Глава 2 Динамика материальной точки

Относительно разных систем отсчета движение имеет неодинаковый характер. Например, относительно вагона точка на ободе колеса движется по окружности, в то время как относительно Земли она движется по сложной кривой, называемой циклоидой.

Среди всевозможных систем отсчета существуют такие, относительно которых движение тел оказывается особенно простым. В частности тела, не подверженные воздействию других тел, движутся относительно таких систем без ускорения, т. е. прямолинейно и равномерно. Эти особенные системы отсчета называются инерциальными. Существование инерциальных систем установлено из опыта и представляет собой закон природы.

Инерциальных систем существует бесчисленное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно с постоянной скоростью, является также инерциальной.

Утверждение о существовании инерциальных систем отсчета Ньютон сформулировал в виде закона инерции или первого закона Ньютона:

всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Для того чтобы сформулировать второй закон Ньютона, нужны понятия силы и массы.

Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел.

Масса есть мера инертности тела. Под инертностью понимают неподатливость тела действию силы, т. е. свойство тела противиться изменению скорости под воздействием силы.

Импульс тела есть произведение массы тела на его скорость

. (2.1)

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса частицы равна действующей на частицу силе F:

 (2.2)

Соотношение (2.2) называется уравнением движения частицы или основным уравнением динамики материальной точки.

Подставляя в формулу (2.2) выражение для импульса (2.1), получим, что

Наконец, приняв во внимание, что для материальной точки m = const, а  - ускорению частицы, придем к соотношению

. (2.3)

Это вторая формулировка второго закона Ньютона: произведение массы частицы на ее ускорение равно силе, действующей на частицу.

Если на тело действуют несколько сил, то под F в формулах (2.2) и (2.3) подразумевается их результирующая (т. е. векторная сумма сил).

Надо иметь в виду, что законы Ньютона возникли в результате обобщения данных большого числа опытов и наблюдений и, следовательно, являются экспериментальными законами.

Спроектируем векторы, фигурирующие в формуле (2.3), на координатные оси x, y, z. В результате получим три скалярных уравнения:

 (2.4)

которые эквивалентны векторному уравнению (2.3). Спроектировав векторы а и F на произвольное направление, заданное осью, которую мы обозначим, скажем, буквой l, получим уравнение

ma_l = F_l. (2.5)

Единицей силы является 1 Н = 1 кг · м/с².

https://studopedia.ru/3_175995_vtoroy-zakon-nyutona.html

Силы

Третий закон Ньютона

Воздействие тел, друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой F₁₂, то тело 1 действует на тело 2 с силой F₂₁.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е.

. (2.6)

Таким образом, силы всегда возникают попарно.

Подчеркнем, что силы, фигурирующие в соотношении (2.6), приложены к разным телам; поэтому они не могут уравновесить друг друга.

Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений, – это силы гравитационные и электрические. Приведем выражения для этих сил в самом простом виде, когда взаимодействующие массы (заряды) покоятся или движутся с малой (нерелятивистской) скоростью.

Сила гравитационного притяжения, действующая между двумя материальными точками. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила пропорциональная произведению масс точек m₁ и m₂, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена по прямой, соединяющей эти точки:

, (2.7)

где G – гравитационная постоянная.

Кулоновская сила, действующая между двумя точечными зарядами q₁ и q₂

, (2.8)

где r – расстояние между зарядами; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе СИ  , где e₀ – электрическая постоянная.

В отличие от гравитационной силы кулоновская сила может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.

F = m g, (2.9)

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения, g = 9.8 м/с².

Заметим, что в отличие от силы тяжести вес Р– это сила, с которой тело действует на опору (или подвес), неподвижную относительно данного тела. Например, если тело с опорой (подвесом) неподвижны относительно Земли, то вес Рсовпадает с силой тяжести. В противном случае вес Р = m(g – a), где a– ускорение тела (с опорой) относительной Земли.

Упругая сила – сила, пропорциональная смещению материальной точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия:

F = – k r, (2.10)

где r– радиус-вектор, характеризующий смещение частицы из положения равновесия; k – положительный коэффициент, зависящий от «упругих» свойств той или иной конкретной силы (коэффициент упругости).

Примером такой силы является сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня; в соответствии с законом Гука эта сила определяется как

F = k Dl,

где Dl – величина упругой деформации или абсолютное удлинение тела.

Сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого тела,

F = m N, (2.11)

где m– коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости); N – сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Сила F направлена в сторону, противоположную направлению движения данного тела относительно другого.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости. Эта сила зависит от скорости V тела относительно среды, причем направлена противоположно вектору V:

F = - r V, (2.12)

где r – положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды (коэффициент сопротивления).

https://studopedia.ru/3_175996_odnorodnaya-sila-tyazhesti.html

Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой. Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему.

Внутренними называют силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе.

Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой или изолированной.

Для замкнутых систем остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: энергия, импульс и момент импульса. Соответственно имеются три закона сохранения: закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Эти законы тесно связаны со свойствами времени и пространства.

Рассмотрим систему, состоящую из N частиц (материальных точек). Обозначим через f_ik внутреннююсилу, с которой k-я частица действует на i-ю (первый индекс указывает номер частицы, на которую действует сила, второй индекс – номер частицы, воздействием которой обусловлена эта сила). Символом F_i обозначим результирующую всех внешних сил, действующих на i-ю частицу. Напишем уравнения движения всех N частиц:

(p_i - импульс i-й частицы).

Сложим вместе эти уравнения. Слева получится производная по времени от суммарного импульса системы:

.

Справа отличной от нуля будет только сумма внешних сил  . Действительно, сумму внутренних сил можно представить в виде комбинаций внутренних сил:

(f₁₂ + f₂₁) + (f₁₃ + f₃₁) + … + (f_ik + f_ki) + …+ (f_N-1,N + f_N,N-1) .

Согласно третьему закону Ньютона каждая из скобок равна нулю. Следовательно, сумма внутренних сил, действующих на тела системы, всегда равна нулю:

. (2.15)

С учетом (2.15) получим, что

. (2.16)

Таким образом, производная по времени от суммарного импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на тела системы.

Если система замкнута, то действием внешних сил в (2.16) можно пренебречь, и правая часть уравнения (2.16) равна нулю. Соответственно dP/dt = 0, следовательно,

. (2.16а)

Итак, суммарный импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным – закона сохранения импульса.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механических свойств системы. Поведение системы на новом месте будет таким же, каким оно было бы на прежнем месте.

https://studopedia.ru/3_175997_sohranyayushchiesya-velichini-zakon-sohraneniya-impulsa.html

Точка С, положение которой определяется радиус-вектором:

, (2.17)

называется центром масс системы материальных точек. Здесь m_i - масса i-й частицы; r_i - радиус-вектор, задающий положение этой частицы;  - суммарная масса системы. (Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. )

Продифференцировав r_C по времени, найдем скорость центра масс:

 (2.18)

где V_i - скорость i-ой материальной точки, p_i - ее импульс, P – импульс системы материальных точек. Из (2.18) следует, что суммарный импульс системы есть

P = mV_C, (2.19)

Из (2.19) и (2.16), получим уравнение движения центра масс:

 (2.20)

(а_C – ускорение центра масс). Таким образом, из уравнения

 (2.20a)

следует, что центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы а_C = 0. Это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс (сокращенно ц-системой). Эта система является инерциальной.

Контрольные вопросы

1. В каких системах отсчета справедливы законы Ньютона?

2. Какие формулировки второго закона Ньютона вы знаете?

3. Чему равен вес свободно падающего тела?

4. Какой знак имеет скалярное произведение силы трения и скорости тела?

5. Чему равен импульс системы материальных точек в системе центра масс?

6. Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу m и находящегося под действием сил  ?

Задачи

1. Пуля пробивает две примыкающие друг к другу коробки с жидкостями: вначале коробку с глицерином, затем такую же коробку с водой. Как изменится конечная скорость пули, если коробки поменять местами? Другими силами, действующими на пулю, кроме силы сопротивления жидкости F = –rV, пренебречь.

2. Движение материальной точки задано уравнениями x = at³, y = bt. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?

3. Скорость материальной точки задана уравнениями u_x = A ∙sinwt,u_y = A ∙coswt. Изменяется ли сила, действующая на точку: а) по модулю; б) по направлению?

4. Шарик, висящий на нити длиной l, после горизонтального толчка поднимается на, высоту H, не сходя с окружности. Может ли его скорость оказаться равной нулю: а) при H < l б) при H > l?

5. Два тела массами т₁ > m₂ падают с одинаковой высоты. Силы сопротивления считать постоянными и одинаковыми для обоих тел. Сравнить время падения тел.

6. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F. Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от коэффициента трения брусков о плоскость?

7. Брусок массой m₁ = 1 кг покоится на бруске массой m₂= 2 кг. На нижний брусок начала действовать горизонтальная сила, возрастающая пропорционально времени, ее модуль F = 3t (F – в Н, t – в с). В какой момент времени верхний брусок начнет проскальзывать? Коэффициент трения между брусками m = 0,1, трение между нижним бруском и опорой пренебрежимо мало. Принять g = 10 м/с².

8. Два шарика а и б, подвешенные на нитях в общей точке0, равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости.

9. Коническая воронка вращается с постоянной угловой скоростью w. Внутри воронки на стенке лежит тело, которое может свободно скользить вдоль образующей конуса. При вращении тело находится в равновесии относительно стенки. Является это равновесие устойчивым или неустойчивым?

https://studopedia.ru/3_175998_dvizhenie-tsentra-mass-sistemi.html