Раздел 5 Измерения, их виды и классы

5.1 Основы теории ошибок измерений

5.1.1 Виды измерений и погрешностей

Измерение - это определение значения физической величины опытным путём при помощи специальных технических средств.

На практике задача измерения включает не только определение чис­ла, выражающего отношение измеряемой величины к общепринятой еди­нице измерения, но и определение при этом допущенной погрешности.

Непосредственный процесс измерения состоит из наблюдения и отсчёта.

Цель наблюдения - фиксация факта наступления какого-либо оп­ределённого события. После наступления ожидаемого события произ­водится считывание показания прибора со шкалы лимба или цифрового табло, определение массы эталонного вещества (гирь) и т.д.

Виды измерений классифицируются:

- по способу получения результата (прямые и косвенные);

- по методу измерений (абсолютные, относительные и пороговые);

- по условиям измерений (равноточные, неравноточные);

- по степени достаточности измерений (необходимые, избыточные).

При прямых измерениях измеряется непосредственно исследуемая величина.

При косвенных измерениях исследуемая величина измеряется как функция по результатам измерения других величин.

Например, ускорение автомобиля при разгоне определяется по результатам измерения расстояния и времени разгона; вычисление плотности - по массе и объему.

Абсолютные измерения - это прямые измерения в единицах измеряемой вели­чины.

Δх = х – а, (5.1)

где х - результат измерения;

а - истинное значение.

Относительные измерения представляют собой отношения измеряемой вели­чины к величине играющей роль единицы или к величине, принимаемой за ис­ходную. Например, влажность воздуха в % по отношению к полному его водонасыщению.

. (5.2)

При пороговых измерениях фиксируется только факт нахождения величины в одностороннем или двухстороннем допуске (по принципу "да/нет").

Равноточные измерения проводятся в одинаковых условиях одними и теми же измерительными приборами и с одинаковой степенью тщательности. При этом в ряду измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким значениям.

Неравноточные измерения не отвечают указанным выше требованиям.

Избыточные измерения имеют по сравнению с необходимыми большее число измерений либо большую точность, содержат среди измерений зависимые, т. е. дают избыточную информацию.

Надежность результатов исследования в значительной степени зависит от точности измерений.

Под точностью измерений понимают степень соответст­вия результата измерения действительному значению измеряемой величины.

В зависимости от точности результатов можно выделить три класса измерений:

1) эталонные, результат которых должен иметь максимально возможную точность при достигнутом уровне тех­ники и науки (измерения физических констант);

2) контрольно-поверочные, при которых ошибка результата не превышает заранее заданного допуска (измерения в поверочных или контрольно-измерительных лабораториях при поверке приборов);

3) технические, ошибка результатов которых определяется характеристиками измери­тельного комплекса.

Снять показания с прибора — не значит только измерить. Необходимо еще оце­нить ошибки (погрешности) измерений.

Погрешность измерения — это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Под истинным значением измеряемой величины принято считать:

- среднюю арифметическую величину ряда измерений;

- известное эталонное значение;

- величину, полученную в результате более точных (не менее чем на порядок) измерений.

Основные источники ошибок:

первый источник заключен в датчике, который неправильно реагирует на из­меряемую величину. Например, если тензосопротивление плохо наклеено на уп­ругий элемент, то деформация его решетки не будет соответствовать деформации упругого элемента;

второй источник - измерительное устройство, в котором возможны погреш­ности из-за неправильного функционирования его механических или электриче­ских элементов;

третий источник — сам наблюдатель, который из-за неопытности или устало­сти неправильно считывает показания прибора.

Кроме того, ошибки в измерении могут возникнуть из-за влияния измеритель­ного устройства на объект измерения (например, при разрушающем методе кон­троля), влияния окружающей среды (температура, загазованность и т. п.), методи­ческих погрешностей, допущенных экспериментатором.

Эти источники ошибок приводят к появлению трех типов ошибок (погрешностей): случайных, систематических и грубых.

Случайная погрешность - это погрешность, которая в отдельных измерениях может принимать случайные, заранее конкретно неизвестные значения. Случай­ные погрешности обязаны своим происхождением ряду как объективных, так и субъективных факторов, действие которых неодинаково в каждом опыте и не мо­жет быть учтено. Случайные погрешности различаются в отдельных измерениях, сделанных в одинаковых условиях одними и теми же измерительными прибора ми. Исключить случайные погрешности нельзя. Можно только оценить их значе­ние.

Случайные погрешности определяются по законам теории ошибок, основан­ной на теории вероятностей.

Систематическая погрешность - это погрешность, вызванная факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений с помощью одних и тех же измерительных приборов.

В качестве примера систематической ошибки рассмотрим случай взвешивания на чашечных весах с помощью неточных гирь. Если взятая нами гиря имеет ошибку, скажем 0,1 г, то вес тела (пусть 1000 г) будет завышенным (или занижен­ным) на эту величину, и чтобы получить верное значение, необходимо учесть эту ошибку, прибавив к полученному весу (или вычтя из него) 0,1 г, Р = (1000±0,1) г.

Грубая погрешность или промах вызывается просчетом экспериментатора или неисправностью средств измерения, или резко изменившимися внешними усло­виями.

Грубые погрешности приводят к явному искажению результата, поэтому их надо исключить из общего числа измерений.

5.1.2 Случайные погрешности и их распределение.

Для того, чтобы выявить случайную погрешность измерений, необходимо по­вторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает заметные от дру­гих результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль.

Наиболее вероятным значением измеряемой величины из серии измерений яв­ляется ее среднее значение. Рассеивание измеряемой величины относительно ее среднего значения определяется величиной средней квадратической погрешности отдельного измерения.

Пусть в измерительном эксперименте в результате независимых и равноточ­ных измерений постоянной величины а получены значения x_l,x₂,...,x_n. Абсолютные погрешности (5.1) рассматривают как случайные величи­ны. При этом независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин Δх_i, а равноточность - как подчинение величин Δх_i, одному и тому же закону распределения (к тому же измерения сделаны одним и тем же ме­тодом и с одинаковой степенью тщательности).

В качестве оценки неизвестной величины а по данным измерений обычно бе­рут среднее арифметическое х результатов измерений:

, (5.3)

Дисперсия отдельных измерений

, (5.4)

чаще всего неизвестна, и для ее оценки используется величина

, (5.5)

Среднюю квадратическую (стандартную) погрешность а (СКО) находятся по формуле (5.6).

, (5.6)

для ее оценки вычисляется величина

, (5.7)

В действительности мы всегда вычисляем не σ, S_n, которые тем ближе к σ, чем больше n:

, (5.8)

Обычно принимается, что погрешности подчиняются нормальному закону распределения случайных величин. При этом предполагается:

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе наблюдений погрешности равных значений, но разных знаков встречаются одинаково часто;

3) частота появления погрешностей уменьшается с увеличением величин по­грешностей. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.

Эти предположения приводят к закону распределения погрешностей, описы­ваемому формулой Гаусса:

, (5.9)

Форма кривых Гаусса зависит от величин σ. Чем больше σ, тем больше рас­сеивание случайной погрешности. На рисунке 5.1 представлены кривые Гаусса для трех значений σ. С помощью этих кривых можно установить, насколько часто должны появляться ошибки той или иной величины.

Рисунок 5.1 – Кривые нормального распределения

Известно, что под кривой распределения в пределах по оси абсцисс от - σ до + σ заключено 68,3% всей площади; в пределах от - 2σ до +2σ - 95,5%, в преде­лах от -3σ до + 3σ - 99,7%, (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Значения вероятностей для нормального закона распределения по диапазонам стандартных отклонений

Отсюда свойство нормального закона распределения случайных величин - рассеивание случайной величины в основном (с вероятностью Р=0,997) укладывается на участке а ± 3σ, где а - математическое ожидание.

Следовательно, зная σ и а, можно приблизительно указать интервал ее практи­чески возможных значений (размах). Такой способ оценки диапазона значений случайной величины называется правилом "трех сигм".

5.1.3 Выборочное среднее как оценка истинного значения измеряемой величины

Выполняя любое измерение, мы заранее предполагаем, что существует точное истинное значение, измеряемой величины х_ист. Однако из-за неизбежных ошибок при измерениях действительные результаты эксперимента х_i обычно заметно отличаются от х_ист, поэтому результат измерения любой физической величины при наличии случайной погрешности ведет себя как некоторая случайная величина. Иногда, и сама, измеряемая величина, даже в отсутствии ошибок измерения, может меняться случайным образом. Тогда в роли истинного значения, которое нам нужно отыскать в результате эксперимента, обычно выступает истинное среднее, то есть среднее значение физической величины за большой промежуток времени.

Истинная абсолютная погрешность измеряемой величины

Δх_i = х_i - х_ист, (5.10)

где х_i – действительный результат измерения;

х_ист - истинное значение измеряемой величины.

Выборочное среднее может быть использовано в качестве оценки истинного значения измеряемой величины х_ист.

(5.11)

При большом числе измерений выборочное среднее будет стремиться к истинному значению измеряемой величины.

Если число измерений конечно, тогда делается допущение, что

≈ х_ист. (5.12)

5.1.4 Среднее квадратичное отклонение как оценка погрешности измерений

Мерой разброса случайной величины вблизи центра распределения служат: ее дисперсия и среднее квадратическое отклонения.

Среднее квадратическое отклонение можно использовать для оценки точности измерений.

Если число измерений n достаточно велико (на практике: n>30), то случайная величина удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы и подчиняется нормальному закону распределения с центром х_ист и неизвестным нам средним квадратическим отклонением σ.

Центральные предельные теоремы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Зададим предельную доверительную погрешность δ = и воспользуемся правилом трех сигм для нормального распределения:

. (5.13)

Вероятность того, что х_ист отклоняется от произвольного значения величины на расстояние не более чем 3σ( ) равна 0,9973 (или 99,73%).

Таким образом, с вероятностью 0,9973, происходит событие, состоящее в том, что истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал (5.14)

- ≤ - х_ист ≤ + . (5.14)

С вероятностью 0,9973 выполняется условие (5.15)

х_ист = + . (5.15)

Вывод: поскольку в 99,73% случаев истинное значение измеряемой величины х_ист отклоняется от выборочного среднего не более чем на , то для оценки точности измерений мы можем использовать величину .

5.1.5 Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через х_ист, погрешность из­мерения этой величины - Δх. Среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений, будет . Пусть γ означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Δх. Это принято записывать в виде

. (5.16)

Вероятность γ называется доверительной вероятностью, или коэффициен­том надежности. Интервал значений от х_ист-Δх до х_ист+Δх называется доверитель­ным интервалом.

Выражение (5.10) означает, что с вероятностью, равной γ, истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы доверительного интервала от х_ист-Δх до х_ист+Δх. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим полу­чается соответствующий доверительный интервал, и, наоборот, чем больший до­верительный интервал задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не вый­дут за его пределы.

Итак, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительного интервала) и вели­чину доверительной вероятности.

Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень его надежности опять-таки задается характером производимых измерений. Более высокая степень надежности, требуемая при от­ветственных измерениях, означает, что при их производстве нужно выбирать большой (в долях с) доверительный интервал. Иначе говоря, для получения той же величины ошибки Δх следует производить измерения с большей точностью, т. е. нужно тем или иным способом уменьшить в соответствующее число раз величину σ. Одна из возможностей такого увеличения состоит в многократном по­вторении измерений.

При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95.

Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень надежности, иногда задают доверительную вероятность 0,997. Большая величина доверительной вероятности в подавляющем большинстве измерительных задач не требуется.

Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соот­ветствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0,68. (Здесь и дальше полагаем, что ошибки распределены по нормальному закону). Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и их результаты сведены в таблицу (Приложение 4).

5.1.6 Правила нахождения доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины при большом числе измерений (n≥30).

1. По серии из n измерений, проведенных примерно в одинаковых условиях: х₁,х₂, …, х_n вычисляют

- выборочное среднее (5.3)

- стандартное отклонение (5.5 и 5.7)

.

2. Задают значение надежности γ. Обычно используют значения: 0,95; 0,99 или 0,999.

3. По таблице (приложения Г) для интеграла вероятности находят значение коэффициента К_γ из условия

, (5.17)

При γ = 0,95 К_γ =0,1808; γ = 0,959 К_γ =0,1879; γ = 0,999 К_γ =0,1915.

4. Вычисляют:

- предельную доверительную погрешность

, (5.18)

- верхнюю доверительную границу

, (5.19)

- нижнюю доверительную границу

, (5.20)

4. Результат измерения записывают в виде

, с обязательным указанием надежности γ. (5.21)

5.1.7 Правила нахождения доверительного интервала для истинного значения измеряемой величины при малом числе измерений (n<30).

1. По серии из n измерений, проведенных примерно в одинаковых условиях: х₁,х₂, …, х_n вычисляют

- выборочное среднее

- стандартное отклонение

.

2. Задают значение надежности γ. Обычно используют значения: 0,95; 0,99 или 0,999.

3. По таблице находят значение коэффициента Стьюдента t_γ,ν для заданной надежности γ и числа степеней свободы ν=(n-1) (Приложение В)

4. Вычисляют:

- предельную доверительную погрешность

, (5.22)

- верхнюю доверительную границу

- нижнюю доверительную границу

5. Результат измерения записывают в виде

, с обязательным указанием надежности γ. Рекомендуется также указывать и число проведенных измерений n.