской механики. В пределе при скоростях малых по сравнению со скоростью света уравнения релятивистской механики переходят в уравнения классической механики.

Таким образом, классическая механика вошла в релятивистскую механику как ее частный случай и сохранила свое прежнее значение для описания движений, происходящих со скоростями значительно меньшими скорости света (v<<c).

Аналогично обстоит дело и с соотношением между классической и квантовой механикой, возникшей в 20^х годах XXв. в результате развития физики атома. Уравнения квантовой механики также дают в пределе (для масс много больших по сравнению с массами атомов) уравнения классической механики. Следовательно, классическая механика вошла и в квантовую механику в качестве ее предельного случая.

Таким образом, развитие науки не перечеркнуло классическую механику, а лишь показало ее ограниченную применимость. Классическая механика, основываясь на законах Ньютона, является механикой тел больших (по сравнению с массой атомов) масс, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света) скоростями.

3.1. I закон Ньютона (закон инерции).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Всякое тело находится (сохраняет) в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инерцией.

Опыт показывает, что при одинаковом воздействии различные тела по-разному изменяют свою скорость. Иными словами, одинаковые воздействия вызывают у различных тел различные ускорения. Следовательно, величина ускорения, приобретаемого телом, зависит не только от величины воздействия, но и от некоторого собственного свойства тела. Это свойство тела характеризуют физической величиной, называемой массой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Масса тела – это физическая величина, характеризующая меру инерции тела.

Масса тела – это, прежде всего, его свойство откликаться определенным ускорением на действие определенного воздействия (силы).

Замечание: Различие понятий (терминов): «инерция» и «инертность».

Оба эти термина означают свойства тел, проявляющиеся в инерциальных системах отсчета. Но…

1. Свойство «инерции» заключается в том, что тела при отсутствии внешних воздействий сохраняют скорость своего движения неизменной (включая и случай  =0). Инерцией обладают любые тела, но для нее не вводится никакой количественной меры. Инерция – неизмеряемое свойство.

2. Свойство «инертности» состоит как раз в изменении скорости тел (в появлении ускорения) под действием внешних сил. Разные тела по-разному изменяют свои скорости под действием одной и той же силы, т.е. свойство инертности у них неодинаково. Инертность – свойство измеряемое. Масса и является мерой, количественной характеристикой этого свойства.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Как известно, характер движения зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно, очевидно, будет двигаться с ускорением. Следовательно, I закон Ньютона не может одновременно выполняться в обеих системах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Система отсчета, в которой выполняется I закон Ньютона, называется инерциальной.

Сам закон называют иногда законом инерции. Система отсчета, в которой I закон Ньютона не выполняется, называется неинерциальной системой отсчета. Инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы отсчета прямолинейно и равномерно (   =const) будет также инерциальной.

Опытным путем установлено, что гелиоцентрическая система отсчета (т.е. система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды) является инерциальной. Строго говоря, система отсчета, связанная с Землей не является инерциальной, т.к. движется с ускорением относительно гелиоцентрической системы (Земля движется относительно Солнца по криволинейной траектории и совершает вращение вокруг своей оси). Однако ускорение такой системы настолько мало, что в большинстве случаев ее можно считать практически инерциальной.

Пример: 1. центростремительное ускорение суточного вращения экваториальных областей земной поверхности составляет около 0,03 м/с².

2. центростремительное ускорение годового вращения Земли вокруг Солнца не превышает 0,001м/с².

Анализ неинерциальных движений приводит к заключению, что внешней причиной неинерциального движения тел в инерциальной системе отсчета всегда является воздействие на него со стороны других объектов.

Для характеристики этого воздействия вводится понятие силы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Сила – физическая величина, характеризующая воздействие, оказываемое на тело со стороны других тел, в результате которого тело приобретает ускорение и являющаяся количественной мерой этого воздействия.

Сила – величина векторная и направлена так же, как вектор вызываемого этой силой ускорения.

В отличие от кинематики, где ускорение тела считается заданной величиной, в динамике устанавливается причинная и количественная связь ускорения с действующей на тело силой. Обобщение опытных фактов, позволяющих сделать это, составляет содержание II закона Ньютона.