III закон Ньютона.

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело M₁ действует на тело M₂ с некоторой силой f₁₂, то и тело M₂ в свою очередь действует на тело M₁ с силой f₂₁.

Как показывает опыт, силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, оказываются всегда равными по величине и противоположными по направлению.

 Рассмотрим пример:

Два тела с массами m₁ и m₂, изолированные от действия внешних сил притягиваются (или отталкиваются) друг от друга вследствие того, что, например, несут электрические заряды. Под действием сил   и   тела приобретают ускорения   и   соответственно (рис. 3.1). Величина этих ускорений оказывается обратной массам тел:   . Откуда следует равенство   и равенство сил f₁₂=f₂₁. Направления этих сил, очевидно, противоположны.

К этому же результату можно прийти, сопоставляя не ускорения тел, а растяжения калиброванных пружин.

Третий закон Ньютона как раз и является обобщением опытных фактов подобного рода.

Современная формулировка третьего закона Ньютона выглядит следующим образом:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия, силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

Математически содержание III закона Ньютона можно записать в следующем виде:

 (3.1)

Эти силы, очевидно, приложены к различным телам. Пусть под действием силы   тело приобретает ускорение   , а под действием силы   – ускорение   , тогда   и, следовательно,   , т.е. ускорения, полученные телами в результате их взаимодействия, обратно пропорциональны массам тел и имеют противоположные направления.

Теперь рассмотрим изолированную систему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Изолированной системой называется система тел, которые взаимодействуют друг с другом и не взаимодействуют ни с какими иными телами.

или

Изолированной системой называется система, в которой действуют только внутренние силы, и где не учитывается влияние внешних сил.

http://poznayka.org/s70142t1.html

Импульс. Закон сохранения импульса

В механической системе, состоящей из нескольких тел, существуют как силы взаимодействия между телами системы, которые называются внутренними, так и силы взаимодействия этих тел с телами, не входящими в данную систему, которые называются внешними. Если внешние силы отсутствуют, то механическая система называется замкнутой.

Для замкнутой механической системы существует несколько физических величин, которые остаются постоянными с течением времени. Одной из таких величин является импульс тела, который является вектором и равен произведению массы тела m на вектор скорости тела v : p = mv . Для механической системы ее импульс равен векторной сумме импульсов, составляющих ее n тел:

Пользуясь выражением для импульса и учитывая постоянство массы тела, представим второй закон Ньютона в следующем виде:

 (3.2)

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из двух движущихся тел. Сталкиваясь друг с другом, тела (упругие шары) будут изменять свой импульс. Рассматривая взаимодействие тел в течение небольшого промежутка времени Dt и применяя к каждому телу закон изменения импульса, можно записать:

 ,   – результирующие силы, действующие на каждое тело,

 ,   – скорости в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени.

Складывая равенства почленно, получим:

 и   – силы внутренние, тогда по III закону Ньютона   =-   .

Тогда

 .

Это означает, что сумма импульсов обеих тел системы не изменяется со временем, т.е.   .

Введем величину   , представляющую вектор импульса всей системы (или полный импульс системы).

Тогда для системы из “n” тел

 (3.3)

или из II закона Ньютона

 , (3.4)

т.к. система замкнута.

Эти равенства выражают закон сохранения импульса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полный вектор импульса замкнутой (или изолированной) системы тел с течением времени не изменяется.

Пусть теперь на тела A и B действуют теперь как внутренние, так и внешние силы: на тело A –   и   , а на тело B –   и   .

Тогда   ,

или, что равносильно для системы из “n” тел:   .

Складывая эти уравнения с учетом, что   , получаем

 . (3.5)

Следовательно, производная по времени от вектора импульса системы равна сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы   , вследствие чего полный импульс не зависит от времени. Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения импульса. Повторим его:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Импульс замкнутой системы тел остается постоянным.

Отметим, что импульс системы тел остается постоянным и для системы, подверженной внешним воздействиям, при условии, что внешние силы, действующие на тела системы, в сумме дают нуль. Если даже сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, то составляющая импульса в этом направлении будет постоянной.

Работа и энергия.

Пусть тело, на которое действует сила   , проходит, двигаясь по некоторой траектории путь S. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующих движению. Для характеристики действия силы, в результате которого совершается перемещение тела, используется величина, называемая работой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Работой называется скалярная величина, численно равная произведению действующей силы (F_S) на направление перемещения и величины пути (S), проходимого точкой приложения силы A=F_S×S.

 Это выражение справедливо, если величина проекции силы F_S=const. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила F образует с направлением движения постоянный угол a (рис. 3.2). Т.к. F_S=F·cosa, то A=F·S·cosa.

Работа алгебраическая величина. Если

1.   , то cosa > 0 Þ A > 0;

2.   , то A<0, т.к. cosa < 0;

3.   , то cosa = 0 Þ A = 0.

Последнее обстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе

Пример: Чтобы держать тяжелый груз, а тем более нести его по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий, хотя якобы «не совершает работу». Работа как механическая величина в этих случаях не равна нулю, так как эта работа складывается из множества перемещений вниз и вверх. Причем при перемещении вниз уменьшение потенциальной энергии в поле тяжести не переходит в полезную работу.

 Если величина проекции силы на направление перемещения не постоянная величина во время движения, то для вычисления работы необходимо путь S разбить на элементарные участки DS, взяв их настолько малыми, что за время прохождения телом такого участка величину F_S можно было считать практически неизменной (рис. 3.3).

Тогда для элементарного участка пути: DA @ F_S×DS.

А работа на всем пути S будет вычисляться как сумма элементарных работ:   .

При ×DS_i ® 0 получим строгое равенство:

График F_S как функции положения точки на траектории представлен на рис. 3.3. Видно, что элементарная работа равна площади заштрихованной полоски, а работа A на пути от точки 1 до точки 2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой F_S, вертикальными прямыми 1 и 2 и осью S.

Воспользовавшись скалярным произведением векторов, выражение для работы можно записать в виде:

 , (3.6)

где под   подразумевается вектор элементарного перемещения. Если сила имеет постоянную величину и направление, то вектор   в последнем выражении можно вынести за знак интеграла, в результате чего выражение для работы примет вид:

 , (3.7)

где   – вектор перемещения, а S_F – его проекция на направление силы.

В системе СИ единицей работы является 1Дж, который равен работе, совершаемой силой в 1Н на пути в 1м. 1Дж=1Н×1м.

ЛЕКЦИЯ 4

Мощность.

На практике имеет значение не только величина совершенной работы, но и время, в течение которого она совершается. Из всех механизмов наиболее выгодными являются те, которые за меньшее время выполняют большую работу. Поэтому для характеристики механизмов, предназначенных для совершения работы, вводится величина, показывающая, какую работу данный механизм совершает в единицу времени. Эта величина называется мощностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Мощность – физическая величина, численно равная работе, совершаемой телом за единицу времени.

Определяется мощность, как отношение работы DA к промежутку времени Dt, за который она совершается   ; Если за одинаковые, сколь угодно малые промежутки времени совершается неодинаковая работа, то мощность будет зависеть от времени и в этом случае вводится понятие мгновенной мощности:   ;

Если за время dt под действием силы произошло перемещение тела на   , то элементарная работа dA, совершаемая за время dt будет равна   .

Тогда мощность

 . (3.8)

Следовательно, мощность оказывается равной скалярному произведению силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы:

W=F×v×cosa, где a – угол между направлением силы и скорости.

а) a=0, поэтому cosa=1, следовательно, W=Fv – max;

б)   , поэтому cosa = 0, следовательно,   , значит W = 0.

В системе СИ единицей мощности является 1Вт. Это мощность, при которой в единицу времени (1с) совершается работа в 1Дж.

Энергия.

Из опыта известно, что тела часто оказываются в состоянии совершать работу над другими телами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией.

Пример: 1) Катящийся шар обладает энергией, т.к., сталкиваясь с другим телом, перемещает его, т.е. совершает работу.

2) Растянутая пружина также обладает энергией, т.к. после устранения деформирующей силы, совершает работу по перемещению своих частей (витков) или какого-либо другого тела.

3) система, состоящая из Земного шара и расположенного на некоторой высоте тела, обладает энергией, т.к. при устранении связи, удерживающей тело на высоте, это тело начнет двигаться и может совершить работу.

Итак, названные тела обладают энергией независимо от того, совершают они в данный момент времени работу или нет. Энергия характеризует способность системы к совершению работы при переходе из одного состояния в другое.

Если в первом состоянии энергия системы Е₁, а во втором Е₂, то

А = Е₂ - Е₁.

Если работа внешних сил A > 0, то энергия системы возрастает Е₂ ‑ Е₁ > 0.

Если A<0 (система совершает работу), то энергия системы убывает. Е₂-Е₁<0, т.е. убыль энергии в этом случае численно равна работе против тех сил, которые препятствуют движению тела. Следовательно, система может совершать работу только за счет изменения своей энергии.

Энергия тела может быть обусловлена двумя причинами:

1. Во-первых, движением тела с некоторой скоростью v. Энергия этого вида называется кинетической энергией (от греческого «кинетикос» – относящийся к движению).

2. Во-вторых, взаимным расположением тел или частей тела и характером их взаимодействия (или более, строго говоря, нахождением тела в потенциальном поле сил). Энергия этого вида называется потенциальной (от латинского «potential» – возможность).

Замечание: Поле сил называется потенциальным, если работа, совершаемая над телом силами, зависящими только от положения тела, не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве. А сами силы называются консервативными.

Далее рассмотрим введенные понятия более подробно.

http://poznayka.org/s70143t1.html

Кинетическая энергия тела

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы (материальной точки).

Напишем уравнение движения частицы   . Здесь   – результирующая всех сил, действующих на тело. Умножим это уравнение на перемещение частицы   . Тогда   . Здесь   – есть приращение скорости   за время dt.

Соответственно,

 .

После этого получаем:

 (3.9)

Если система замкнута, то   , следовательно,   , а сама величина   . Эта величина называется кинетической энергией частицы.

Говорят, что для изолированной системы кинетическая энергия является интегралом движения (т.е. остается неизменной).

Если на частицу действует сила   , то кинетическая энергия не остается постоянной. Проинтегрируем соотношение (3.9) вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2.

 .

Левая часть этого равенства представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1, т.е. приращение кинетической энергии на пути 1 – 2. Учтя это, получим:

 ,

где А – работа силы на пути 1®2, поэтому иногда пишут вместо А ® А₁₂.

Итак:

Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы: А₁₂ = Т₂ - Т₁.

Энергия имеет такую же размерность, как и работа.

http://poznayka.org/s70144t1.html

Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные.

Если частица (тело) в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что эта частица (тело) находится в поле сил.

Пример: 1. Частица вблизи поверхности Земли находится в поле силы тяжести;

 2. Заряженная частице «е» (материальная точка) находится в электрическом поле, возбуждаемом неподвижным точечным зарядом q (рис. 3.4). Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр (заряд q), а величина силы зависит только от расстояния до этого центра F = F(r).

Поле, обладающее выше указанными свойствами, называется центральным. Поле силы тяжести является частным случаем центрального поля сил (с центром, расположенным на бесконечности).

Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению (   ), такое поле называется однородным.

Поле, не изменяющееся по времени, называется стационарным.

Если для стационарного поля работа сил, совершаемая ими над телом, не зависит от формы и длины траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела в пространстве, то такое поле будем называть потенциальным, а сами силы – консервативными.

 Из независимости работы консервативных сил от пути вытекает, что работа таких сил на замкнутом пути равна нулю.   – работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков (рис. 3.5). Т.к. изменение направления на обратное приводит к замене   на   в выражении для работы, то   и поскольку работа в потенциальном поле сил не зависит от пути, т.е.   , то А=0.

Из равенства нулю работы на замкнутом пути путем обратных рассуждений можно получить, что работа этих сил не зависит от пути.

Поэтому консервативные силы можно определить как такие силы, работа которых на любом замкнутом пути равна «0». А потенциальное поле сил можно определить как поле таких сил, работа которых на любом замкнутом пути рана нулю.

Примеры: сила тяжести – консервативна;

сила трения – неконсервативна;

поле силы тяжести – потенциальное.

http://poznayka.org/s70145t1.html

Потенциальная энергия тела в поле сил тяжести (в поле тяготения Земли).

Поле тяготения Земли есть силовое поле, поэтому любое движение тела в силовом поле сопровождается совершением работы силами этого поля.

Для определения потенциальной энергии тела, находящегося в потенциальном поле сил тяжести, посчитаем работу, которую совершают эти силы при движении тела из одной точки в другую. Расчет будем вести в приближении, что поле однородно и сила тяжести постоянна (т.е. у поверхности Земли).

 Пусть тело массой «m» движется по кривой любой формы в поле тяготения Земли (по кривой АВ) (рис. 3.6). На элементарном участке dS работа будет равна   .

Из рис. 3.6 следует, что dA=P·dS·cosa, но dS·cosa=dh, тогда dA=P·dh.

Сила, действующая на тело в любой точке траектории, имеет одинаковую величину P = mg и направление – вниз по вертикали. Поэтому

 .

 Видно, что работа не зависит от формы и длины траектории (т.е. от пути), а определяется только положением начальной и конечной точек траектории движения. Т.е. поле сил тяжести является потенциальным.

Величина

 (3.10)

называется потенциальной энергией тела в поле сил тяжести, где h – высота, отсчитанная от уровня, для которого принято U=0.

Поскольку начало отсчета можно принимать произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательные значения. Если, например, принять за «0» потенциальную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, лежащего на дне ямы глубиной   , будет равна  (рис. 3.7) Отметим, что кинетическая энергия не может быть отрицательной. В рассматриваемом примере мы относили потенциальную энергию U = mgh к телу, находящемуся в поле сил тяжести. Однако, строго говоря, потенциальную энергию следует относить к системе взаимодействующих друг с другом тел. Так, в данном случае U = mgh есть энергия системы Земля - тело. Потенциальная энергия системы тел зависит от их расположения по отношению друг к другу.

http://poznayka.org/s70146t1.html

Потенциальная энергия в гравитационном поле (в поле всемирного тяготения).

Установленный Ньютоном закон всемирного тяготения гласит:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Гравитационная сила или сила тяготения – это сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональная массам этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними   , где g – гравитационная постоянная. Эта сила направлена вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки.

Рассмотрим два тела массами m₁, m₂ (считаем их материальными точками) и будем их сближать от расстояния r₁ до r₂.

Элементарная работа на пути dr будет   . Полная работа

 .

Т.е.   . Величина

 (3.11)

называется потенциальной энергией тела в поле всемирного тяготения.

Если между телами действует сила притяжения, то U_p<0;

если между телами действует сила отталкивания, то U_p>0.

Из выражения (3.11) следует, что максимальное значение потенциальной энергии тяготеющие тела будут иметь тогда, когда они бесконечно (r = ¥) удалены друг от друга (U_p = 0).

Введем величину называемую потенциалом гравитационного поля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Потенциал – это скалярная величина, численно равная работе по перемещению в гравитационном поле тела единичной массы из данной точки поля на бесконечность (r=¥).

 ;   или   . Поле можно характеризовать потенциальной энергией, которой обладает в данном месте материальная точка.

Получаем, что   . Зная потенциал, можно вычислить работу, совершаемую над частицей массой «m» силами поля при перемещении ее из положения 1 в положение 2:   .

В потенциальном поле можно провести поверхность, имеющую одинаковый потенциал. Такая поверхность называется эквипотенциальной

http://poznayka.org/s70147t1.html

Потенциальная энергия упруго деформированного тела.

Потенциальной энергией может обладать не только система взаимодействующих тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело (например, сжатая пружина, растянутый стержень и т.п.). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между соседними витками пружины).

Определим работу, которую необходимо затратить для растяжения (или сжатия) пружины на величину «x» (рис.3.8). Будем считать, что пружина подчиняется закону Гука, т.е. упругая сила пропорциональна деформации. Будем проводить растяжение пружины очень медленно, чтобы силу   , с которой мы действуем на пружину, можно было все время считать равной по величине упругой силе   . Далее будем считать, что сила действует в направлении перемещения, т.е.   .

   Исходя из предыдущего, можно записать F_внешн. = -F_упр. = kx, где x – удлинение пружины, k – коэффициент жесткости пружины, а согласно закону Гука направление упругой силы и перемещения противоположны (силы упругости обусловлены взаимодействием между частицами (молекулами и атомами) и имеют, в конечном счете, электрическую природу).

Пусть под действием силы   пружина растянулась на dx, тогда dA=F·dx=k·x·dx.

Отсюда

 ;

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. В предположении, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна «0» (U₁ = 0) получаем

 (3.12)

– потенциальная энергия упругой деформации пружины.

http://poznayka.org/s70148t1.html

Закон сохранения энергии.

Без нарушения общности рассмотрим систему, состоящую из двух частиц массами m₁ и m₂. Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами   и   , модули которых зависят от расстояния R₁₂ между частицами. Установлено, что такие силы являются консервативными, т.е. работа, совершаемая такими силами над частицами, определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Пусть также, кроме внутренних сил на первую частицу действует внешняя консервативная сила   и внешняя неконсервативная сила   . Аналогично для второй частицы. Тогда уравнения движения частиц можно записать в виде:

Умножим каждое уравнение на   и сложим полученные выражения.

1. Распишем первый член в правой части.

Работа внутренних сил равна   . Для замкнутой системы   , а   , где   и   – радиус-векторы частиц.

Тогда

 .

Учитывая, что силы   и   имеют величину, зависящую только от расстояния и направлены вдоль соединяющей их прямой (это справедливо, например, для сил кулоновского или гравитационного взаимодействий), любую из этих сил можно представить в виде, например,   , где f(R₁₂) – некоторая функция R₁₂,   – орт вектора   .

Следовательно,   .

Скалярное произведение   равно приращению dR₁₂ расстояния между частицами, тогда   .

Выражение   есть приращение некоторой функции   . Следовательно,

 .

Функция   представляет потенциальную энергию взаимодействия.

Работа внутренних сил будет равна

 ,

т.е. не зависит от пути, по которому перемещаются частицы, а определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Т.е. силы взаимодействия вида   являются консервативными.

Итак, работа внутренних сил равна убыли потенциальной энергии взаимодействия

2. Второй член представляет работу внешних сил и равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил

3. Последний член представляет работу неконсервативных внешних сил   .

После этих замечаний можно записать

Величина

T + U_вз. + U_вн. = E (3.13)

– называется полной механической энергией системы. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, т.е.   , то

Е=const – закон сохранения механической энергии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной.

Для замкнутой системы, т.е. системы, на тела которой не действуют никакие внешние силы, закон сохранения примет вид:

E = T + U_вз. = const

Если в замкнутой системе, кроме консервативных сил действуют неконсервативные силы, например, силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется. Рассматривая консервативные силы как внешние, получим

или после интегрирования   .

Как правило, силы трения совершают отрицательную работу. Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии со временем. Таким образом, если в системе действуют неконсервативные силы, то
	изменение полной энергии будет равно работе всех внешних сил, действующих на эту систему.

Анализ закона сохранения показывает, что полная энергия, оставаясь в консервативной системе величиной постоянной, может переходить из одних видов в другие.

При действии неконсервативных сил возможен переход механической энергии в другие немеханические виды энергии. В этом случае справедлив более общий закон сохранения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и немеханические).

К этому добавим, что в природе и технике постоянно имеют место превращения энергии из одних видов в другие. Проиллюстрируем это таблицей.

Процесс или прибор	Превращение энергии
из вида	в вид
Электрогенератор	механическая	электрическая
Гальванический элемент	химическая	электрическая
Электродвигатель	электрическая	механическая
Зарядка аккумулятора	электрическая	химическая
Фотосинтез	электромагнитная	химическая
Фотоэффект	электромагнитная	электрическая
Ядерный реактор	ядерная	механическая электромагнитная и др.

 В таблице не отражено, что при любом превращении часть энергии превращается в теплоту.

Для графического изображения закона сохранения энергии рассмотрим случай, когда тело бросаем вверх.

Если не учитывать силу сопротивления воздуха F_сопр., то систему «тело-Земля» можно рассматривать, как изолированную и консервативную, для которой

E = E_к. + U_p. = const

Из графика (рис. 3.10) видно, что по мере поднятия тела над поверхностью Земли его потенциальная энергия возрастает от величины U_p(h₁) до U_p(h₂), но одновременно с этим точно на такую же величину уменьшается кинетическая энергия системы E_к., а полная энергия тела остается величиной постоянной, что соответствует линии BA || h.

Очевидно:

1. При h=0 имеем U_p=0, а E=E_к., что соответствует линии ОВ;

2. При h = max имеем U_p = max (E_к. = 0), а E = U_p, что соответствует линии AC.

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Упругий и неупругий центральный удар шаров;

Условия равновесия механической системы.

http://poznayka.org/s70149t1.html

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Абсолютно твердым телом будем называть такое тело, деформациями которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь.

или

Абсолютно твердым телом называется такое тело, у которого расстояние между его частями сохраняется неизменным за все время движения.

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Рассмотрим первый из них.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остается параллельной самой себе (рис. 4.1).

 При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Наиболее простым видом поступательного движения является прямолинейное движение. В этом случае траектории всех точек тела – параллельные прямые.

Рассмотрим движение твердого тела, представив его как систему материальных точек с элементарной массой m_i. Каждая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил   , обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил   .

Напишем для каждой элементарной массы II закон Ньютона:

 ,

где   и   – результирующие всех внутренних и внешних сил, приложенных к данной элементарной массе.

Складывая эти уравнения для всех элементарных масс, получим

 .

Сумма всех внутренних сил   , тогда имеем   . Здесь   – результирующая всех внешних сил, действующих на тело.

Рассмотрим теперь сумму, стоящую в левой части уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Назовем центром инерции (центром масс) системы точку, положение которой в пространстве задается радиус-вектором   , определяемым следующим образом:   , где m_i – масса i-го тела,   – радиус вектор, определяющий положение этого тела в пространстве, m – масса системы.

Продифференцируем дважды радиус-вектор центра инерции по времени и учитывая, что   и   , сумму в левой части можно записать в виде   .

Следовательно,

– закон движения центра инерции твердого тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

В случае поступательного движения это уравнение будет определять ускорение не только центра инерции, но любой другой точки тела.

http://poznayka.org/s70150t1.html

Вращательное движение твердого тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Вращательным движением твердого тела будем называть такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и ой же прямой, называемой осью вращения.

Для изучения динамики вращательного к известным кинематическим величинам добавляются ещё две величины: момент силы (M) и момент инерции (J).

1. Из опыта известно: ускорение вращательного движения зависит не только от величины силы, действующей на тело, но и от расстояния от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Для характеристики этого обстоятельства вводится физическая величина называемая моментом силы.

Рассмотрим простейший случай.

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Моментом силы   относительно некоторой точки “O” называется векторная величина   , определяемая выражением   , где   – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в точку приложения силы.

Из определения следует, что   является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вектора вокруг точки “O” в направлении силы и вектор   образуют правовинтовую систему. Модуль момента силы равен   , где a – угол между направлениями векторов   и   , а l = r·sina – длина перпендикуляра, опущенного из точки “O” на прямую, вдоль которой действует сила (называется плечом силыотносительно точки “O”) (рис. 4.2).

2. Опытные данные свидетельствуют, что на величину углового ускорения оказывает влияние не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая это обстоятельство, носит название момента инерции относительно оси вращения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Строго говоря, моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называется величина J, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от данной оси   .

Суммирование проводится по всем элементарным массам, на которые было разбито тело. Следует иметь ввиду, что эта величина (J) существует безотносительно к вращению (хотя понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела).

Каждое тело независимо от того покоится оно или вращается обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того движется оно или покоится.

Учитывая, что   , момент инерции можно представить в виде:   . Это соотношение приближенно и оно будет тем точнее, чем меньше элементарные объемы и соответствующие им элементы массы. Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:   . Здесь интегрирование проводится по всему объему тела.

Запишем моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы.

1. Однородный длинный стержень.
Рис. 4.3	Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину равен
2. Сплошной цилиндр или диск.
Рис. 4.4	Момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью, равен   .
3. Тонкостенный цилиндр радиуса R.
Рис. 4.5
4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр
Рис. 4.6
5. Момент инерции тонкого диска (толщина b<<R) относительно оси, совпадающей с диаметром диска.
Рис. 4.7
6. Момент инерции бруска
Рис. 4.8
7. Момент инерции кольца
Рис. 4.9

 Вычисления момента инерции здесь достаточно просты, т.к. тело предполагаем однородным и симметричным, а момент инерции определяем относительно оси симметрии.

Для определения момента инерции тела относительно любой оси необходимо воспользоваться теоремой Штейнера.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J_с относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 4.10):

J = J_c + ma².

http://poznayka.org/s70151t1.html

Момент импульса тела.

Для описания вращательного движения потребуется ещё одна величина   , называемая моментом импульса.

Сначала определим момент импульса материальной точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент импульса материальной точки вводится аналогично моменту силы. Момент импульса  относительно точки О называется векторная величина, определяемая выражением:   ,

   где   – радиус-вектор, проведенный из точки “O” в ту точку пространства, в которой находится материальная точка,   . Вводя плечо l = r·sina, модуль вектора  можно записать в виде   (рис. 4.11).   – это векторная величина (псевдовектор). Вектор  направлен по оси вращения в ту сторону, куда перемещается острие буравчика при вращении рукоятки буравчика по направлению вращения тела. Если рассматривать   как векторное произведение   и   , то направление вектора   будет перпендикулярно плоскости, где лежат вектора   и   . L – численно равен площади параллелограмма, построенного на r и mv (рис. 4.12).

Выясним, чем определяется изменением момента импульса со временем. Продифференцируем выражение  по времени “t”. Получим

 ;

Первое слагаемое равно «0», т.к. представляет векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле   и следовательно совпадает с вектором   по направлению. Во втором слагаемом вектор   – действующая на тело сила (по II-закону Ньютона). Следовательно,

   , (4.1)

где   – момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки «О», относительно которой берется момент импульса   .

Отсюда следует формулировка закона сохранения момента импульса.

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки «О» равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки «О» будет оставаться постоянным.

Если сравнивать выражение   с выражением II закона Ньютона   , то видно, что для вращательного движения используется вместо силы   момент силы   , а вместо импульса   момент импульса   .

Скалярное выражение для момента силы можно получить более просто. Нормальная составляющая силы не влияет на величину скорости и уравновешивается силой реакции связи рис. 4.13. Тангенциальная составляющая силы F_t изменяет v, тогда по II закону Ньютона

 ;   ;   .

Следовательно,   .

Умножая обе части уравнения на r, получим

Вводя величину   , получаем, что

 . (4.2)

Формула для момента силы   справедлива не только для материальной точки, но и для любого тела, если его рассматривать как совокупность материальных точек.

Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ую материальную точку, обозначим   , а результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку   . Тогда для i-ой материальной точки можно записать

 ,

где i=1, 2, 3,…, N

Сложим эти уравнения

 .

 Величина   называется моментом импульса системы материальных точек.

Первая сумма – сумма моментов внутренних сил равна «0».

ПОЯСНЕНИЕ: Рассмотрим две любые элементарные массы Dm₁ и Dm₂. Силы, с которыми они взаимодействуют, лежат на одной прямой (рис. 4.14). Их моменты относительно произвольной точки “O” равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы материальных точек, в частности для твердого тела, всегда равна нулю. Это утверждение справедливо как для суммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки, так и для суммарного момента этих сил, взятого относительно любой оси.

Вторая сумма – суммарный момент внешних сил равен   , т.е.   .

Тогда   (здесь   и   относятся к системе материальных точек).

Для замкнутой системы материальных точек   , вследствие чего суммарный момент импульса   не зависит от времени

http://poznayka.org/s70152t1.html

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться, оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через ось Z (рис. 4.15). Все плоскости могут вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью   . Тангенциальная составляющая скорости i-ой точки может быть записана в виде:   .

Тогда, учитывая, что

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: моментом импульса относительно оси Z называется составляющая   по этой оси момента импульса   относительно точки «О», лежащей на оси (рис. 4.16):   , можно показать, что   , где   – составляющая радиус-вектора   , перпендикулярная оси Z;   – составляющая вектора   , перпендикулярная к плоскости, проходящей через ось Z и точку «m».

Подставив значение для   в формулу для   получим выражение для момента импульса точки относительно оси Z:

 .

Это можно записать, воспользовавшись свойством двойного векторного произведения и учтя, что векторы   и  взаимно перпендикулярны.

Просуммировав это выражение по всем точкам и вынося общий множитель   за знак суммы (S), найдем для момента импульса системы относительно оси Z следующее выражение:

 ,

где   – момент инерции системы материальных точек относительно оси Z.

Тогда   . Учитывая, что   , получаем

     . (4.3)

Это основное уравнение динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением II-закона Ньютона:   .

Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменными расстояниями между ними. Для такой системы момент инерции  есть величина постоянная относительно фиксированной оси. Следовательно, для абсолютно твердого тела основное уравнение динамики вращательного движения примет вид:

 , (4.4)

где   – угловое ускорение тела;

 – результирующий момент внешних сил, действующих на тело.

Сопоставив уравнения динамики вращательного движения с уравнениями динамики поступательного движения, легко заметить, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции и т.д. (см. таблицу).

Поступательное движение	Вращательное движение
– сила	или   – момент силы
m – масса	– момент инерции
– линейная скорость	– угловая скорость
– линейное ускорение	–угловое ускорение
– импульс	–момент импульса

Все приведенные выше формулы справедливы для случая, если ось вращения тела неподвижна.

http://poznayka.org/s70153t1.html

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

1. Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Разобьем все тело на множество элементарных масс m_i. Линейная скорость элементарной массы m_i – v_i = w·R_i, где R_i – расстояние массы m_iот оси вращения. Следовательно, кинетическая энергия i-ой элементарной массы будет равна   . Полная кинетическая энергия тела:   , здесь   – момент инерции тела   относительно оси вращения.

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси равна:

 (4.5)

 2. Пусть теперь тело вращается относительно некоторой оси, а сама ось перемещается поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

НАПРИМЕР: Катящийся без скольжения шар совершает вращательное движение, а центр тяжести его, через который проходит ось вращения (точка «О») перемещается поступательно (рис.4.17).

Скорость i-той элементарной массы тела равна   , где   – скорость некоторой точки «О» тела;  – радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке «О».

Кинетическая энергия элементарной массы равна:

 .

 ЗАМЕЧАНИЕ: векторное произведение   совпадает по направлению с вектором   и имеет модуль, равный   (рис.4.18).

Учтя это замечание, можно записать, что   , где   – расстояние массы   от оси вращения. Во втором слагаемом сделаем циклическую перестановку сомножителей, после этого получим

 .

Чтобы получить полную кинетическую энергию тела, просуммируем это выражение по всем элементарным массам, вынося постоянные множители за знак суммы. Получим

 .

Сумма элементарных масс   есть масса тела «m». Выражение   равно произведению массы тела на радиус-вектор   центра инерции тела (по определению центра инерции). Наконец,   – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «О». Поэтому можно записать

 .

Если в качестве точки «O» взять центр инерции тела «С», радиус-вектор   будет равен нулю и второе слагаемое исчезнет. Тогда, обозначив через   – скорость центра инерции, а через   – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку «С», получим:

 (4.6)

Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.

http://poznayka.org/s70154t1.html

Работа внешних сил при вращательном движении твердого тела

Найдем работу, которую совершают силы при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.

Пусть на массу   действуют внутренняя сила   и внешняя сила   (результирующая сила   лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения) (рис. 4.19). Эти силы совершают за время dt работу:

 .

Осуществив в смешанных произведениях векторов циклическую перестановку сомножителей, находим:

 ,

где   ,   – соответственно, моменты внутренней и внешней сил относительно точки «О».

Просуммировав по всем элементарным массам, получим элементарную работу, совершаемую над телом за время dt:

 .

Сумма моментов внутренних сил равна нулю. Тогда, обозначив суммарный момент внешних сил через   , придем к выражению:

   .

Известно, что скалярным произведением двух векторов называется скаляр, равный произведению модуля одного из перемножаемых векторов на проекцию второго на направление первого, учтя, что   , (направления оси Z и   совпадают), получим

 ,

но w·dt=dj, т.е. угол, на который поворачивается тело за время dt. Поэтому

 .

Знак работы зависит от знака M_z, т.е. от знака проекции вектора   на направление вектора   .

Итак, при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил определяется формулой   .

Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования

 .

Если проекция результирующего момента внешних сил на направление   остается постоянной, то ее можно вынести за знак интеграла:

 , т.е.   .

Т.е. работа внешней силы   при вращательном движении тела равна произведению проекции момента внешней силы на направление   и угол поворота.

С другой стороны работа внешней силы, действующей на тело идет на приращение кинетической энергии тела (или равна изменению кинетической энергии вращающегося тела). Покажем это:

и тогда

 ;

Следовательно,

 . (4.7)

Самостоятельно:

Упругие силы;

Закон Гука.

http://poznayka.org/s70155t1.html

Уравнение Бернулли.

Будем рассматривать идеальную несжимаемую жидкость, в которой внутреннее трение (вязкость) отсутствует. Выделим в стационарно текущей жидкости тонкую трубку тока (рис. 5.2) с сечениями S₁ и S₂ , перпендикулярными к линиям тока. В сечении 1 за малое время t частицы сместятся на расстояние l₁ , а в сечении 2 - на расстояние l₂ . Через оба сечения за время t пройдут одинаковые малые объемы жидкости V = V₁ = V₂ и перенесут массу жидкости m=rV , где r - плотность жидкости. В целом изменение механической энергии всей жидкости в трубке тока между сечениями S₁ и S₂ , произошедшее за время t , можно заменить изменением энергии объема V , произошедшим при его перемещении от сечения 1 до сечения 2 . При таком движении изменится кинетическая и потенциальная энергия этого объема, и полное изменение его энергии

 , (5.2)

где v₁ и v₂ - скорости частичек жидкости в сечениях S₁ и S₂ соответственно; g - ускорение земного притяжения; h₁ и h₂ - высоты центра сечений.

В идеальной жидкости потери на трение отсутствуют, поэтому приращение энергии DE должно быть равно работе, совершаемой силами давления над выделенным объемом. При отсутствии сил трения эта работа:

 . (5.3)

Приравнивая правые части равенств (5.2) и (5.3) и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим

 . (5.4)

Сечения трубки S₁ и S₂ были взяты произвольно, поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока справедливо выражение

 . (5.5)

Уравнение (5.5) называется уравнением Бернулли. Для горизонтальной линии тока h = const , и равенство (5.4) приобретает вид

r   /2 + p₁ = r·   /2 + p₂ , (5.6)

т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.

http://poznayka.org/s70156t1.html

Силы внутреннего трения.

еальной жидкости присуща вязкость, которая проявляется в том, что любое движение жидкости и газа самопроизвольно прекращается при отсутствии причин, вызвавших его. Рассмотрим опыт, в котором слой жидкости расположен над неподвижной поверхностью, а сверху его перемещается со скоростью   , плавающая на ней пластина с поверхностью S (рис. 5.3). Опыт показывает, что для перемещения пластины с постоянной скоростью необходимо действовать на нее с силой   . Так как пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается другой, равной ей по величине и противоположно направленной силой, которая является силой трения   .Ньютон показал, что сила трения

 , (5.7)

где d - толщина слоя жидкости, h - коэффициент вязкости или коэффициент трения жидкости, знак минус учитывает различное направление векторов F_тр и v_o. Если исследовать скорость частиц жидкости в разных местах слоя, то оказывается, что она изменяется по линейному закону (рис. 5.3):

v(z) = = (v₀/d)·z.

Дифференцируя это равенство, получим dv/dz = v₀/d . С учетом этого

формула (5.7) примет вид

F_тр=-h(dv/dz)S , (5.8)

где h - коэффициент динамической вязкости. Величина dv/dz называется градиентом скорости. Она показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z. При dv/dz = const градиент скорости численно равен изменению скорости v при изменении z на единицу. Положим численно в формуле (5.8) dv/dz = -1 и S = 1, получим h= F . Отсюда следует физический смысл h: коэффициент вязкости численно равен силе, которая действует на слой жидкости единичной площади при градиенте скорости, равном единице. Единица вязкости в СИ называется паскаль-секундой (обозначается Па   с). В системе СГС единицей вязкости является 1 пуаз (П), причем 1 Па   с = 10П.

http://poznayka.org/s70157t1.html

Течение жидкости в круглой трубе.

При движении жидкости в круглой трубе ее скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Полагая течение ламинарным, найдем, как меняется скорость в направлении радиуса трубы. Выделим в трубе воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l, соосный с трубой (рис. 5.4). При стационарном течении жидкости сила трения F_тр равна разности сил давления:

F_тр=(p₁-p₂)p·r²=Dpp·r²,

где p₁ и p₂ - давления жидкости в сечении 1 и 2 , Dp - разность давлений на   концах объема, pr² - площадь основания цилиндра. Подставляя сюда силу трения F_тр = -h(dv/dr)2p rl , получим Dppr² = -h(dv/dr)2prl , где dv/dr - градиент скорости, h - коэффициент вязкости жидкости, 2prl - площадь боковой поверхности цилиндра. Разделяя переменные rи v, получим dv = -(Dp/2hl)rdr. Суммируя все изменения dv от r до R, придем к определенному интегралу   , в котором учтено, что на стенках трубы при r = R скорость движения слоя v = 0. После интегрирования получим

v = (Dp/4hl)(R² - r²). (5.10)

 Формула (5.10) показывает, что скорость частиц как функция расстояния от оси трубы изменяется по параболическому закону. Используя формулу (5.10), можно решить такую важную практическую задачу, как нахождение объема жидкости Q, протекающего через поперечное сечение трубы за единицу времени. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца шириной dr (рис. 5.5). Через кольцо радиусом r за секунду пройдет объем жидкости, равный произведению площади кольца 2prdr на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы:

dQ = v2prdr. (5.11)

Чтобы получить поток Q , нужно просуммировать все dQ при изменении r от 0 до R. Получим определенный интеграл, который с учетом выражения (5.10), будет иметь вид

или

 . (5.12)

Это выражение называется формулой Пуазейля. Из формулы практический вывод, что для улучшения пропускной способности труб в первую очередь следует увеличить их радиус. Например, при увеличении радиуса трубы в 2 раза количество протекающей жидкости возрастет в 16 раз.

Формула (5.12) используется при определении вязкости жидкости. Измерив поток жидкости Q через капилляр известного радиуса и зная перепад давления, можно определить вязкость жидкости.

Движение тел в жидкостях и газах.

При движении симметричных тел в жидкостях и газах возникает сила лобового сопротивления, направленная противоположно скорости движения тела. При ламинарном обтекании шара линии тока расположены симметрично относительно плоскости, проходящей через его центр и перпендикулярной к его скорости. Следовательно, согласно уравнению Бернулли, и давление жидкости будет симметричным относительно этой плоскости, силы давления с обеих сторон шара будут уравновешиваться, и сила сопротивления должна быть равна нулю - парадокс Даламбера. Однако это справедливо лишь при отсутствии сил вязкости в жидкости. При ламинарном обтекании тела жидкостью сила лобового сопротивления полностью зависит от сил вязкости. Стокс, проведя расчеты, получил формулу для силы сопротивления движению шара

F = 6p·h·r·v, (5.13)

где r - радиус шара; v - его скорость; h - коэффициент вязкости.

При возрастании скорости движения тела, начиная с некоторого значения числа Рейнольдса, обтекание тела становится турбулентным, в поверхностном слое поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри. Давление в образующейся за телом вихревой области в согласии с уравнением Бернулли оказывается пониженным, поэтому результирующая сила будет отлична от нуля и лобовое сопротивление увеличится.

При обтекании несимметричных тел кроме силы лобового сопротивления возникает подъемная сила. Например, для крыла самолета скорость обтекания его верхней части существенно больше, чем нижней. Согласно уравнению Бернулли давление воздуха в нижней части крыла будет больше, чем сверху. В результате возникает подъемная сила крыла самолета.

ЛЕКЦИЯ 8

Всемирное тяготение.

Законы Кеплера.

К началу 17 столетия большинство ученых окончательно убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира. Однако ученым того времени не были ясны ни законы движения планет, ни причины, определяющие характер их движения.

Иоганн Кеплер (1571-1630) – немецкий астроном, обработав результаты многочисленных наблюдений, проведенных Тихо Браге и им самим, получил законы движения планет вокруг Солнца.

I закон: – Каждая планета движется вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. (В 1^ом приближении орбиты можно считать круговыми).

II закон: – Радиус-вектор планеты (т.е. вектор, проведенный от Солнца к планете) за равные промежутки времени описывает равные площади.

III закон: – Квадраты периодов обращения любых двух планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Принимая для простоты, что орбиты являются окружностями (практически это допустимо), ускорение с которым движется планета, можно записать в виде   , где v – скорость движения планеты, R – радиус орбиты.

Заменив v через 2pR/T (где T – период обращения планеты вокруг Солнца), получим

 (6.1)

Замечание: Равномерное движение тела по окружности характеризуется центростремительным ускорением (точнее нормальной составляющей полного ускорения). Сила, любой природы, вызывающая это ускорение, называется центростремительной. Она приложена к телу, направлена к центру окружности и согласно II закону Ньютона равна   . F_ц создается связью, удерживающей тело на окружности.

На основании выражения (6.1) отношение сил, действующих на планеты со стороны Солнца, запишем в виде:

 .

Согласно III закону Кеплера:   . Тогда после подстановки получим:   или   .

Таким образом, из III закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца, т.е.   .

Предположив, что коэффициент пропорциональности k в свою очередь пропорционален массе Солнца M_c, Ньютон пришел к формуле

– выражающей закон всемирного тяготения.

Впоследствии было обнаружено, что поле тяготения и сила тяготения существуют между любыми телами и тогда закон всемирного тяготения запишется в виде:

 (6.2)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: сила, с которой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

g – коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная). 

Физический смысл гравитационной постоянной. Если положить m₁, m₂, r равными «1», то сила оказывается численно равна g. Таким образом, два шара с массой 1кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на расстоянии 1м, притягиваются взаимно с силой 6,67×10^-11Н.

Закон всемирного тяготения в формулировке (6.2) применим телам, которые можно рассматривать как материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нужно разбить на элементарные массы Dm, т.е. небольшие объемы, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку.

Проведенные вычисления значения “g” было определено опытным путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают большие трудности, т.к. для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка 10^‑6 Н, т.е. ~10^‑4Г.

Опыт Кавендиша.

 Первой успешной попыткой определения «g» были измерения, осуществленные Кавендишем (1798г.), который применил для измерения сил весьма чувствительный метод крутильных весов (рис. 6.1). Два свинцовых шарика m (массой 729г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров M (с массой по 158кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерить силу притяжения шаров друг к другу. Верхний коней нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами m и M.

Также следует знать, что II-закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса. Из рис. 6.2 видно, что описанная радиус-вектором за время dt площадь dS равнаполовине произведения основания треугольникаvdt на высоту треугольника l, котораясовпадает с плечом импульса планеты   по отношению к Солнцу:

 

(L – момент импульса планеты, равный m·v·l).

Выражение   называется секториальной скоростью. Таким образом,

 .

Момент импульса в центральном поле сил остается постоянным, следовательно, и секториальная скорость планеты должна быть постоянной. Это означает, что за равные промежутки времени радиус-вектор будет описывать одинаковые площади.

http://poznayka.org/s70159t1.html

Напряженность гравитационного поля. Потенциал гравитационного поля.

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, помещенное в него другое тело оказывается под действием силы. Об «интенсивности» гравитационного поля можно судить по величине силы, действующей в данной точке на тело единичной массы. В соответствии с этим величину   называют напряженностью гравитационного поля. Итак,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Напряженность гравитационного поля – это величина численно равная силе, действующей на тело единичной массы.

Размерность   совпадает с размерностью ускорения. Вблизи Земли напряженность поля тяготения равна ускорению свободного падения (“g”).

Из закона всемирного тяготения:

 , (6.3)

 – орт радиус-вектора, проведенного из материальной точки в данную точку поля; r – модуль этого радиус-вектора; m – масса тела, которое создает поле.

Каждой точке поля, создаваемого материальной точкой m соответствует определенное значение потенциальной энергии, которой обладает в этом поле материальная точка m¢. Поэтому поле можно характеризовать потенциальной энергией   (   ). А величину   – называют потенциалом гравитационного поля. Потенциал в данной точке поля численно равен работе сил тяготения по перемещению тела единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал скалярная величина, характеризующая поле с энергетической точки зрения.

Напряженность поля (   ) – векторная величина, называется силовой характеристикой поля. Направления   и  совпадают.

Работа сил тяготения была рассчитана ранее:

САМОСТОЯТЕЛЬНО:

Космические скорости.

http://poznayka.org/s70160t1.html

Принцип относительности.

В разд. 2.1. для механических систем был сформулирован следующий принцип относительности: во всех инерциальных системах отсчета все законы механики одинаковы. Никакими (механическими) опытами, проведенными в замкнутой инерциальной системе, нельзя об   наружить, покоится система или прямолинейно и равномерно движется.

Пусть система   движется относительно инерциальной системы K с постоянной скоростью v_о(рис. 7.1) так, чтобы оси x и   при движении совпадали, а оси y,   и z ,   были параллельны друг другу,причем вектор, соединяющий начала координат, r_о = v_ot , где t время. Связь между координатами этих систем описывается преобразованиями Галилея :

x =   + v_o   ; y =   ; z =   ; t =   , (7.1)

где   время в подвижной системе координат. Последнее равенство отражает тот факт, что согласно представлениям классической механики ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета. Если подставить преобразования (7.1) в законы Ньютона, то эти законы превращаются в такие же законы, но в штрихованной системе отсчета. Поэтому, проделав любые опыты по механике в замкнутой инерциальной системе, и нельзя сказать, движется система или нет.

Результат исследований явлений электричества и магнетизма позволил ученому Максвеллу получить уравнения, которые сводят воедино электричество, магнетизм, свет. Однако уравнения Максвелла не подчиняются принципу относительности: если преобразовать их подстановкой типа (7.1), то их вид не останется прежним. Отсюда следует вывод, что оптические и электрические явления можно использовать для определения скорости замкнутой системы относительно некоего “мирового неподвижного эфира”. Например, скорость автомобиля равна 1   10⁸ м/с, а скорость света 3   10⁸ м/с, тогда свет от фар будет удаляться со скоростью 2   10⁸ м/с и, измерив скорость света, испускаемого фарами, можно было бы узнать скорость автомашины. Такую попытку определить абсолютную скорость орбитального движения Земли сквозь воображаемый “эфир” проделал в 1887 г. ученый Майкельсон с помощью очень чувствительного светового интерферометра. Однако результат опыта был отрицательный: “мировой эфир” оказался неуловимым. Объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона удалось ученому Эйнштейну путем отказа от некоторых представлений классической механики.

http://poznayka.org/s70161t1.html

Постулаты специальной (частной) теории относительности. Преобразования Лоренца

Эйнштейн сформулировал два постулата, лежащие в основе специальной теории относительности:

1. Физические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Никакими физическими опытами, проведенными внутри замкнутой инерциальной системы отсчета, нельзя обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно.

2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя.

Наличие этих постулатов позволяет получить новые преобразования координат, отличающиеся от (7.1).

Пусть система   движется относительно инерциальной системы K с постоянной скоростью v_о(рис. 7.1) так, чтобы оси x и   при движении совпадали, а оси y,   и z,   были параллельны друг другу,причем вектор, соединяющий начала координат,   , где t время. Можно показать, что координаты y и z связаны формулами y =   ; z =   . Ищем зависимость между подвижными и неподвижными координатами x в виде

 , (7.2)

где a искомый коэффициент. Согласно первому постулату в силу равноправия систем отсчета для перехода от неподвижной системы отсчета к подвижной зависимость между координатами должна иметь аналогичный вид и отличаться лишь знаком для скорости v_o:

 = a(x - v_o, t). (7.3)

Пусть в моменты времени t =   = 0 в точке x =   = 0 в направлении оси x испускается вспышка света. Это событие через время t будет наблюдаться в точке x = ct и через время   в точке   = c   . Здесь используется тот факт, что скорость света c для вакуумасогласно 2^му постулату Эйнштейна одинакова в обеих системах. Подставляя в два последних равенства выражения (7.2) и (7.3), получим a(c + v_o)   = ct ; a(c - v_o)t = c   . Перемножая эти два равенства, получим a = 1/(1 - b ²)^0,5 , где величину b = v_o /c называют относительной скоростью.

Исключая из равенств (7.2) и (7.3) координату x, получим

t =   /a +   b /ac

Подставляя в эту формулу и в формулу (7.2) выражения для a и b, получим окончательно формулы для связи координат и времени :

 (7.4)

Полученные формулы называют преобразованиями Лоренца. Ученый Лоренц впервые получил эти формулы и показал, что если уравнения Максвелла преобразовать подстановкой (7.4), то их вид останется прежним и эти уравнения подчиняются принципу относительности. Эйнштейн предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца.

Преобразования Лоренца при малых скоростях движения (b ® 0) переходят в преобразования Галилея, которые являются предельным случаем преобразований Лоренца. Из преобразований Лоренца следует, что как пространственные, так и временные преобразования не являются независимыми. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

Теорию относительности часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорий, - релятивистскими эффектами.

http://poznayka.org/s70162t1.html

Следствия из преобразований Лоренца.

Самым неожиданным следствием теории относительности является зависимость времени от системы отсчета.

Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке   , покоящейся относительно подвижной системы   , происходит событие, длительность которого   =   -   , где   и   - начальный и конечный промежутки времени. C помощью формул (7.4) получим, что длительность этого же события в неподвижной системе отсчета K равна

или

 (7.5)

 Из последнего равенства следует, что   , т.е. для подвижной системы отсчета событие будет происходить за меньший промежуток времени. Следовательно, для подвижной системы отсчета время идет медленнее. Этот удивительный результат можно понять, если придумать специальные часы, в которых роль маятника играет световой сигнал, бегающий между двумя параллельными зеркалами, находящимися на расстоянии L. Период таких часов для системы отсчета, в которой они покоятся   = 2L /с. Если эти часы движутся со скоростью v_o вдоль оси x (рис. 7.2), то для неподвижного наблюдателя траектория движения луча выглядит в виде зигзага и расстояние, пройденное светом за период часов t , будет более длинным, его квадрат равен 4L² +   t² = с²t² . Исключая L из двух последних равенств, легко получить выражение (7.5) t =   /(1-- b ²)^0,5. Если космонавт улетит от Земли со скоростью, близкой к скорости света (например, b ² = 1 - 10^-4 ), и вернется обратно через год, то по земным часам полет продлится 100 лет. Космонавт возвратится на Землю в сто раз более молодым, чем его брат-близнец. Данный результат мысленного эксперимента кажется неправильной интерпретацией преобразований Лоренца, так как, если за неподвижную систему отсчета считать движущийся корабль, то его близнец на Земле удаляется с такой же скоростью, и его время как бы замедлится по сравнению с часами на корабле. Однако эти две системы – не равнозначны, космонавт на корабле должен ускоряться и замедляться, чтобы вернуться на Землю. Поэтому система отсчета, связанная с кораблем ‑ неинерциальна. Получается, что причина замедления физических процессов связана с тем, что космонавт при путешествии подвергался дополнительным механическим перегрузкам. Детальный расчет, выходящий за рамки специальной теории относительности, показывает, что часы, движущиеся с ускорением, идут медленнее, поэтому при возвращении отстанут именно они.

Эффект замедления хода часов получил экспериментальное подтверждение при исследовании частиц m-мезонов, образующихся в космических лучах. Среднее время жизни неподвижных m-мезонов составляет 2   10^-6с. Казалось бы, что двигаясь со скоростью света m-мезоны могут пройти расстояние 600м. Однако m-мезоны проходят расстояние 20-30 км и достигают земной поверхности, т.е. для земного наблюдателя время жизни m-мезонов оказывается гораздо большим.

Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в подвижной системе   в точках с координатами   и   происходят одновременно два события в момент времени   =   = b . Согласно формулам (7.4) в системе K этим событиям будут соответствовать координаты t₁ = (b +   v_o /c²)/(1- - b ²)^0,5 и t₂= (b +   v_o /c²)/(1-b ²)^0,5 . Из написанных формул видно, что если события в системе K пространственно разобщены (   ¹   ), они не будут происходить одновременно. Например, при   >   получим t₁ > t₂ , т.е. событие в точке 1 для неподвижной системы отсчета произойдет раньше, хотя для подвижной системы эти события одновременны.

Длина тел в разных системах отсчета. Из преобразований (7.4) следует, что при движении тел их размеры по осям x и y не изменяются. Пусть в системе K покоится стержень, параллельный оси x . Длина его, измеренная в этой системе, равна l = x₂ - x₁ , где x₁ и x₂ - координаты обоих концов стержня в системе K . Используя преобразования Лоренца (7.4), выразим длину стержня в следующем виде l = (   + v_o   )/(1- b ²)^0,5 - (   + + v_o   )/(1- b ²)^0,5 = (   -   )/(1-b ²)^0,5 , где   и   - координаты концов стержня, измеренные в подвижной системе   в один и тот же момент времени   . Длина стержня в системе   равна   =   -   . Окончательно получим l =   /(1- b ²)^0,5 или   = l(1- b ²)^0,5 . Отсюда следует l >   . Длину l называют собственной длиной стержня в той системе отсчета, в которой он покоится. Это наибольшая длина стержня. Если предмет начинает двигаться, его размеры в направлении оси x сокращаются пропорционально (1- b ²)^0,5 . Например, если неподвижное тело является шаром, то при движении шар сжимается вдоль оси x , приобретая форму эллипсоида вращения.

Релятивистский закон сложения скоростей.Пусть опять система   движется относительно системы K со скоростью v_o вдоль оси x . Пусть v_x = dx/dt есть компонента скорости некоторой частицы в системе K , а   =   - компонента скорости ее в системе   . Дифференцируя формулы (7.4), получим

 ; dy = d   ; dz = dz’;   .

Разделив первые три равенства на четвертое и учитывая, что b = v_o/c, находим

     (7.6)

где v_x , v_y , v_z - составляющие скорости частицы в системе K ,   ,   ,   - составляющие скорости частицы в системе   . Полученные формулы и определяют преобразование скоростей. При с ®   релятивистские формулы переходят в формулы классической механики.

Пусть корабль движется вдоль оси x со скоростью   = c / 2 и некоторая частица движется в этом же направлении относительно корабля со скоростью   = c / 2 .По формулам (7.6) получим v_x = 4c/5 , т.е. по теории относительности 1/2 и 1/2 дают не 1, а 4/5.

Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, распространение света вдоль оси x , т.е.   = с. Тогда по формулам (8.6) получим v_x = (с +   )/(1 +   c/c²) = c . Итак, скорость света для неподвижного наблюдателя опять равна скорости света.

http://poznayka.org/s70163t1.html

Интервал между событиями.

В теории относительности вводят понятие события, которое определяется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. Событие можно изобразить точкой в воображаемом четырехмерном пространстве, на осях которого три пространственные координаты и время. Эти точки называются мировыми точками. Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия).

В классической физике при переходе от одной системы координат к другой координаты точек изменяются, но неизменным остается расстояние между двумя выбранными точками Dl, которое можно определить из формулы Dl² = (x₂ - x₁ )² + (y₂ -y₁)² + (z₂ - z₁ )², где x₁ , y₁ , z₁ , x₂ , y₂ , z₂ - координаты точек. В теории относительности при переходе от одной системы к другой расстояние между точками не остается постоянным, т.е. не является инвариантом. Инвариантом, не зависящим от выбранной системы координат, является интервал между событиями Ds, который определяется по формуле Ds² = c²t² - Dl² . С формальной математической точки зрения интервал можно рассматривать как расстояние между мировыми точками в воображаемом четырехмерном пространстве.

Если Ds² > 0, то интервал называют времениподобным,и существует такая система отсчета. в которой оба события произошли в одной точке. Два события могут быть причинно связаны друг с другом только в том случае, если интервал между ними времениподобный.

Если Ds² < 0, то интервал называют пространственноподобным,и сущес-твует такая система отсчета, в которой оба события произошли в одно и тоже время.

Теория относительности сформулировала новое представление о пространстве и времени, показав, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи. Дальнейшее развитие теории относительности (общая теория относительности) показало, что свойства пространства-времени определяются действующими в данной области полями тяготения, и изменяются в зависимости от концентрации в пространстве массы вещества.

ЛЕКЦИЯ 10

Колебания.

Общие сведения.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости или такое движение, при котором система многократно отклоняясь от своего состояния равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если этот возврат осуществляется через равные промежутки времени, то колебания называются периодическими.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Здесь мы будем рассматривать механические колебания.

Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль (колебания моста, вибрации корпуса корабля, вибрации крыльев самолета и т.п.). В подобных случаях задача состоит в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний.

Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

 ПРИМЕРЫ колебательных движений: вибрация струны, движение поршня, суточные и годичные изменения температуры воздуха, морские приливы-отливы, биение сердца, тепловое движение ионов кристаллической решетки твердого тела, переменный ток и его электромагнитное поле, движение электронов в атоме и т.д.

Всевозможные колебательные движения имеют два общих характерных признака:

1. До начала колебаний и после их окончания тело находится в положении равновесия;

2. Наличие силы, которая возникает, как только тело выходит из положения равновесия. Эта сила пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению тела (направлена к положению равновесия). Для такой силы справедливо   . Называется такая сила упругой силой. Под действием такой силы, например, может сжиматься и разжиматься пружина.

Но может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность.

Рассмотрим колебания математического маятника (рис. 8.1).

Отклоним маятник на некоторый угол j от положения равновесия и разложим силу тяжести   на две составляющие:

- P_t – перпендикулярную нити;

- P_n – параллельную нити.

Под действием силы P_t шарик будет стремиться вернуться в положение равновесия. P_t=P·sinj. При малых углах sinj @ j и тогда Pt=-m·g·j. Знак «-», т.к. сила P_tпрепятствует возрастанию угла j. Сила P_t не упругая сила, но по своему действию и характеру аналогична упругой силе. Такая сила называется квазиупругой силой.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, как по физической природе, так и по степени сложности, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими (от греческого “гармоникс” – стройный).

http://poznayka.org/s70164t1.html

Уравнение гармонического колебательного движения.

Пусть на некоторое тело массы “m” действует квазиупругая сила   , под действием которой тело приобретает ускорение “a”, тогда по II-закону Ньютона   и, следовательно   (пример, колебание шарика, подвешенного к пружинке). Здесь движение (колебательный процесс) происходит вдоль оси “x”.

Далее   ; и   ; тогда   или   .

Колебательный процесс возможен, если коэффициент при “x” положителен, представим его в виде   (здесь w₀ – вещественная величина). Тогда получим:

– дифференциальное уравнение гармонического колебания.

Таким образом, движение шарика на пружинке под действием силы   описывается линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Решением такого уравнения является функция вида:

 , (8.1)

где А – амплитуда колебаний, величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия. Определяется величиной первоначального отклонения (А = const > 0).

(w₀t+j) – фаза колебаний. Физический смысл фазы состоит в том, что она определяет смещение колеблющейся точки в любой момент времени. Постоянная j представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Из уравнения следует, что фазам, отличающимся на величину, кратную 2p, соответствуют одинаковые смещения.

Так как смещение системы при колебательном движении представляет периодическую функцию от времени, то и скорость и ускорение такой системы будут также в точности повторяться через равные промежутки времени T, за который фаза колебаний получит приращение, кратное 2p. Этот промежуток времени T называется периодом колебаний (или иначе T – это время, за которое совершается полный цикл колебаний).

 (8.2)

С учетом   получим

 . (8.3)

Из формулы видно, что период колебаний зависит только от свойств самой системы.

Для описания колебательного периодического движения вводится еще несколько величин:

а) n – частота колебаний – это величина численно равная числу колебаний в единицу времени.   . За единицу частоту (1Гц) принимают частоту такого колебания, период которого равен 1с.

б) w₀ = 2pn – круговая или циклическая частота (w₀ – число колебаний за 2p секунд).

Для колебательного процесса смещение, скорость и ускорение можно представить как аналитически:

1.   .

2.   .

3.   .

  так и графически (рис. 8.2).

http://poznayka.org/s70165t1.html

Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.

 Возьмем ось, которую обозначим “x”. Из точки О, взятой на оси, под углом a, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор длины A (рис. 8.3). Спроектируем вектор A на ось x, получим x₀=Acosa – начальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью w₀. Положение этого вектора в любые моменты времени будет характеризоваться углами, равными:

w₀t₁+a; w₀t₂+a; w₀t₃+a; и т.д.

А проекция этого вектора будет перемещаться по оси «x» в пределах от –А до +А. Причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:

 .

Следовательно, проекция конца вектора на некоторую произвольную ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой равной углу, образованному вектором с осью в начальный момент времени.

Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью “x” угол равный начальной фазе колебания.

 Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела “x” будет суммой смещений x₁ и x₂, которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания с помощью векторов   и   (рис. 8.4) По правилам сложения векторов строим результирующий вектор   . Проекция этого вектора на ось X будет равна сумме проекций слагаемых векторов: x=x₁+x₂. Следовательно, вектор   представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той угловой скоростью w₀, что и векторы   и   , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с с частотой w₀, амплитудой «а» и начальной фазой a. Из построения следует, что

 .

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот способ отличается большей простотой и наглядностью, чем использование тригонометрических преобразований.

Проанализируем выражение для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний a₂ - a₁ = 0, то амплитуда результирующего колебания равна сумме (а₂ + а₁). Если разность фаз a₂ - a₁ = +p или -p, т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна   .

Если частоты колебаний x₁ и x₂ неодинаковы, векторы   и   будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор   пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью, Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не просто гармоническое колебании, а некоторый сложный колебательный процесс

http://poznayka.org/s70166t1.html

Скорость, ускорение и энергия колеблющегося тела.

Вернемся к формулам для смещения x, скорости v и ускорения a гармонического колебательного процесса.

Пусть имеем тело массы «m», которое совершает под действием квазиупругой силы колебания по закону:

 , тогда

 .

 .

Видно, что скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону (графики приводились ранее) с периодом колебаний равным T. Из сравнения формул видно, что скорости v опережает смещение по фазе на   . Это означает, что если x=0, то v тела имеет максимальное значение   .

Для ускорения зависимость иная. В каждый момент времени ускорение пропорционально смещению и находится с ним в противофазе. Это означает, что когда x=x_max, то ускорение тоже максимально, но отрицательно, т.е. при x=x_max,   (графики приведены ранее).

Квазиупругая сила, под действием которой происходит колебательное движение, является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебательного движения должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно (силами сопротивления пренебрегаем). Причем в моменты наибольшего отклонения о положения равновесия   , причем  ; при прохождении положения равновесия   , причем   . Так как   , то   .

Определим, как со временем изменяется Е_к и U_п для гармонического колебания   . Имеем

 (8.4)

 (8.5)

Т.к.   , то имеем

 ,

т.е.   как и должно было быть, т.к. квазиупругая сила – консервативная сила.

Используя формулы тригонометрии, можно получить выражения для

   (8.6)

 (8.7)

Здесь E – полная энергия системы. Из формул видно, что Е_к и U_п изменяются с частотой 2w₀, т.е. с частотой вдвое превышающей частоту гармонического колебания. Среднее значение квадрата sin и квадрата cos равно 1/2. Следовательно, среднее значение E_к совпадает со средним значением U_п и равно E/2.

http://poznayka.org/s70167t1.html

Гармонический осциллятор.

Систему, описываемую уравнением   , где   , будем называть гармоническим осциллятором. Решение этого уравнения, как известно, имеет вид:

 .

Следовательно, гармонический осциллятор представляет собой систему, которая совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Для гармонического осциллятора справедливы все результаты, полученные ранее для гармонического колебания.

Рассмотрим и обсудим ещё дополнительно к ним два вопроса.

Найдем импульс гармонического осциллятора. Продифференцируем выражение   по t и, умножив полученный результат на массу осциллятора, получим:

 . (8.8)

В каждом положении, характеризуемом отклонением “x”, осциллятор имеет некоторое значение ”p”. Чтобы найти ”p” как функцию ”x”, нужно исключить ”t” из написанных для ”p” и ”x” уравнений, Представим эти уравнения в виде:

 (8.9)

Возведя эти выражения в квадрат и складывая, получим:

 . (8.10)

 Нарисуем график, показывающий зависимость ”p” импульса гармонического осциллятора от отклонения ”x” (рис. 8.6). Координатную плоскость (”p”, ”x”) принято называть фазовой плоскостью, а соответствующий график – фазовой траекторией. Фазовая траектория гармонического осциллятора представляет собой эллипс с полуосями “A” и ”A·m·w₀”. Каждая точка фазовой траектории изображает состояние осциллятора для некоторого момента времени (т.е. его отклонение и импульс). С течением времени точка, изображающая состояние, перемещается по фазовой траектории, совершая за период колебания полный обход. Причем это перемещение совершается по часовой стрелке [а именно, если в некоторый момент времени t¢ x=A, p=0, то в следующий момент времени ”x” будет уменьшаться, а ”p” принимать все возрастающие по модулю отрицательные значения, т.е. движение изобразительной точки (т.е. точки изображающей состояние) будет происходить по часовой стрелке].

Найдем теперь площадь эллипса   . Или

 .

Здесь   , где n₀ – собственная частота осциллятора, являющаяся для данного осциллятора величиной постоянной.

Следовательно,   . Откуда

 . (8.11)

Таким образом, полная энергия гармонического осциллятора пропорциональна площади эллипса, причем коэффициентом пропорциональности служит собственная частота осциллятора.

8.6. Малые колебания системы вблизи положения равновесия.

Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины “x”. Величиной ”x”, определяющей положение системы может быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой.

Потенциальная энергия такой системы будет функцией одной переменной ”x”: E_p=E_p(x).

Выберем начало отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия x=0. Тогда функция E_p(x) будет иметь минимум при x=0.

Далее разложим функцию E_p(x) в ряд по степеням “x”, причем ограничимся случаем малых колебаний, поэтому высшими степенями “x” можно пренебречь. По формуле Маклорена:

 .

(ввиду малости “x” остальными членами пренебрегаем)

Так как E_p(x) при x=0 имеет минимум, то   , а   . Обозначим E_p(x) = b и   , тогда   .

Это выражение идентично с выражением для потенциальной энергии системы, в которой действует квазиупругая сила (константу “b” можно положить равной 0).

Сила, действующая на систему, может быть определена по формуле:   . Получено с учетом, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии   .

Итак, потенциальная энергия системы при малых отклонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы. Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим.

8.7. Математический маятник.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: математическим маятником будем называть идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия будет характеризоваться углом j (рис. 8.7). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент   , он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, поэтому моменту M и угловому смещению j нужно приписать разные знаки.

Следовательно,

 . (8.12)

 Напишем теперь для маятника уравнение динамики вращательного движения (учитывая, что b – угловое ускорение равно   , а   ).

Рассмотрим малые колебания (   ) и введем величину   , тогда получим

Решением этого уравнения будет функция 

 Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону.

Как следует из формулы   , частота колебаний математического маятника зависит только от его длины и величины “g” и не зависит от массы маятника. Учитывая, что   получим

 . (8.13)

http://poznayka.org/s70168t1.html

Физический маятник.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Физическим маятником будем называть твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей (не совпадающей) через его центр инерции.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол j возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия (рис. 8.8).

Этот момент равен

 ,

где m – масса маятника; l – расстояние от точки подвеса «О» до центра инерции маятника «С».

Обозначим J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, тогда   . В случае малых колебаний получим уравнение

 ,

где   . Отсюда следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции маятника.

Период колебаний физического маятника будет определяться выражением:

 . (8.14)

Сопоставляя это выражение с периодом колебаний математического маятника   получаем, что математический маятник с длиной   будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Эта величина называется приведенной длиной физического маятника.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

http://poznayka.org/s70169t1.html

Затухающие колебания.

При выводе уравнения гармонических колебаний считалось, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления (например, это может быть сила трения в точке подвеса, сопротивление среды, в которой совершаются колебания). Действие этих сил приводит к тому, что энергия колеблющейся системы (или точки) будет непрерывно убывать. Эта убыль энергии будет равна работе против сил трения и сопротивления. Т.к. полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды   , то наличие сил трения и сопротивления приведет и к непрерывному убыванию амплитуды колебаний. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать (и носят название затухающих).

Итак, затухание колебаний в любой колебательной системе (механической, электрической и т.п.) обусловлено потерями энергии в этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных системах происходят из-за трения (внешнего и внутреннего) и излучения упругих волн в окружающую среду; в электрических – из-за наличия активного сопротивления проводников и т.п.

Рассмотрим свободные (или собственные) колебания. Это значит, что система, будучи выведена из положения равновесия в результате внешнего воздействия, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы F=-kx и силы сопротивления среды, значит она будет совершать затухающие колебания вдоль оси “x”.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость (v) системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости:

 ,

где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус (“-”), т.к.   и   имеют противоположные направления.

Под действием сил F и f тело приобретает ускорение “a”, и для колеблющегося тела уравнение II-закона Ньютона имеет вид:

 или   .

Обозначим   ;   , тогда

(8.15)

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний

Здесь w₀ – та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды (т.е. при r = 0). Эта частота называется собственной частотой колебаний системы. b – коэффициент затухания колебаний (зависит от свойств данной системы и среды).

Наличие сопротивления среды приводит к тому, что амплитуда колебаний со временем будет уменьшаться. Поэтому будем искать решение уравнения (8.15) в виде:

где a(t) – некоторая функция времени.

Продифференцируем это выражение по времени и найдем   и   :

После подстановки этих выражений в уравнение (8.15) и несложных преобразований придем к следующему соотношению:

 .

Для того чтобы уравнение удовлетворялось при любых значения “t”, необходимо равенство нулю коэффициентов при “sin” и ”cos”. Т.е. приходим к двум следующим уравнениям:

	(8.16)
	(8.17)

Первое уравнение представим в виде:

 или   .

После интегрирования получим   , где   – постоянная интегрирования. После потенцирования найденного выражения получим   . Видно, что   , а   . Подставим эти значения в (8.17), получим

 .

Отсюда   .

При w₀ > b, величина w будет вещественной и тогда решение дифференциального уравнения   может быть представлено в виде

 .

Таким образом, при не слишком большом затухании   колебания описываются функцией

   .

График этой функции показан на рисунке 8.9. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Движение такой системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой w и амплитудой, изменяющееся по закону   Верхняя из пунктирных кривых дает график функции a(t), причем величина a₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x₀ зависит, кроме a₀, также от начальной фазы a:   .

Скорость затухания колебаний определяется величиной   , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз. По определению   .

Следовательно, коэффициент затухания равен обратной величине того промежутка времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз.

С учетом того, что   , а   период затухающих колебаний можно определить как

 .

При незначительном сопротивлении среды   период колебаний практически равен   . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Для характеристики колебательной системы (а именно: убывания амплитуды колебаний в зависимости от числа колебаний) вводится величина, называемая логарифмическим декрементом затухания (l).

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период равно

– это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания.

 , т.е.   . Т.к.   , то   . Отсюда следует, что логарифмический декремент затухания l зависит от свойств данной системы и среды.

 Выразим   и запишем закон убывания амплитуды в виде   . За время t, за которое амплитуда колебаний уменьшится в “e” раз система совершит   колебаний. Из условия   получаем   . Поэтому   .

Следовательно, логарифмический декремент затухания равен обратной   величине числа колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда уменьшается в “e” раз (l – безразмерная величина).

Для характеристики колебательной системы также часто употребляется величина   , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из определения, добротность пропорциональна числу колебаний N, совершаемых системой за время t, за которое амплитуда колебаний убывает в “e” раз.

Как известно, энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону

 ,

где E₀ – значение энергии при t = 0.

Продифференцировав это выражение по “t”, получим скорость возрастания энергии

 .

Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии:   .

Если энергия мало изменяется за время равное периоду колебаний, то убыль энергии за период будет равна   .

С учетом   и   получим   , т.е. при слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний.

Из формулы для периода колебаний   следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается, а при b = w₀ период колебаний обращается в бесконечность, т. е., движение перестает быть периодическим.

И последнее, математический анализ показывает, что при условии   движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

http://poznayka.org/s70170t1.html

Вынужденные колебания. Резонанс.

Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо извне восполнять потери энергии колебаний на трение. Для того, чтобы энергия колебаний системы не убывала обычно вводят силу, периодически воздействующую на систему (такую силу будем называть вынуждающей, а колебания вынужденными).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Эта сила, как правило, выполняет двоякую роль:

во-первых, она раскачивает систему и сообщает ей определенный запас энергии;

во-вторых, она периодически восполняет потери энергии (расход энергии) на преодоление сил сопротивления и трения.

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по закону:

 .

Составим уравнение движения для системы, колеблющейся под воздействием такой силы. Предполагаем, что на систему также действует квазиупругая сила   и сила сопротивления среды   (что справедливо в предположении малости колебаний). Тогда уравнение движения системы будет иметь вид:

 или   .

Проведя подстановки   ,   ,   – собственная частота колебаний системы, получим неоднородное линейной дифференциальное уравнение 2^го порядка:

 .

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения известно:

 ,

где   ; a₀ и a – произвольные const.

Далее предположим, что частное (не содержащее произвольных констант) решение неоднородного уравнения имеет вид

 .

С помощью векторной диаграммы можно убедиться, что такое предположение справедливо, а также определить значения “a” и “j”.

Амплитуда колебаний определяется следующим выражением:

 .

Значение “j”, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания   от обусловившей его вынуждающей силы   , также определяется из векторной диаграммы и составляет:

 .

Окончательно, частное решение неоднородного уравнения примет вид:

(8.18)

Эта функция в сумме с

(8.19)

 дает общее решение неоднородного дифференциального уравнения, описывающего поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (8.19) играет заметную роль в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 8.10). С течением времени из-за экспоненциального множителя   роль второго слагаемого (8.19) все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя в решении лишь слагаемое (8.18).

Таким образом, функция (8.18) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных w₀ и b) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания “j” также зависит от частоты вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: явление, при котором наблюдается резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, называется резонансом.

Резонансная частота определяется из условия максимума для амплитуды вынужденных колебаний:

 . (8.20)

Тогда, подставив это значение в выражение для амплитуды, получим:

 . (8.21)

При отсутствии сопротивления среды амплитуда колебаний при резонансе обращалась бы в бесконечность; резонансная частота при тех же условиях (b=0) совпадает с собственной частотой колебаний.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (или, что то же самое, от частоты колебаний) можно представить графически (рис. 8.11). Отдельные кривые соответствуют различным значениям “b”. Чем меньше “b”, тем выше и правее лежит максимум данной кривой (см. выражение для w_рез.). При очень большом затухании   резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает (нижняя кривая на рис. 8.11).

 Совокупность представленных графиков, соответствующих различным значениям b, называется резонансными кривыми.

Замечания по поводу резонансных кривых:

при стремлении w®0 все кривые приходят к одному, отличному от нуля значению, равному   . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы F₀.

при w®¥ все кривые асимптотически стремятся к нулю, т.к. при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместится из положения равновесия.

чем меньше b, тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» максимум.

Примеры:

С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин, механизмов и сооружений (мосты, самолеты, корабли и т.п.).

Явление резонанса часто оказывается полезным, особенно в акустике и радиотехнике.

http://poznayka.org/s70171t1.html

Предмет и методы молекулярной физики

Молекулярная физика представляет собой раздел физики, изучающий строение и свойства вещества, исходя и так называемых молекулярно-кинетических представлений. Согласно этим представлениям любое тело (твердое, жидкое, газообразное) состоит из большого количества весьма малых обособленных частиц – молекул (атомы можно рассматривать как одноатомные молекулы).

Это представление возникло ещё в глубокой древности и было отчетливо высказано греческим философом Демокритом (Vв. до н.э.). Однако в дальнейшем эти атомистские воззрения были забыты и возрождены лишь во второй половине XVIIв. Бойлем, а затем в 18-19в.в. разработаны Ломоносовым, Дальтоном, Кренигом, Больцманом, Максвеллом и др. в качестве научной теории, получившей название молекулярно-кинетической теории.

Основоположником этой теории является Ломоносов, который впервые заявил, что любое тело состоит из мельчайших частиц – корпускул, имеющих форму шара с шероховатой поверхностью. При движении эти частицы сталкиваются друг с другом и из-за шероховатости приобретают вращательное движение. Т.е. Ломоносов высказал мысль о том, что молекулы движутся не только поступательно, но и вращательно. Этим самым он опроверг теорию теплорода, согласно которой теплота рассматривалась как особая жидкость, которая впитывалась телами в различной степени в зависимости от теплового состояния. Ломоносов также впервые ввел понятие абсолютного нуля. Он заявил, что должна существовать наивысшая степень холода, при которой отсутствует какое либо движение частиц, включая и вращательное. Непосредственным доказательством хаотичности теплового движения является броуновское движение.

Особенно стоит отметить труды русского ученого и мыслителя М.В. Ломоносова (1711-1765г.г.), который предпринял попытку дать единую картину всех известных в его время физических и химических явлений. При этом он исходил из корпускулярного (по современной терминологии – молекулярного) представления о строении материи. Восставая против господствовавшей в его время теории теплорода (гипотетической тепловой жидкости, содержание которой в теле определяет степень его нагретости), Ломоносов «причину тепла» видит в во вращательном движении частиц тела. Таким образом, Ломоносовым были по существу сформулированы молекулярно-кинетические представления. Также М.В. Ломоносов впервые объяснил природу теплоты на основе беспорядочного движения молекул. По его представлениям температура вещества не имеет ограничения сверху, т.к. скорости теплового движения молекул могут быть сколь угодно велики. При уменьшении скорости молекул до нуля должно быть достигнуто минимально возможное значение температуры вещества. Объяснение природы теплоты движением молекул и вывод о существовании температуры абсолютного нуля, сделанный Ломоносовым, получили теоретическое и экспериментальное подтверждение в конце 19в. Представления о молекулярном строении тел Ломоносовым высказывались в следующей форме. Он писал: «Нельзя также отрицать движение тел там, где глаз его не видит; кто будет отрицать, что движутся листья и ветви деревьев при сильном ветре, хотя издали он не заметит никакого движения. Как здесь из-за отдаленности, так и в горячих телах вследствие малости частичек вещества движение скрывается от взоров». Т.е. причина того, что тела нам представляются сплошными в том, что атомы и молекулы чрезвычайно малы. Как уже говорилось благодаря трудам многих ученых, начало которым положил Ломоносов, Атомистика во второй половине 19в. – начале 20в. превратилась в научную теорию. Для характеристики масс атомов и молекул применяют величины, получившие название относительной атомной массы элемента (сокращенно – атомной массы) и относительной молекулярной массы вещества (сокращенно – молекулярной массы).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Атомной массой (A_r) химического элемента называется отношение массы атома этого элемента к 1/12 массы атома С¹².

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Молекулярной массой (M_r) вещества называется отношение массы молекулы этого вещества к 1/12 массы атома С¹².

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Единица массы, равная 1/12 массы атома С¹², называется атомной единицей массы (а.е.м.).

Тогда, масса атома, выраженная в кг, будет равна A_r×m_ед., а масса молекулы M_r×m_ед., где m_ед. – атомная единица массы, выраженная в кг.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Количество вещества, в котором содержится число частиц (атомов или молекул), равное числу атомов в 0,012кг изотопа углерода С₁₂, называется молем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число частиц, содержащееся в моле (или в киломоле) вещества, называется числом Авогадро.

N_A=6,023×10²³моль^-1=6,023×10²⁶кмоль^-1.

Итак, в 1 моле меди (Cu) содержится N_A атомов Cu; в 1 моле азота содержится N_A атомов азота и т.д.

Масса моля называется молярной массой М.

Молярная масса   . (*)

Для углерода С¹²: ‑ М=12кг/кмоль, масса атома рана 12·m_ед.. Тогда из (*) следует:

12кг/кмоль=N_A(кмоль^-1)×12×m_ед.(кг).

Отсюда

 .

Зная число Авогадро, получаем:   .

Таким образом, масса любого атома равна 1,66×10^-27×A_r, (кг), а масса любой молекулы: 1,66×10^-27×M_r, (кг).

Так как произведение N_A×m_ед. численно рано “1”, то масса киломоля M численно рана относительной молекулярной массе M_r. (При этом M_r – безразмерная величина, [M] = [кг/кмоль]).

Или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Количество вещества, масса которого, выраженная в кг, численно равна его молекулярному весу, называется кмолем.

Проведем теперь оценку размеров молекул.

Предположив, что в жидкостях молекулы располагаются достаточно близко друг к другу, приближенную оценку объема одной молекулы получим, разделив объем киломоля жидкости, например, воды на число молекул в киломоле N_A. Киломоль (т.е., 18 кг) воды занимает объем 0,018м³. Следовательно, на долю одной молекулы приходится объем равный   . Отсюда линейные размеры молекул воды приблизительно равны   .

У молекул других веществ размеры молекул того же порядка.

2. Молекулы, образующие тело, находятся в состоянии непрерывного беспорядочного (хаотичного) движения.

При этом молекулы, сталкиваясь друг с другом, изменяют свою скорость как по величине, так и по направлению. Правда, столкновения в обычном смысле этого слова не происходит, т.к. соприкосновению молекул препятствуют резко возрастающие при сближении силы отталкивания. Однако действие этих сил приводит к такому же результату, как и обычное столкновение, т.е. к отскакиванию сблизившихся молекул друг от друга.

Скорость движения молекул в теле связана с его температурой, чем больше скорость, тем выше температура тела.

Непрерывное хаотическое движение молекул наглядно обнаруживается в явлениях диффузии и броуновского движения.

3. Между молекулами вещества одновременно действуют силы взаимного притяжения (сцепления) и силы взаимного отталкивания (иначе говоря, силы взаимодействия).

Согласно экспериментальным и теоретическим исследованиям межмолекулярные силы взаимодействия “f” обратно пропорциональны n-ой степени расстояния r между ними, т.е.   .

Для сил притяжения – n=7;

Для сил отталкивания – n=9…15.

Только при таком соотношении между f_прит. и f_{отталк.} молекулы могут находиться в устойчивом равновесии на некотором расстоянии друг от друга.

Примерный характер потенциальной энергии взаимодействия молекул в зависимости от расстояния между ними показан на рисунке. Равновесное расстояние r₀между молекулами составляет около 3×10^-8см (на этом расстоянии F = 0). На расстоянии r ≥ 1,5×10^‑7см межмолекулярные силы практически перестают действовать (F®0), т.е. силы межмолекулярного взаимодействия проявляются на расстояниях такого же порядка, что и размер самих молекул.

 (Силы межмолекулярного взаимодействия на больших расстояниях имеют электрическую природу, обусловленную тем, что молекулы состоят из электрически заряженных частиц и молекулы либо изначально полярны, в силу несимметричности расположения зарядов, либо, имея нулевой средний по времени дипольный момент, обладают ненулевым мгновенным дипольным моментом, в силу непрерывного движения составляющих их заряженных частиц).

--------- « » ---------

Для того чтобы исследовать структуру вещества и происходящие в нем процессы используют 2 (два) метода (подхода):

Молекулярно-кинетическая теория ставит целью истолковать те свойства тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте, например давление, температуру и другие параметры, как суммарный результат действия молекул. Для этого она пользуется статистическим методом, т.е. вычисляет средние величины, которые характеризуют движение огромной совокупности частиц.

Другим методом изучения различных свойств вещества является термодинамический метод, который в отличие от статистического не интересуется микроскопической картиной. В основе термодинамического метода лежат несколько фундаментальных законов, установленных на основании огромного числа опытных фактов, например, законы сохранения и перехода энергии. В отличие от молекулярно-кинетической теории термодинамика изучает макроскопические свойства тел и явлений природы, не интересуясь их микроскопической картиной.

В основе термодинамики лежат несколько фундаментальных законов (называемых началами термодинамики), установленных на основании обобщения большой совокупности опытных данных. В силу этого выводы термодинамики имеют весьма общий характер.

1 начало – закон сохранения и превращения энергии в тепловых процессах.

2 начало – указывает направление протекания тепловых процессов.

3 начало – заключается в том, что абсолютный нуль температуры недостижим.

Термодинамический метод позволяет, не делая никаких предположений о молекулярном строении вещества, получить основные закономерности для тепловых процессов, установить связь между ними.

Статистический и термодинамический методы дополняют друг друга, образуя единое целое.

Для описания поведения термодинамических систем (газы, жидкости и т.д.) пользуются следующими величинами: давлением p , объемом V и абсолютной температурой T , которые называют термодинамическими параметрами. Первые два параметра достаточно хорошо известны, поэтому рассмотрим подробнее температуру.

http://poznayka.org/s70172t1.html

Термодинамическая система. Параметры состояния системы. Равновесное и неравновесное состояние.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Термодинамической системой называется совокупность тел, обменивающихся энергией, как друг с другом, так и с окружающими телами.

Примером системы может служить жидкость и находящийся в равновесии с ней пар. Система может состоять и из одного тела: жидкость, газ, твердое тело.

Всякая система может находиться в различных состояниях, отличающихся температурой, давлением, объемом и т.д.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Совокупность физических величин, однозначно определяющих состояние системы, называется параметрами системы.

Не всегда какой-либо параметр имеет определенное значение. Если, например, температура в разных точках тела неодинакова, то телу нельзя приписать определенное значение параметра “T”. В этом случае состояние называется неравновесным. Если такое тело изолировать от других тел и предоставить самому себе, то температура выровняется и примет одинаковое для всех точек значение “T” – тело перейдет в равновесное состояние. Это значение температуры не изменится до тех пор, пока тело не будет выведено из равновесного состояния воздействием извне.

То же самое может иметь место и для других параметров системы, например для давления “p”.

А что же будем называть равновесным состоянием?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Равновесным состоянием системы будем называть такое состояние, при котором все параметры системы имеют определенные значения, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколь угодно долго.

Если по координатным осям откладывать значения каких-либо 2^х параметров, то любое равновесное состояние может быть изображено точкой на этом графике (например, точкой 1). Неравновесное состояние не может быть изображено таким способом, т.к. в неравновесном состоянии хотя бы один из параметров не имеет определенного значения.

Процесс перехода системы из неравновесного состояния в равновесное называется процессом релаксации. Время, затрачиваемое на такой переход, называют временем релаксации. В качестве времени релаксации принимается время, за которое первоначальное отклонение какой-либо величины от равновесного значения уменьшается в “e” раз. Для каждого параметра имеется свое время релаксации. Наибольшее из этих времен играет роль времени релаксации системы.

Всякий процесс, т.е. переход системы из одного состояния в другое связан с нарушением равновесия системы. Следовательно, при протекании в системе какого-либо процесса она проходит через последовательность неравновесных состояний. В предельном случае бесконечно медленный процесс будет состоять из последовательности равновесных состояний.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Процесс, состоящий из последовательности равновесных состояний, будет называться равновесным (равновесный процесс – абстракция).

Равновесный процесс может быть изображен на графике соответствующей сплошной кривой. Неравновесные процессы будем условно изображать пунктирными линиями.

Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении, причем система будет проходить через те же состояния, что и при прямом ходе, но в обратной последовательности. Поэтому равновесные процессы также называются обратимыми.

Понятия равновесного состояния и обратимого процесса играют большую роль в термодинамике. Все количественные выводы термодинамики строго применимы только к равновесным состояниям и обратимым процессам.

http://poznayka.org/s70173t1.html

Идеальный газ. Параметры состояния идеального газа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Идеальным газом называется газ, при рассмотрении свойств которого соблюдаются следующие условия: а) соударения молекул такого газа происходят как соударения упругих шаров, размеры которых пренебрежимо малы; б) от столкновения до столкновения молекулы движутся равномерно и прямолинейно; в) пренебрегают силами взаимодействия между молекулами.

Реальные газы при комнатной температуре и нормальном давлении ведут себя как идеальные газы. Идеальными газами можно считать такие газы как гелий, водород, свойства которых уже при обычных условиях отвечают закономерностям идеального газа.

Состояние некоторой массы идеального газа будет определяться значениями трех параметров: P, V, T. Эти величины, характеризующие состояние газа, называются параметрами состояния. Эти параметры закономерно связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение другого. Эта связь аналитически может быть задана в виде функции:

Соотношение, дающее связь между параметрами какого-либо тела, называется уравнением состояния. Следовательно, данное соотношение является уравнением состояния идеального газа.

Рассмотрим некоторые из параметров состояния, характеризующих состояние газа:

1) Давление (P). В газе давление возникает в результате хаотического движения молекул, в результате которого молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. В результате удара молекул о стенку сосуда со стороны молекул на стенку будет действовать некоторая средняя сила dF. Предположим, что площадь поверхности dS, тогда   . Следовательно:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (механистическое): Давление – это физическая величина, численно равная силе, действующей на единицу площади поверхности, нормальную к ней.

Если сила равномерно распределена по поверхности, то   . В системе СИ давление измеряется в 1Па=1Н/м².

2) Температура (Т).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (предварительное): Температура тела – это термодинамическая величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия макроскопической системы.

Температура одинакова для всех частей изолированной системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Т.е., если соприкасающиеся тела находятся в состоянии теплового равновесия, т.е. не обмениваются энергией путем теплопередачи, то этим телам приписывается одинаковая температура. Если при установлении теплового контакта между телами одно из них передает энергию другому посредством теплопередачи, то первому телу приписывается большая температура, чем второму.

Любое из свойств тела (температурный признак), зависящее от температуры может быть использовано для количественного определения (измерения) температуры.

Например: если в качестве температурного признака выбрать объем и считать, что с температурой объем изменяется линейно, то выбрав за “0” температуру таяния льда, а за 100° – температуру кипения воды, получим температурную шкалу, называемую шкалой Цельсия. Согласно которой состоянию, в котором термодинамическое тело имеет объем V, следует приписывать температуру:

Для однозначного определения температурной шкалы необходимо условиться, кроме способа градуировки, также о выборе термометрического тела (т.е. тела, которое выбирается для измерения) и температурного признака.

Известны две температурные шкалы:

1) t – эмпирическая или практическая шкала температур (°C). (О выборе термометрического тела и температурного признака для этой шкалы скажем позже).

2) T – термодинамическая или абсолютная шкала (°K). Эта шкала не зависит от свойств термодинамического тела (но об этом речь пойдет позже).

Температура T, отсчитанная по абсолютной шкале, связана с температурой t по практической шкале соотношением

T = t + 273,15.

Единицу абсолютной температуры называют Кельвином. Температуру по практической шкале измеряют в град. Цельсия (°C). Значения град. Кельвина и град. Цельсия одинаковы. Температура равная 0°K называется абсолютным нулем, ему соответствует t=-273,15°C

Газовые законы.

Если разрешить уравнение состояния идеального газа

относительно какого-либо из параметров, например, p, то уравнение состояния примет вид

 .

И известные из школьного курса физики законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака дают уравнения состояния для случаев, когда один параметров остается постоянным.

Известные газовые законы (Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Дальтона, Авогадро) были открыты опытным путем задолго до появления молекулярно-кинетической теории. Эти законы были установлены на опытах с газами, находящимися в условиях, не очень сильно отличающихся от нормальных атмосферных условий, т.е. при не очень низких температурах и не очень высоких давлениях. При иных условиях экспериментальные газовые законы уже не точно отражают свойства газов, т.е. все эти законы являются приближенными.

Рассмотрим некоторые из этих законов:

1) Закон Бойля-Мариотта (m = const, T = const).

Изучая изотермические процессы, английский ученый Бойль (1662г.) и французский ученый Мариотт (1667г.) независимо друг от друга установили следующий закон:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Для данной массы газа при постоянной температуре (T = const) давление газа изменяется обратно пропорционально объему.

 Аналитически это можно записать в виде: P·V = const (T = const). Совокупность состояний, отвечающих одной и той же температуре, изобразится на диаграмме (P, V) кривой, определяемой уравнением гиперболы. Каждому значению температуры соответствует своя кривая, называемая изотермой. А переход газа из одного состояния в другой, совершающийся при постоянной температуре, называется изотермическим процессом.

2) Закон Гей-Люссака (m = const, P = const).

Изучая изобарические газовые процессы, французский физик Гей-Люссак в 1802г. установил следующий закон:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Для данной массы газа при постоянном давлении объем газа меняется линейно с ростом температуры:  , где V – объем газа при температуре t°; V₀ – объем газа при 0°C; a – термический коэффициент объемного расширения (   ).

 Термический коэффициент объемного расширения показывает, на какую часть относительно первоначального объема изменится объем газа при его нагреве на 1°. Для большинства газов   .

Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарическим. Для газа такой процесс отобразится на диаграмме (V, t°) прямой; здесь различные прямые отвечают разным давлениям и называются изобарами.

3) Закон Шарля (m = const, V = const).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Для данной массы газа при постоянном объеме давление газа изменяется линейно с ростом температуры:  , где P – давление газа при температуре t°; P₀ – давление газа при 0°C; g – термический коэффициент давления газа (   ).

Аналогично сказанному ранее относительно коэффициента “a”, термический коэффициент давления газа показывает, на какую часть относительно первоначального давления изменится давление газа при его нагревании на 1°С.

 Для идеального газа также   . Для идеального газа   .

Изохорический процесс, т.е. процесс, протекающий при постоянном объеме на диаграмме (P, t°) изобразится прямой линией. Различные прямые соответствую различным объемам и называются изохорами.

Заметим теперь, что все изобары и изохоры пересекают ось t° в одной и той же точке, определяемой из условия 1+a×t°=0. Откуда   .

Если за начало отсчета температуры взять нуль (как это и было), то получим шкалу температур по Цельсию. Если сместить начало отсчета в точку -273.15, то перейдем к другой температурной шкале, которая называется абсолютной (или шкалой Кельвина).

В соответствии с определением абсолютной шкалы между абсолютной температурой (Т) и температурой по Цельсию (t) существует следующее соотношение:

 . (9.1)

Температура равная 0°К называется абсолютным нулем.

Для установления абсолютной шкалы температур и абсолютного нуля мы воспользовались законами Гей-Люссака и Шарля и поступили сугубо формально. Однако Кельвин в 1852г., исходя из иных физических соображений установил такую же абсолютную шкалу температур с тем же значением абсолютного нуля, какие ранее были получены формально. Поэтому понятия абсолютной температуры и абсолютного нуля не следует рассматривать как формальные, не имеющие физического смысла. Кельвин показал, что абсолютный нуль – это самая низкая из возможных температур вещества. При абсолютном нуле прекращается хаотическое движение молекул в веществе. Однако это не означает, что в нем прекращается всякое движение. Сохраняется, например, движение электронов в атоме. В настоящее время удается охлаждать малые объемы вещества до температуры очень близкой к абсолютному нулю, не достигая последнего лишь на несколько тысячных долей градуса.

Перейдем теперь в уравнениях, описывающих законы Гей-Люссака и Шарля от температуры по Цельсию к абсолютной температуре, подставив вместо t величину   .

Тогда

 . (9.2)

и аналогично

 (при условии g=a).

Из этих уравнений следует, что

	(P = const)	(9.3)
	(V = const)	(9.4)

где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной и той же изобаре (для уравнения (9.3)), или одной и той же изохоре (для уравнения (9.4)).

Итак, при постоянном давлении объем газа пропорционален абсолютной температуре; и при постоянном объеме давление газа пропорционально абсолютной температуре.

Всякий реальный газ тем точнее следует уравнениям PV = const,   ,   , чем меньше его плотность, т.е., чем больший объем он занимает.

В соответствии с уравнением PV = const, объем растет с уменьшением давления, а согласно с   объем возрастает с температурой. Следовательно, рассмотренные газовые законы справедливы при не слишком низких температурах и невысоких давлениях.

Газ, который точно следует этим уравнениям, называется идеальным. Всякий реальный газ по мере убывания его плотности приближается к идеальному.

Замечание:

1. Закон Дальтона.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Парциальным давлением газа, входящего в газовую смесь, называется то давление, которое имел бы этот газ, если бы все остальные газы были удалены из объема.

В 1801гю английский физик и химик Дальтон установил соотношение между давлением газовой смеси и парциальными давлениями входящих в нее газов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов.

P=P₁+P₂+P₃+…

Закон Авогадро.

На основании опытов с различными газами итальянский ученый Авогадро в 1811г. установил следующий закон:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: При одинаковых температуре и давлении киломоли любых газов занимают одинаковые объемы. При нормальных условиях (t=0°C, P=1атм) объем киломоля любого газа составляет 22,4м³/кмоль.

http://poznayka.org/s70174t1.html

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева - Клапейрона).

До этого рассматривались газовые процессы, при которых один из параметров состояния газа оставался неизменным, а два других изменялись. Теперь рассмотрим общий случай, когда изменяются все три параметра состояния газа и получим уравнение, связывающее все эти параметры. Закон, описывающий такого рода процессы, был установлен в 1834г. Клапейроном (французский физик, с 183г. работал в Петербургском институте путей сообщения) путем объединения рассмотренных выше законов.

Пусть имеется некоторый газ массой “m”. На диаграмме (P, V) рассмотрим два его произвольных состояния, определяемых значениями параметров P₁, V₁, T₁ и P₂, V₂, T₂. Из состояния 1 в состояние 2 будем переводить газ двумя процессами:

1. изотермического расширения (1®1¢);

2. изохорического охлаждения (1¢®2).

Первый этап процесса описывается законом Бойля-Мариотта, поэтому

 . (9.5)

Второй этап процесса описывается законом Гей-Люссака:

 . (9.6)

Исключая из этих уравнений   , получим:

 . (9.7)

Поскольку состояния 1 и 2 были взяты совершенно произвольно, то можно утверждать, что для любого состояния:

– уравнение Клапейрона

где С – постоянная для данной массы газа величина.

Недостатком этого уравнения является то, что величина “C” различна для различных газов, Для устранения этого недостатка Менделеев в 1875г. несколько видоизменил закон Клапейрона, объединив его с законом Авогадро.

Запишем полученное уравнение для объема V_км. одного 1 киломоля газа, обозначив постоянную буквой “R”:

 .

Согласно закону Авогадро при одинаковых значениях P и T киломоли всех газов будут иметь одинаковые объемы V_км. и, следовательно, постоянная “R” будет одинакова для всех газов.

Постоянная “R”называется универсальной газовой постоянной. Полученное уравнение   связывает параметры киломоля идеального газа и, следовательно, представляет уравнение состояния идеального газа.

Значение постоянной “R” можно вычислить:

 .

От уравнения для 1кмоль легко перейти к уравнению для любой массы газа “m”, приняв во внимание, что при одинаковых давлениях и температуре “z” киломолей газа будут занимать в ”z” раз больший объем, чем 1 кмоль. (V=z×V_км.).

С другой стороны отношение   , где m – масса газа, m – масса 1 кмоля, будет определять число молей газа.

Умножим обе части уравнения Клапейрона на величину   , получим

 Þ   (9.7а)

Это и есть уравнение состояния идеального газа, записанное для любой массы газа.

Уравнению   можно придать другой вид. Для этого введем величину

 ,

где R – универсальная газовая постоянная;

N_A – число Авогадро;

k – постоянная Больцмана (далее будет показано, что “k” представляет коэффициент пропорциональности между средней энергией теплового движения молекулы и абсолютной температурой).

Подстановка числовых значений R и N_A дает следующее значение:

 .

Умножим и разделим правую часть уравнения   на N_A, тогда   , здесь   – число молекул в массе газа “m”.

С учетом этого

 (*)

Вводя величину   – число молекул в единице объема, приходим к формуле:

 (**)

Уравнения (*) и (**) представляют различные формы записи уравнения состояния идеального газа.

Отношение   , тогда плотность идеального газа можно получить из уравнения   .

 Þ   Þ   .

Таким образом, плотность идеального газа пропорциональна давлению и обратно пропорциональна температуре.

Простая связь между температурой и остальными параметрами идеального газа делает заманчивым его использование в качестве термометрического вещества. Обеспечив постоянство объема и использовав в качестве температурного признака давление газа, можно получить термометр с идеальной линейной температурной шкалой. Эту шкалу будем называть идеальной газовой шкалой температур.

Практически, по международному соглашению, в качестве термометрического тела берут водород. Установленная по водороду с использованием уравнения состояния идеального газа шкала называется эмпирической шкалой температур.

http://poznayka.org/s70175t1.html

Физический смысл универсальной газовой постоянной.

Универсальная газовая постоянная имеет размерность работы, отнесенной к 1 молю и температуре 1°К.

 Выясним физический смысл постоянной “R”.

Пусть в цилиндре под поршнем находится 1 моль газа объема V. Газ под поршнем оказывает давление равное внешнему постоянному давлению, т.е. p = const. Пусть газ в цилиндре нагревается на 1°К. Расширяясь, он поднимает поршень на высоту “h”, совершив при том работу   , но давление на поршень   , поэтому   , здесь   – приращение объема, т.е.   , поэтому работа расширения будет равна

(*)

С другой стороны до нагревания уравнение состояния

(1)

после нагревания

(2)

Вычитая из (2) – (1), получим   . Сопоставляя со (*), имеем   .

Т.е.

универсальная газовая постоянная численно равна работе при изобарическом расширении 1 моля газа вследствие его нагревания на 1°К.

ЗАПОМНИТЬ

ЗАМЕЧАНИЕ: Уравнение Клапейрона – Менделеева справедливо и для смеси газов. Пусть имеем смесь газов:

Массы газов –	m1, m2, m3, …, mn
молярные массы газов –	m1, m2, m3, …, mn

Введем величины:   ;   и т.д. Причем   .

Уравнение Менделеева - Клапейрона для смеси газов запишется в виде:

 .

Для того, чтобы упростить это выражение для смеси газов вводят понятие эффективного молекулярного веса смеси газов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Эффективным молекулярным весом называется вес такого газа, который при одинаковых параметрах со смесью газов имеет ту же массу, что и смесь газов.

 ;   ;

 .

http://poznayka.org/s70176t1.html

Основное уравнение кинетической теории газов

Если в предыдущем разделе применялся термодинамический метод исследования, то в этом разделе будет использован статистический метод исследования молекулярных процессов. На основании исследования совокупного действия молекул будут получены такие термодинамические параметры, как давление и температура.

Для расчетов воспользуемся моделью идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории:

1. молекулы газа непрерывно и хаотично движутся;

2. молекулы взаимодействуют только во время удара;

3. удары молекул абсолютно упругие;

4. размеры молекул малы по сравнению с расстоянием между ними.

 Пусть в сосуде кубической формы объемом V = l ³ , где l - длина ребра (рис. 9.2), число молекул в единице объема равно n_o . Молекулы движутся хаотично и, соударяясь со стенкой площадью S = l ²,оказывают на нее давление. Результаты расчета давления на стенку не изменятся, если хаотическое движение молекул заменить направленным движением их вдоль осей x, y, z . Тогда со стенкой S будет соударяться третья часть от всех молекул, равная

 (9.8)

При каждом соударении со стенкой молекула передает ей импульс, равный mv₁ - (-mv₁) = 2mv₁ , где m - масса молекулы, v₁ -ее скорость. За время Dt молекула пройдет путь v₁Dt, соударится со стенкой число раз, равное v₁Dt/2l, и передаст стенке импульс DP₁ = mv₁²Dt/l. Просуммируем импульс, переданный стенке всеми n молекулами: DP =(mDt/l)(v₁² + v₂² + ...+ v_n²). В данном выражении находится сумма квадратов скоростей. Статистическое усреднение будет заключаться в том, что мы введем новую среднюю величину - среднеквадратичную скорость - по формуле v_кв²= (v₁² + v₂² + ...+ v_n²)/n . Следует заметить, что v_кв приблизительно на 10% больше, чем средняя скорость молекулы, которая определяется по формуле: v_ср = (v₁ + v₂ + ... + v_n)/n. Используя выражение для v_кв² , получим DP= mv_кв²Dtn/l . По второму закону Ньютона на стенку будет действовать сила F = DP/Dt = mv_кв²n/l. Давление газа на стенку найдем по формуле p = F/S = F/l ² или p = mv_кв²n/l³ . Используя формулу (9.8), получим окончательно

 (9.9)

Мы получили основное уравнение кинетической теории газов, которое связывает макроскопический параметр - давление газа - с микроскопическими параметрами молекул. Величина n_o(mv_кв²/2) есть кинетическая энергия молекул, заключенная в единице объема. Отсюда следует, что давление есть мера плотности кинетической энергии молекул.

Сравнивая формулы (9.9) и (9.7), получим выражение для средней кинетической энергии молекулы

 (9.10)

Итак, мы пришли к важному выводу: кинетическая энергия молекул зависит только от абсолютной температуры. Отсюда следует физический смысл температуры: абсолютная температура есть мера средней энергии поступательного движения молекул.Из формулы (9.10) можно найти среднеквадратичную скорость движения молекул: v_кв² = 3kT/m = 3RT/m . Для кислорода при комнатной температуре v_кв » 480 м/с и сравнима со скоростью пули.

http://poznayka.org/s70177t1.html

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Давно известно, что давление газа над поверхностью Земли уменьшается с высотой. Атмосферное давление на некоторой высоте h обусловлено весом вышележащих слоев воздуха. Пусть на высоте hдавление равно p . Тогда на высоте h + dh давление будет равно p + dp (рис.9.3). Разность давлений dp = dF/S , где dF = rSdhg вес столба воздуха в объеме Sdh , S - площадь основания цилиндра, r - плотность воздуха, g - ускорение земного притяжения. Отсюда получим

dp = -r·g·dh. (9.11)

Знак минус показывает, что давление убывает с высотой. В этом выражении кроме p и h есть еще одна переменная r = m·n , где m - масса одной молекулы, n - число молекул в единице объема. Подставляя сюда выражение для n из формулы (9.7), получим r = mp/(kT) . Подставляя это выражение в формулу (9.11), получим

dp/p = - mgdh /(kT). (9.12)

Получили дифференциальное уравнение для p как функции от h . Положим T = const . Суммируя все dp/p в пределах от p_o до p , при соответствующем суммировании правой части, когда высота изменяется от 0 до h , приходим к определенным интегралам:

 = - 

После интегрирования получим ln(p/p_o) = - mgh/(kT) . Потенцируя, получим

p = p_oexp[-mgh/(kT)] . (9.13)

Эта формула характеризует зависимость давления от высоты, и поэтому называется барометрической. Приборы, принцип действия которых основан на этой формуле, позволяют измерять высоту по давлению, которое существует на данной высоте. Эти приборы называются альтиметрами. Их применяют, например, в авиации.

В показатель экспоненты (9.13) входит масса молекулы. Следовательно, концентрация более тяжелых молекул будет с высотой убывать быстрее. Поэтому на больших высотах уменьшается процентное содержание кислорода по сравнению с азотом. Летчики, летающие на очень больших высотах, часто пользуются кислородными масками. Спад концентрации молекул с высотой зависит также от g (от массы планеты). Чем меньше g , тем дальше от планеты уходит газ и в конце концов ее покидает, Поэтому на малых планетах, например на Луне, атмосферы нет. На планетах с большим g, например, на Юпитере, где температура атмосферы близка к абсолютному нулю, молекулы атмосферы расположены практически слоем, напоминающим земной океан.

Барометрическая формула является частным случаем распределения Больцмана. Согласно формуле (9.7) давление пропорционально концентрации молекул n . Поэтому формулу (9.13) можно представить в следующем виде

n = n_oexp[-mgh /(kT)], (9.14)

где n_o - число молекул в единице объема при h = 0 . На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии E_п = mgh . Вводя E_п в формулу (9.14), получим

n = n_oexp[-Eп /(kT)]. (9.15)

Больцман показал, что распределение (9.15) справедливо не только в поле земного тяготения, но и в любом потенциальном поле любых сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в тепловом движении. В соответствии с этим распределение (9.15) называют распределением Больцмана (по имени выдающегося австрийского физика, получившего его в 1896 г.). Центробежное потенциальное поле сил, намного превышающих силы земного притяжения, возникает в центрифугах. Распределение (9.15) позволяет рассчитать распределение частиц в этом поле и затем провести оптимально разделение по слоям изотопов различных элементов, мельчайших шлиф-порошков и т.д.

http://poznayka.org/s70178t1.html

Максвелловское распределение молекул по скоростям

В результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение приводит к хаотичному распределению молекул по скоростям. Это распределение можно получить, обобщив закон Больцмана. Пусть в элементе объема DxDyDz находится число молекул DN = nDxDyDz , где n - число молекул в единице объема. Подставляя n из формулы (9.15), получим DN = n_oexp[-E_п /(kT)]DxDyDz . Как доказывается в статистической физике, распределение Больцмана можно обобщить, построив подобно обычному пространству дополнительное пространство скоростей молекул и рассмотрев его элемент Dv_x Dv_y Dv_z . Получим

DN = A exp[-E /(kT)]DxDyDzDv_xDv_yDv_z, (9.16)

где E = mv²/2 + mgh - полная энергия молекулы; A - постоянная величина; DN - число молекул, находящихся в объеме DxDyDz, скорости которых попадают в интервал Dv_xDv_yDv_z. Считая, что в малом объеме DxDyDz энергия mgh постоянна и вводя Dn = DN/(DxDyDz) , запишем (9.16) в виде

Dn = B exp[-mv² /(2kT)] Dv_xDv_yDv_z, (9.17)

 где B - постоянная величина, Dn - число молекул в единице объема, скорости которых попадают в интервал скоростей Dv_x Dv_y Dv_z . Для нахождения интервала скоростей построим воображаемое пространство скоростей (v_x v_y v_z) и отложим там значения компонентов скоростей v_x , v_y , v_z отдельных молекул. Тогда каждой молекуле будет соответствовать точка в этом пространстве (рис.9.4). Расположение точек относительно начала координат вследствие равноправности всех направлений движения будет сферически симметричным. Выберем элемент объема скоростей лежащим между двумя сферическими поверхностями с радиусами v и (v+Dv), получим его равным 4pv²Dv. Тогда, подставляя 4pv²Dv вместо Dv_xDv_yDv_z, запишем (9.17) в виде

Dn = B exp[-m v² /(2kT)] 4p v² Dv. (9.18)

Максвелл ввел специальную функцию распределения молекул по скоростям f(v) = Dn/(nDv), которая показывает, какое относительное число молекул имеет скорости в интервале от v до v + Dv . Легко видеть, что å f(v)Dv_i » å Dn_i /n= 1. Переходя к пределу, получим

 (9.19)

Данное выражение называют условием нормировки функции распределения. С учетом (9.18) функцию распределения можно записать в виде   где С - постоянная величина. Введем величину

u² = mv²/(2kT), (9.20)

и запишем функцию распределения в виде

f(v) = C exp(-u²) u². (9.21)

 Приравняв производную от выражения (9.21) по u нулю, получим экстремальные значения u , равные u = 0, u = 1, u =  . Зависимость f(v) от v для различных температур T₁ и T₂ показана на рис. 9.5. Кривая имеет максимум, соответствующий величине u = 1. Скорость, соответствующая максимуму кривой, называется наиболее вероятнойи обозначается символом v_нв. По определению f(v) показывает, какая часть молекул имеет скорости в единичном интервале скоростей (Dv = 1). Если взять скорость молекулы в какой-либо момент времени, то наиболее вероятным значением скорости будет v_нв , так как функция f(v) для этого значения скорости имеет максимальное значение. Приравняв выражение (9.20) единице, получим mv_нв²/(2kT) = 1 или

 . (9.22)

Отсюда видим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает. Кривая 2 на рис.9.5, соответствующая более высокой температуре, смещена вправо по сравнению с кривой 1. Это означает, что с повышением температуры скорости всех молекул возрастают, но характер распределения остается. Площадь, ограниченная каждой из кривых, в соответствии с условием (9.19) равна единице. Из анализа кривых на рис.9.5 видно, что относительное число молекул, скорости которых малы, невелико. Относительное число молекул, скорости которых намного больше v_нв, мало. Однако всегда существует небольшое число молекул с очень большими скоростями движения. Исходя из этого, легко понять сущность процесса испарения, при котором наиболее быстрые (“горячие”) молекулы покидают жидкость, и из-за этого в целом температура ее при испарении понижается.

Постоянную C в выражении (9.21) определяют, используя условие нормировки (9.19). Подставляя формулу (9.21) в выражение (9.19), получим C = 4/(   v_нв) .

С помощью Максвелловского распределения молекул по скоростям можно рассчитать среднюю скорость молекул по формуле v_ср =   . Подставляя сюда (9.21), получим v_ср =   v_нв или с учетом (9.22)

v_ср =   . (9.23)

Аналогично рассчитывается средняя квадратичная скорость:

v_кв² =   = 3kT/m .

Видим, что наибольшее значение имеет средняя квадратичная скорость молекул. Примерно на 10% меньше, чем v_кв, средняя скорость и на 20% меньше, чем v_кв, наиболее вероятная скорость.

http://poznayka.org/s70179t1.html

Явления переноса. Длина свободного пробега молекул

В предыдущих разделах мы рассматривали свойства тел, находящихся в тепловом равновесии. Данный раздел посвящен процессам, с помощью которых происходит установление состояния равновесия. Такие процессы называют кинетическими. Эти процессы являются необратимыми, к ним относятся явления диффузии, вязкости и теплопроводности.

Большое значение при анализе этих процессов имеет свободный пробег молекул. Среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными соударениями, называют средней длиной свободного пробега молекул или просто длиной свободного пробега, которую обозначают сим волом l. При соударении молекулы сближаются. Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при соударении, называется эффективным диаметром молекулы d. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости молекул v_ср. Если за секунду молекула претерпевает n соударений, то длина свободного пробега

l = v_ср /n. (9.24)

 Для расчета числа соударений предположим вначале, что все молекулы покоятся, а одна движется и соударяется с ними (рис.9.6) . Молекула будет сталкиваться с другими молекулами, если их центры будут лежать внутри ломаного цилиндра, имеющего диаметр, равный d. За секунду молекула проходит путь, равный v_ср., и объем ломаного цилиндра, пройденного молекулой, равен pd²v_ср. Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, получим среднее число соударений молекулы за секунду: p  v_срn . Так как остальные молекулы также движутся, то, как показывают расчеты, соударения происходят в   раз чаще. Следовательно, истинное среднее число соударений молекулы за секунду

n =   p   v_срn. (9.25)

Подставив это значение n в (9.24), получим для средней длины свободного пробега молекул следующую формулу:

l = 1/(   p   n). (9.26)

При постоянной температуре n пропорционально давлению. Следовательно, средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна давлению. При нормальных условиях расчет по формуле (10.26) для молекул воздуха дает l = 2   10^-7 м. Длина свободного пробега получается в 1000 раз больше эффективного диаметра d = 2   10^-10 м. С уменьшением давления длина свободного пробега растет и может стать сравнимой с размерами сосуда и больше их. Такое состояние газа называют вакуумом.

Явление диффузии

Диффузией называют процесс взаимного проникновения молекул соприкасающихся веществ, обусловленный тепловым движением. Этот процесс наблюдается в газах, жидкостях и твердых телах. Например, распространение запаха в неподвижном воздухе можно объяснить явлением диффузии.

Для описания процесса диффузии необходимо ввести понятие парциальной плотности вещества r_i, которая равна массе i-того диффундирующего вещества, находящейся в единице объема смеси. Пусть диффузия происходит в направлении оси z и является стационарной, т.е. величина r_i в точках среды остается постоянной с течением времени. Закон диффузии экспериментально установил ученый Фик: масса вещества DM, проходящая за время Dt через площадку S, перпендикулярную к направлению диффузии, равна

DM = -D   SDt, (9.27)

где dr_i - изменение парциальной плотности вещества вдоль расстояния dz; знак минус показывает, что диффузия направлена в сторону убывания r_i; D - коэффициент диффузии. Величину dr_i /dz называют градиентом парциальной плотности (понятие градиента подробно рассмотрено в подразд.3.5). Этот градиент показывает скорость уменьшения парциальной плотности вещества вдоль направления диффузии. Если численно положить dr_i /dz = -1 , S = 1 , Dt = 1 , то получим из (9.27) DM = D . Отсюда следует физический смысл D : коэффициент диффузии численно равен массе вещества, перенесенной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению диффузии, если модуль градиента парциальной плотности равен единице. Размерность коэффициента диффузии [ D] = м²с^-1.

Рассмотрим вывод этого закона для газов, исходя из молекулярно-кинетических представлений. Для упрощения расчетов будем считать, что молекулы обеих компонент смеси газов имеют практически одинаковые массы и размеры. Результат оценочного расчета не изменится, если хаотичное движение молекул заменить их упорядоченным движением вдоль осей x , y и z . Тогда через площадку S в направлении оси z за время Dt пролетит лишь 1/6 часть тех молекул, которые находятся в объеме V = Sv_срDt , где v_ср- средняя скорость молекул (рис.9.7). Число таких молекул равно n₁Sv_срDt/6 , где n₁ - число молекул диффундирующего газа в единице объема для слоя 1. Аналогично сверху вниз через площадку S из слоя 2 пролетит число молекул, равное n₂Sv_срDt/6 , где n₂ - число молекул диффундирующего газа в единице объема для слоя 2. Разность этих чисел даст число молекул, пролетевших через площадку S в направлении оси z:DN =(n₁ - n₂)Sv_срDt/6. Эти пролетевшие молекулы перенесут через площадку S массу вещества DM = mDN или DM = m(n₁ - n₂)Sv_срDt/6 , где m - масса молекулы. Подставляя парциальные плотности вещества r_i1 = mn₁ и r_i2 = mn₂ , получим

DM = (r_i1 - r_i2)Sv_срDt/6. (9.28)

Свободно пролетать площадку S могут лишь те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем среднюю длину свободного пробега молекул l. Следовательно, слои 1 и 2 должны находиться на расстоянии друг от друга, равном 2l ,и в согласии с определением градиента должно выполняться соотношение (r_i2- r_i1)/ 2l = dr_i /dz. Учитывая это равенство, преобразуем выражение (9.28) к виду

DM = - (1/3) v_срl(dr_i /dz)SDt. (9.29)

Мы получили закон диффузии, используя молекулярно-кинетические представления. Сравнивая равенства (10.29) и (10.27), получим теоретическое выражение для коэффициента диффузии

D = (1/3) v_срl. (9.30)

Так как l ~ 1/p , то D уменьшается при увеличении давления. Зависимость коэффициента диффузии от v_ср., а следовательно, и от массы молекул, позволяет использовать явление диффузии для разделения изотопов при многократном прохождении газа через пористые перегородки.

Поток паров от кипящей ртути, направленный вдоль специальной трубы, позволяет на ее концах создать разность давлений откачиваемого газа от 1 мм.рт.ст до 10^-7мм рт.ст., достаточную для получения высокого вакуума. Для откачиваемого газа только одна из 10²⁰ молекул способна пробиться через поток паров ртути за счет диффузии. Устройство, основанное на этом принципе получения вакуума, называют диффузионным насосом. Предварительную откачку газа до 1 мм рт.ст. производят другими насосами.

http://poznayka.org/s70180t1.html

Явление теплопроводности и вязкости

Явление теплопроводности вещества определяет многие очень важные технические процессы и широко применяется в разнообразных расчетах. Эмпирическое уравнение теплопроводности было получено французским ученым Фурье: количество тепла DQ , проходящее за время Dt через площадку S, перпендикулярную к направлению переноса тепла, равно

DQ = -c∙(dT/dz) S∙Dt, (9.31)

где dT/dz - градиент температуры, dT - изменение температуры на расстоянии dz вдоль направления потока тепла, c - коэффициент теплопроводности вещества. Градиент температуры показывает скорость изменения температуры вдоль потока тепла. Если численно положить (dT/dz)= - 1, S = 1, Dt = = 1, тосогласно (9.31) получим DQ = c . Отсюда следует физический смысл коэффициента c : коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, проходящего за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к потоку тепла, при градиенте температуры, равном единице.

Мы рассмотрели два явления переноса: диффузию и теплопроводность. В явлении диффузии наблюдается перенос молекул из одного места пространства в другое, вызванный тепловым движением. В явлении теплопроводности тепловое движение молекул переносит молекулы с большей кинетической энергией в места с меньшей энергией молекул. За счет этого происходит поток тепла.

Существует еще одно явление переноса, называемое явлением вязкости и связанное с переносом импульса, которым обладает слой частиц. Это явление было подробно рассмотрено в подразд. 5.3. Для газов вязкость объясняется тем, что при тепловом движении молекулы, перелетая из слоя в слой, переносят импульс слоя. Попадая в слой, движущийся с большей скоростью из более медленного слоя, молекулы замедляют его движение, и наоборот, попадая в слой, движущийся с меньшей скоростью из слоя с более высокой скоростью, молекулы ускоряют его движение. Возникает выравнивание скоростей слоев и, следовательно, сила вязкости. Уравнение вязкости определяется соотношением (5.8). Это уравнение и уравнение теплопроводности (9.31) можно получить, исходя из молекулярно-кинетических представлений. При этом, как и для явления диффузии, применительно к газам получаются следующие теоретические выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности:

h =   r v_срl и c =   r c_vv_срl, (9.32)

где r - плотность газа; c_v - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (будет рассмотрена в подразделе 10.4). Произведение rl не зависит от давления. Следовательно, из формул (9.32) следует, что коэффициенты h и c не зависят от давления, что подтверждается опытом.

Однако в области вакуума рассмотренный механизм явления не применим и c ~ p, с уменьшением давления коэффициент теплопроводности уменьшается. В термосах и сосудах Дьюара делают двойные зеркальные стенки и из пространства между ними откачивают воздух до глубокого вакуума. При этом разреженный воздух становится хорошим теплоизолятором.

ЛЕКЦИЯ 15

Термодинамика

Термодинамика изучает физические явления с точки зрения тех превращений энергии, которыми эти явления сопровождаются. Первоначально термодинамика возникла как наука о взаимном превращении теплоты в работу. Однако законы, лежащие в основе термодинамики, имеют настолько общий характер, что с большим успехом применяются для исследования различных физических и химических процессов. Термодинамика не вдается в рассмотрение микроскопической картины явлений. Она рассматривает явления, опираясь на основные законы, которые являются обобщением огромного количества опытных данных.

Основу термодинамики образуют ее начала. Первое начало устанавливает количественные соотношения, имеющие место при превращениях энергии из одних видов в другие. Второе начало определяет условия, при которых возможны эти превращения, т.е. определяет возможные направления процессов.

http://poznayka.org/s70181t1.html

Внутренняя энергия идеального газа

Важной величиной в термодинамике является внутренняя энергия тела. Любое тело кроме механической энергии может обладать запасом внутренней энергии, которая связана с механическим движением атомов или молекул, составляющих тело, а также с их взаимодействием. Для идеального газа его внутренняя энергия является энергией молекулярно-кинетического движения атомов или молекул этого газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы согласно равенству (10.10) зависит только от температуры и равна E = 3kT/2 . Скорость молекул связана со своими составляющими по осям x , y и z соотношением   . Умножая это равенство на m/2 , получим   . Из последнего равенства следует, что кинетическая энергия поступательного движения молекул складывается из трех независимых составляющих, связанных с осями координат. Поэтому говорят, что молекула имеет три степени свободы движения.

Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Для одноатомного газа, например гелия, каждый атом однозначно определяется заданием трех координат. Поэтому для одноатомного газа число степеней свободы i = 3 . Энергией вращательного движения одноатомная молекула практически не обладает, так как ее масса сосредоточена в ядре. В силу хаотичности движения атомов средние значения энергии, приходящиеся на каждую степень свободы движения, будут одинаковыми и равными третьей части от энергии поступательного движения, т.е. равными kT/2 . Полная средняя энергия поступательного движения молекулы может быть представлена в виде e_пост = i kT/2 .

Если молекула газа состоит из трех или более атомов, то при хаотических соударениях молекул энергия поступательного движения молекул будет переходить в энергию вращательного движения молекул и наоборот. В результате этого получается, что средние энергии поступательного и вращательного движения многоатомных молекул одинаковы. Вращение многоатомной молекулы может происходить относительно трех независимых осей и его можно описать с помощью трех угловых величин. Поэтому вращательное движение имеет также три степени свободы движения. Полное число степеней свободы движения молекул многоатомного газа i = i_пост + i_вр = 3 + 3 = 6 . Причем полную кинетическую энергию многоатомной молекулы можно записать в виде

e = i kT/2. (10.1)

Полученный результат Максвелл обобщил в принципе равного распределения энергии: в системе, состоящей из большого числа частиц, механическая энергия распределяется поровну между их степенями свободы движения.

 Эксперимент подтверждает этот принцип. Например, двухатомная молекула в среднем обладает энергией вращательного движения относительно лишь двух осей вращения y и z (рис.10.1), и поэтому обладает двумя степенями свободы вращательного движения. Общее число степеней свободы движения двухатомной молекулы i = i_пост+ i_вр= 3 + 2 = 5.

Для киломоля идеального газа, содержащего N_A число молекул, внутренняя энергия в соответствии с выражением (10.1) определяется соотношением U_m = N_A i kT/2или

U_m = i RT/2, (10.2)

где R - универсальная газовая постоянная. Выражение (10.2) показывает, что внутренняя энергия киломоля является функцией лишь от температуры газа. Для произвольной массы газа m получим U = i(m/m)RT/2 , где m - моль газа.

В реальном газе между молекулами действуют силы притяжения, которые при расширении газа будут совершать работу. Поэтому его внутренняя энергия будет зависеть не только от температуры, но и от объема. Для реального газа внутренняя энергия будет являться функцией только от температуры и объема: U = f(T,V) . Если реальный газ вернется в некоторое прежнее состояние, то его внутренняя энергия будет иметь прежнее значение.

http://poznayka.org/s70182t1.html

Внутренняя энергия газа (и другой термодинамической системы) может изменяться в основном за счет двух процессов: совершения над газом работы   и сообщением ему количества тепла Q . Так как состояние газа может одинаково изменяться от совершенной над ним работы   и сообщенного ему количества тепла Q , то работа и теплота являются эквивалентными формами передачи энергии. Теплота - это форма передачи энергии на уровне микроскопических процессов, когда, например, молекулы газа, соударяясь с разогретыми стенками (молекулами) сосуда, получают от них дополнительную кинетическую энергию. Работа над газом - это передача энергии в форме макропроцессов. Когда поршень, перемещаясь в некотором цилиндре, сжимает газ, то молекулам газа за счет движения поршня передается дополнительная энергия и газ нагревается.

 Исторически развитие термодинамики было связано с необходимостью теоретического объяснения работы теплового двигателя. При сжигании топлива выделялось определенное количество тепла, и некоторая часть его DQ (рис.10.2) передавалась рабочему телу (обычно газу). Газ нагревался, и его внутренняя энергия увеличивалась на величину DU. Расширяясь, газ совершал работу DA. Отсюда принято считать DQ > 0, когда термодинамическая система получает тепло, иDA > 0 , когда эта система совершает работу. Огромная совокупность опытных фактов с учетом законов сохранения показывала, что в термодинамической системе, в которой протекают тепловые и механические процессы, всегда должно выполняться равенство

DQ = DU + DA . (10.3)

Уравнение (10.3) представляет собой содержание первого начала(закона) термодинамики. Словами его можно выразить следующим образом: количество тепла DQ , сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы DU и на совершение системой работы DA над внешними телами.

Следует отметить, что в равенстве (10.3) величина U является функцией состояния и однозначно определяется термодинамическими параметрами состояния. Величины Q и A не есть функции состояния. Они зависят не только от начального и конечного состояния системы, но и от пути изменения ее состояния.

Из равенства (10.3) следует, что единицей измерения тепла служит джоуль.

http://poznayka.org/s70183t1.html

Работа газовых изопроцессов

Пусть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый плотно пригнанным и легко скользящим поршнем (рис.10.3). При расширении газ будет совершать работу DA = FDh , где F - сила, с которой газ действует на площадь поршня S; Dh - перемещение поршня при расширении газа. Приращение объема газа DV = SDh. Подставляя силу F = pS и DV в выражение для работы, получим DA = pDV . При расширении газа работа будет положительной, при сжатии - отрицательной. Если давление газа при совершении работы изменяется, то находят работу при каждом элементарном изменении объема

dA = pdV (10.4)

суммируют все элементарные работы для этого газового процесса. Полная работа

A =   , (10.5)

где V₁ - начальный объем газа, V₂ - его конечный объем. Применим формулу (10.5) для расчета работы изопроцессов.

1. Рассмотрим изохорический процесс. Для этого процесса объем газа V = const , dV = 0 и A = 0 . Газ не совершает работу. Первое начало термодинамики (10.3) будет иметь вид DQ = DU , т.е. все тепло, сообщенное газу, пойдет на его нагревание.

2. Рассмотрим изобарический процесс. Так как давление не изменяется, то его как постоянную величину можно вынести из под знака интеграла (10.5). Получим A = p(V₂ - V₁) или с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона pV = (m /m)RT , записанного для начального и конечного состояний, получим выражение для работы изобарического процесса

A = (m /m)R(T₂ - T₁). (10.6)

3. Рассмотрим изотермический процесс. Так как температура постоянна, то внутренняя энергия идеального газа не изменяется: DU = 0 . Первое начало термодинамики (10.3) будет иметь вид DQ = DA, т.е. все тепло, подведенное к системе, будет затрачено на совершение ею работы. Используя уравнение состояния идеального газа (10.6) и учтя, что T = const , запишем выражение (10.5) для работы изотермического процесса в виде

A =   = (m /m)RT   = (m /m)RT ln(V₂ /V₁). (10.7)

http://poznayka.org/s70184t1.html

Молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей

Теплоемкостью тела C называют физическую величину, численно равную количеству тепла, которое необходимо сообщить телу для нагревания его на один градус. Если сообщить телу количество тепла dQ , то температура тела повысится на dT градусов и его теплоемкость определится по формуле:

C = dQ/dT. (10.8)

Размерность теплоемкости равна [C ] = Дж/К .

Теплоемкость моля вещества называется молярной и обозначается символом C_m . Теплоемкость единицы массы называется удельной и обозначается c_удили c , причем легко видеть. что C_m = mc_уд. Теплоемкость произвольной массы m равна C = c_уд m . Отсюда следует, что достаточно знать теплоемкость моля, чтобы рассчитать теплоемкость тела произвольной массы.

Согласно первому началу термодинамики dQ = dU + dA . Отсюда следует, что количество тепла dQ , сообщенное телу при повышении его температуры на dT , будет затрачено не только от изменение внутренней энергии dU , но и на работу dA , которую газ при этом совершит. Так как процесс расширения газа на диаграмме p-V можно провести бесчисленным количеством способов, то теплоемкость газа может иметь такое же число значений. Для практических целей наиболее важными являются теплоемкость при постоянном давлении C_p и постоянном объеме С _v .

Рассчитаем теплоемкостьмоля газа при постоянном объеме C_vm . Первое начало термодинамики для изохорного процесса имеет вид dQ = dU_m. Выражение (10.8) запишем в виде

C_vm = dU_m /dT. (10.9)

Учитывая формулу (10.2), получим

C_vm = i R /2, (10.10)

где i - число степеней свободы движения молекул газа, R - универсальная газовая постоянная. Из выражения (10.10) следует, что теплоемкость C_vmмоля произвольного газа является постоянной величиной и зависит лишь от числа степеней свободы движения молекул. Следует однако заметить, что выражение (10.10) для воздуха не является справедливым при низких и высоких температурах (рис.10.4). При высоких температурах у молекул возбуждается колебательное движение и часть энергии теплового движения передается колебаниям атомов в молекуле. Число колебательных степеней свободы движения равно 2. При низких температурах, наоборот, наблюдается “замораживание” вращательных степеней свободы движения, объясняемое квантовой механикой. Поэтому зависимость теплоемкости от температуры имеет сложный вид.

 Рассмотрим теплоемкость при постоянном давлениидля моля газа. Согласно первому началу термодинамики

C_pm = dQ/dT = dU_m /dT + dA_m /dT, (10.11)

где dA_m = pdV_m- работа моля газа при изменении его объема на dV_m; p - давление газа. Учитывая, что pV_m = RT , получим dA_m = RdT. Если числен-но положить dT = 1 , то dA_m = R . Отсюда следует, что универсальная газовая постоянная численно равна работе изобарического расширения моля газа при его нагревании на один градус. С помощью формулы (10.9) и выражения для dA_mпредставим равенство (10.11) в виде

C_pm = C_vm + R, (10.12)

Выражение (10.12) называется формулой Майера. Величина g = C_p /C_v представляет собой характерную для каждого газа величину, часто применяющуюся при расчетах. Используя уравнения (10.10) и (10.12) , получим

g = (i + 2)/i. (10.13)

Отсюда для газа из одноатомных молекул (i = 3) получим g = 1,67; для двухтомного газа (i = 5) - g = 1,4; для трехатомного газа (i = 6) - g = 1,33 .

 http://poznayka.org/s70185t1.html

Адиабатический процесс

Наряду с изопроцессами существует адиабатический процесс, широко распространенный в природе. Адиабатическим процессом называют процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой. Это означает, что газ при адиабатическом процессе не получает извне тепла: dQ = 0. Первое начало термодинамики для моля газа будет иметь вид dU_m = - dA_m. С учетом выражений (10.4) и (10.9) запишем последнее равенство в виде

C_vm dT = -dA_m = - pdV_m . (10.14)

Если при адиабатическом процессе газ расширяется, то dA_m   0 , dT   0 , т.е. внутренняя энергия газа уменьшается, температура также уменьшается, газ при адиабатическом расширении охлаждается. При адиабатическом сжатии газа dA_m   0 , dT   0 , его температура увеличивается. Молекулярно-кинетическое объяснение этого явления дано выше.

Примером адиабатического процесса является распространение звуковых колебаний в воздухе. Сжатия и разряжения воздуха происходят так часто, что тепло не успевает переходить от слоев, имеющих большую температуру, к слоям с меньшей температурой. Следовательно, процессы, происходящие достаточно быстро, близки к адиабатическим.

Важное значение адиабатический процесс имеет в объяснении атмосферных явлений. Слои воздуха, поднимающиеся вверх, расширяются, так как атмосферное давление уменьшается с высотой. За счет расширения газ адиабатически охлаждается, поэтому с увеличением высоты температура газа уменьшается. Это объясняет и тот факт, что ветер, дующий с гор, всегда кажется теплым, так как воздух, перемещаясь, сжимается, а ветер, дующий с моря, кажется прохладным.

При адиабатическом процессе газ подчиняется уравнению Клапейрона pV_m = RT . Наличие дополнительного условия (10.14) позволяет уменьшить в этом уравнении число параметров состояния. Для этого выразим p из уравнения Клапейрона и подставим его в формулу (10.14): C_vm dT = - RTdV_m/V_m. Разделяя переменные, получим dT/T +RdV_m/(V_mC_vm)= 0 . Взяв неопределенный интеграл, получим lnT +(R/C_vm)lnV_m = const . В согласии с (10.10) и (10.13) получим (R/C_vm) = 2/i = g - 1 и с учетом последнего выражения lnT +(g - 1)lnV_m= const. Потенцируя это равенство, придем к уравнению

TV^g-1 = const, (10.15)

где индекс m опущен. Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты в переменных T и V . Чтобы от этого уравнения перейти к уравнению с переменными p и V , выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева температуру T = mpV/Rm и подставим ее в выражение (10.15).

Получим

 pV^g = const . (10.16)

Соотношение (10.16) называют уравнением Пуассона. По форме это уравнение похоже на уравнение изотермы. Однако при увеличении объема для адиабатического процесса давление падает быстрее, чем для изотермического процесса (рис. 10.5).

Согласно выражению (10.14) работа для адиабатического процесса определится по формуле

A_m =   = -   = С_m(T₁ - T₂).

С учетом выражения (10.10) получим для моля газа :

A_m = (i/2)R(T₁ - T₂) = (i/2)(p₁V_1m - p₂V_2m).

Для произвольной массы газа m получим A =(i /2)(m /m)(p₁V₁ - p₂V₂).

http://poznayka.org/s70186t1.html

Круговые обратимые процессы. Цикл Карно

Механические процессы обладают замечательным свойством обратимости. Например, брошенный камень, описав некоторую траекторию, упал на землю. Если его бросить обратно с той же скоростью, то он опишет ту же траекторию, только в обратном направлении (трением пренебрегаем).

Совершенно иная ситуация имеет место в области тепловых явлений. Тепловой процесс, при котором проходятся те же тепловые состояния, но только в обратном порядке, как правило, невозможен. Например, необратимыми являются теплообмен при конечной разности температур между телами, процесс расширения газа в пустоту, а также выделение тепла при трении. Если произвольный тепловой процесс сопровождается перечисленными явлениями, то он необратим.

 Однако в некоторых случаях процессы можно считать с достаточной степенью точности обратимыми, например, процессы изотермического и адиабатического расширения газа могут быть проведены в обратном направлении.

 Важной технической задачей было получение механической энергии за счет тепловой. Машина, превращающая тепловую энергию в механическую, называется тепловой. Обычно работа тепловой машины связана с работой расширения газа. Однако, чтобы получать работу непрерывно, газ необходимо возвращать в исходное состояние. Для этого его необходимо сжимать при более низкой температуре. В общем случае на диаграмме p-V некоторыйгазовый процесс изобразится в виде цикла (рис.10.6). В результате процесса 1-a-2 газ получил некоторое количество тепла Q₁ и совершил работу A₁₂ . В процессе сжатия по линии 2-b-1 над газом совершается работа A₂₁ ,и газ при этом отдает холодильнику количество тепла Q₂ . Обычно роль холодильника играет атмосферный воздух. Полная работа газового цикла A = A₁₂ + A₂₁ и равна его площади на диаграмме p-V. Так как внутренняя энергия газа не изменилась, то по первому началу термодинамики A = Q₁ - Q₂ . Коэффициент полезного действия тепловой машины (КПД)

h = A/Q₁ =(Q₁ - Q₂)/Q₁. (10.17)

Для получения максимального КПД тепловой машины необходимо рассмотреть цикл, состоящий из обратимых процессов. Такой цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, рассмотрел французский инженер Сади Карно (рис.10.7). На участке цикла 1-2 газ получает от нагревателя тепло Q₁ и, расширяясь изотермически от объема V₁ до V₂ при температуре T₁ , совершает для моля газа работу

A₁₂ = Q₁ = RT₁ ln(V₂ /V₁). (10.18)

На участках 2-3 и 4-1 газ расширяется и сжимается адиабатически, не получая и не отдавая тепла. На участке 3-4 газ сжимают изотермически от объема V₃ до V₄при температуре T₂ , отнимая тепло Q₂ . Работа, затрачиваемая на сжатие газа,

A₃₄ = Q₂ = RT₂ ln(V₃ /V₄). (10.19)

Используя уравнение (10.15) для процессов 2-3 и 4-1, можно показать, что

V₂ /V₁ = V₃ /V₄ (10.20)

Подставляя выражения (10.18) и (10.19) в равенство (10.17) с учетом равенства (10.20), после сокращений получим

h = (T₁ - T₂)/T₁ . (10.21)

Видим, что КПД цикла Карно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Например, для паровой машины, имеющей T₁ = 400К и T₂ = 300К, по формуле (10.21) получим h = 0,25. Реальный КПД паровых двигателей вдвое меньше из-за потерь на трение и т.д. Как показывается в курсах термодинамики, КПД любого теплового двигателя не может превосходить КПД цикла Карно, работающего между теми же температурными интервалами, т.е. h_реал   (T₁ - T₂)/T₁ . Из формулы (10.21) следует, что для увеличения КПД теплового двигателя необходимо увеличивать температуру нагревателя. Именно поэтому КПД двигателей внутреннего сгорания значительно выше, чем паровых

http://poznayka.org/s70187t1.html

Понятие об энтропии. Энтропия идеального газа

Для цикла Карно из формул (10.17) и (10.21) легко получить соотношение

Q₁ /T₁ - Q₂ /T₂ = 0. (10.22)

Величину Q/T называют приведенной теплотой, где Q - количество тепла, переданного телу при температуре T . Из соотношения (10.22) следует, что для цикла Карно, являющегося обратимым, алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю. Понятие приведенных теплот можно применить для анализа произвольных тепловых процессов. Так как температура тел T изменяется во время процессов, то рассматривают малое количество передаваемой теплоты dQ и вводят новую величину S , называемуюэнтропией, элементарное изменение которой равно

dS = dQ / T. (10.23)

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2 полное изменение энтропии

DS = S₂ - S₁ =   =   . (10.24)

Рассчитаем изменение энтропии для идеального газа массой m . По первому началу термодинамики dQ = dU + dA . Подставляя dQ в (10.23) и учитывая, что в согласии с (10.9) dU = (m /m)C_v dT и dA = pdV , получим

dS = (m /m)C_v dT/T + pdV/T . (10.25)

Выразив p из уравнения pV = (m /m)RT и подставляя его в (10.25), а затем, подставив это равенство в (10.24), получим

S₂ - S₁ = (m /m)C_v   + (m /m)R 

или после интегрирования

S₂ - S₁ = (m /m)C_v ln(T₂ /T₁) + (m /m)R ln(V₂ /V₁). (10.26)

Из выражения (10.26) следует, что энтропия зависит лишь от параметров V и T , т.е. является функцией состояния системы. Это означает, что если система совершит некоторые процессы и вернется в итоге к тем же параметрам V и T , то и энтропия ее примет прежнее значение.

http://poznayka.org/s70188t1.html

Второе начало термодинамики

Понятие энтропии помогло строго математически сформулировать закономерности, позволяющие определить направление тепловых процессов. Огромная совокупность опытных фактов показывает, что для замкнутых систем возможны только такие процессы, при которых энтропия системы возрастает или остается постоянной.Это утверждение носит название второго закона (начала) термодинамики. Математическая запись второго начала имеет вид

dS ³ 0 , (10.27)

где S - полная энтропия замкнутой системы.

Применим второе начало термодинамики для выяснения направления некоторых тепловых процессов.

   1. Рассмотрим расширение идеального газа в пустоту. Пусть газ первоначально находится в сосуде 1 (рис.10.8). Затем открывается заслонка 3, и молекулы из сосуда 1 могут перемещаться в сосуд 2. Так как в системе нет движущихся частей, то скорость молекул не изменяется и процесс расширения газа будет изотермическим (T₁ = T₂). Применяя второе начало термодинамики и учитывая равенство (10.26), получим (m /m)R ln(V₂ /V₁) ³ 0. Отсюда следует, что lnV₂ ³ lnV₁ или V₂ ³ V₁ . Применив второе начало термодинамики к газу, мы получили, что газ, предоставленный самому себе, может только расширяться. Второе начало термодинамики показывает, что невозможен процесс, в результате которого газ соберется в какой-то определенной части объема. Хотя, исходя из чисто механических представлений, процесс, обратный расширению газа в пустоту, кажется возможным.

2. Рассмотрим процесс теплообмена при конечной разности температур. Пусть тело с температурой T₁ передает тепло DQ телу с температурой T₂ (рис.10.9). Полное изменение энтропии системы тел равно DS = DS₁ + DS₂ , где DS₁ = - DQ/T₁ - уменьшение энтропии первого тела, DS₂ = DQ/T₂ - увеличение энтропии второго тела. По второму началу термодинамики полное изменение энтропии системы DS = DQ(T₁ - T₂)/T₁T₂ ³ 0 . Отсюда получаем T₁ ³ T₂ . Итак, из второго начала термодинамики следует, что тепло должно передаваться от более нагретого тела к менее нагретому телу, т.е. второе начало термодинамики определяет направление процесса передачи тепла. Клаузиус предложил записать второе начало как утверждение: невозможен самопроизвольный переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому.

 3. Рассмотрим работу тепловой машины. Нагреватель отдает рабочему телу в течение рабочего цикла количество тепла DQ’₁ при температуре T₁ (рис.10.10) , его энтропия изменяется (уменьшается) на величину DS₁ = - D   /T₁. Рабочее тело отдает количество тепла DQ₂ при температуре T₂холодильнику, энтропия которого увеличивается на величину DS₂ = DQ₂ /T₂ . Энтропия рабочего тела не меняется, так как через цикл оно имеет прежние параметры состояния. Согласно второму началу термодинамики DS₁ + DS₂ ³ 0. Знак равенства соответствует выражению (9.22) для цикла Карно. Итак, полученное из второго начала термодинамики неравенство будет выполняться, когда часть полученного рабочим телом тепла DQ₂ будет неизбежно передана холодильнику. В противном случае энтропия замкнутой системы уменьшается. Это указывает на обесцененность тепловой энергии по сравнению с другими видами энергии. Несмотря на огромные запасы тепловой энергии, ее использование возможно лишь при разности температур между телами системы. При тепловом равновесии системы превращение ее тепловой энергии в механическую невозможно. Кельвин предложил записать проведенное рассуждение как следующую формулировку второго начала термодинамики: невозможен процесс, единственным результатом которого явилось бы отнятие от какого либо тела определенного количества тепла и превращение этого тепла полностью в работу.Иными словами, невозможен вечный двигатель второго рода, единственным результатом которого было бы производство работы за счет тепла некоего резервуара.

http://poznayka.org/s70189t1.html

Статистическое толкование второго начала термодинамики

Состояние макроскопического тела (т.е. тела, образованного огромным числом молекул) может быть задано с помощью объема, давления и температуры. Данное макроскопическое состояние газа с определенными средними значениями параметров представляет собой непрерывную   смену близких микроскопических состояний, отличающихся друг от друга распределением одних и тех же молекул в разных частях объема и распределением импульса между различными молекулами. Для примера рассмотрим распределение только четырех молекул по двум половинкам объема (рис.10.11). Первое макро-состояние, при котором в левой части объема находятся все молекулы, реализуется одним микросостоянием. Термодинамической вероятностью или статистическим весом W называют число микросостояний, с помощью которого реализуется данное макро-состояние. Первое макро-состояние имеет термодинамическую вероятность W= 1. Второе макро-состояние, при котором в левой части объема находятся три молекулы, а в правой - одна, реализуется четырьмя способами (в правой части можно по очереди разместить четыре различных молекулы), и его термодинамическая вероятность W = 4 . Третье макро-состояние, при котором молекулы поровну распределены по половинкам объема, имеет термодинамическую вероятность W = 6. Точное определение того, что подразумевается под ”числом микроскопических способов осуществления” теплового состояния тела, дается в курсе статистической физики.

Так как система стремится к равномерному распределению молекул по объему, то согласно рассмотренному примеру она должна стремиться к максимуму термодинамической вероятности. С другой стороны, энтропия системы тоже стремится к максимальному значению. Следовательно, существует связь между энтропией и термодинамической вероятностью, теоретически полученная Больцманом:

S = k lnW , (10.28)

где k - постоянная Больцмана. Второе начало термодинамики приобретает следующий статистический смысл: изолированная система самопроизвольно может переходить только от состояний менее вероятных к состояниям более вероятным.

http://poznayka.org/s70190t1.html

Уравнение Ван-дер-Ваальса

Поведение реальных газов при их малых плотностях хорошо описывается уравнением Клапейрона:

   = RT , (11.1)

где   - объем моля газа,   - давление идеального газа, T - температура. Однако при давлениях порядка 200 атм. отклонение от уравнения (11.1) составляет около 5%. Это отклонение вызвано влиянием сил притяжения между молекулами и наличием собственного объема молекул. Для учета собственного объема молекул нидерландский физик Ван-дер-Ваальс ввел поправку b и представил объем, свободный для движения, в виде   = V_m - b . Уравнение (11.1) запишется в виде

 ( V_m - b) = RT , (11.2)

где V_m - объем моля реального газа.

Силы притяжения со стороны других молекул вызывают уменьшение скорости молекулы, соударяющейся со стенкой, поэтому силы взаимодействия молекул уменьшают давление газа на стенки сосуда на величину p_i . Давление реального газа запишется в виде p =   - p_i и формула (11.2) будет иметь вид:

(p + p _i )·(V_m - b) = RT . (11.3)

Величина p_i зависит от объема газа. Если рассмотреть две половинки малого объема газа, то при увеличении количества молекул в них в n раз сила их взаимодействия f увеличится в n² раз (рис. 11.1). Следовательно, величина p_i ~ r ², где r - плотность газа. Учитывая, что при неизменной массе газа величина r обратно пропорциональна объему V, получим p_i = a /   . Выражение (11.3) запишется в виде

(p + a /   )(V_m - b) = RT , (11.4)

 где a - поправка Ван-дер-Ваальса, учитывающая притяжение молекул. Формулу (11.4.) называютуравнением Ван-дер-Ваальса. Это уравнение гораздо лучше согласуется с экспериментом, чем уравнение Клапейрона. Изотерма Ван-дер-Ваальса построена на рис. 11.2. Она отличается от изотермы идеального газа наличием S-образного участка 2-3-4-5, который обычно не реализуется на опыте. Если взять некоторый газ, состояние которого соответствует точке 1, и изотермически сжимать его, то уравнение Ван-дер-Ваальса на участке 1-2 будет хорошо описывать опытную кривую. При дальнейшем сжатии газа экспериментальная кривая пройдет по штриховой линии 2-5 . В точке 2 газ является насыщенным паром, и при дальнейшем уменьшении его объема часть пара конденсируется. Система распадается на две фазы: жидкую и газообразную. Давление насыщенного пара является постоянным и линия 2-5 параллельна оси абсцисс. При уменьшении объема системы по линии 2-5 растет количество жидкой фазы, и в точке 5 насыщенный пар полностью конденсируется в жидкость. Жидкость является малосжимаемой, поэтому при дальнейшем уменьшении объема давление быстро возрастает. Участок 5-6 изотермы Ван-дер-Ваальса полностью совпадает с опытной кривой. S‑образный участок изотермы, представляющий собой область неустойчивых состояний, на опыте обычно на реализуется. Участок 3-4 представляет собой область совершенно неустойчивых состояний и экспериментально его невозможно реализовать. При некоторых условиях, например, отсутствии центров конденсации или кипения, можно реализовать участки 2-3 и 4-5. Участок 2-3 соответствует перегретому пару, а участок 4-5 - перегретой или растянутой жидкости. Эти вполне устойчивые состояния называются метастабильными, и если искусственно ввести в метастабильную систему центры конденсации, то система скачком перейдет в двухфазное состояние. Воду можно перегреть на несколько десятков градусов, и если насыпать в нее немного мелкого песка, то происходит вскипание со взрывом. При перегонке многих жидкостей с целью очистки во избежание перегрева необходимо вводить специальные предметы в качестве центров кипения. Метастабильные состояния жидкости и пара широко используются при регистрации элементарных частиц.

Итак, уравнение Ван-дер-Ваальса позволило предсказать наличие неустойчивых состояний и неплохо количественно описать переход вещества из газообразного состояния в жидкое.

http://poznayka.org/s70191t1.html

Критическое состояние вещества

Важное значение уравнения Ван-дер-Ваальса заключается в том, что оно предсказывает особое состояние вещества - критическое. Если рассчитать изотермы Ван-дер-Ваальса для различных температур, то получим, что с повышением температуры кривые будут смещаться вверх, а длина S-образного участка будет уменьшаться и при некоторой температуре станет равной нулю, т.е. участок стянется в точку. Эта точка называется критической точкой,а параметры состояния p_кр, V_кр, T_кр, соответствующие ей, называются критическими.

 Рассмотрим семейство опытных изотерм на диаграмме p-V (рис. 11.3), для которых S-образный участок изотермы (11.4) представляет собой прямую линию. Изотерма, проходящая через критическую точку, называется критической. Концы прямолинейных участков семейства изотерм образуют колоколообразную кривую. Колоколообразная кривая и критическая изотерма делят диаграмму p-V на четыре области : жидкость, газ, пар и двухфазную область - жидкость и насыщенный пар (см.рис.11.3).

Если изотермически сжимать газ при температуре, меньшей T_кр (изотерма для T = T₁), то газ перейдет в двухфазное состояние и затем в жидкое. Газообразное состояние при T < T_кр часто называют паром. Легко видеть, что, если T >T_кр , то, сжимая газ изотермически, его нельзя превратить в жидкость (изотерма для T = T₂ ). Это обстоятельство позволило понять, что любой газ можно превратить в жидкость, лишь охладив его до температуры ниже критической и сжимая его. Это предположение впервые высказал Д.И. Менделеев, и он же впервые ввел понятие критической температуры, проводя исследования коэффициента поверхностного натяжения. Учитывая вышесказанное, ученым удалось сжижить все известные газы.

При критическом состоянии различие в плотности жидкости и насыщенного пара пропадает. Критическое состояние представляет собой смесь частичек жидкости и пара, которые непрерывно распадаются, превращаясь друг в друга. Вещество при подходе к критической точке мутнеет, так как свет сильно рассеивается на этих неоднородностях среды.

http://poznayka.org/s70192t1.html

Эффект Джоуля-Томсона

В реальном газе между молекулами действуют силы притяжения и отталкивания. Силы притяжения обусловлены дипольным взаимодействием молекул. Некоторые молекулы могут представлять собой постоянные диполи. Для неполярных молекул основой притяжения является взаимодействие мгновенных осциллирующих диполей. Силы отталкивания обусловлены взаимодействием электронных оболочек молекул. Они проявляются в основном при сближении молекул и быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами. Силы же притяжения наоборот преобладают при большом расстоянии между молекулами. Результирующая сила взаимодействия двух молекул равна сумме этих сил и имеет вид, изображенный на рис. 11.4 . При расстоянии между молекулами r = r_o сила отталкивания равна силе притяжения и результирующая сила F = 0 . При расстоянии между молекулами r < r_o преобладает сила отталкивания, при расстоянии r > r_o преобладает сила притяжения.

  Наличие этих сил проявляется в эффекте дросселирования газа, схема которого представлена на рис.11.5. Газ из сосуда A с высоким давлением перетекает в сосуд B с низким давлением через патрубок с пористой перегородкой 1. В патрубке помещены термометры, измеряющие температуры T₁ и T₂ газа до и после пористой перегородки. При таком расширении газ работу не совершает, тепло газу не передается и в согласии с первым началом термодинамики изменение внутренней энергии газа DU = 0. Следовательно, при дросселировании идеального газа его температура на должна изменяться: T₁ = T₂ . Внутренняя энергия реального газа складывается из кинетической энергии молекул U_к и потенциальной энергииих взаимодействия U_п ,

т.е. U = U_к + U_п . При расширении газа межмолекулярные расстояния увеличиваются и взаимная потенциальная энергия молекул изменяется. Следовательно, должны изменяться их кинетическая энергия DU_к и температура газа, причем т.к. DU = 0,то DU_к = -DU_п. Если при дросселировании газа преобладают силы притяжения между молекулами (r > r_o) , то при этом будет совершаться работа против сил притяжения и потенциальная энергия молекул при увеличении объема газа увеличится, а значит, кинетическая энергия молекул и температура газа уменьшится. Такой эффект Джоуля-Томсона называют положительным. Если между молекулами газа преобладают силы отталкивания, то газ при дросселировании нагревается, и эффект называют отрицательным. Устройства, использующие положительный эффект Джоуля-Томсона, позволили впервые получить сжиженные газы.

http://poznayka.org/s70193t1.html