Порядок выполнения работы

1. Выпишите задание согласно варианта из таблицы «Индивидуальные задания».

2. Составить таблицу, основываясь на полученных данных.

3. Построить график распространения эпидемии.

4. Оформите отчет.

Пример выполнения работы

Индивидуальное задание

№ варианта	a	b	x0	y0	z0	t
1	0.05	0.1	1	20	0	0.5
2	0.06	0.3	2	18	1	0.25
3	0.04	0.8	1	17	0	1.0
4	0.02	0.4	1	19	2	0.75
5	0.04	0.7	0	16	1	1.0
6	0.08	0.3	1	17	3	0.25
7	0.03	0.8	2	18	0	0.5
8	0.01	0.7	0	18	1	1.0
9	0.07	0.2	0	19	3	0.5
10	0.06	0.3	2	20	2	0.25
11	0.03	0.5	1	17	0	0.75
12	0.02	0.7	0	18	0	1.0

Контрольные вопросы

1. Какие параметры являются ключевыми при описании распространения эпидемии и построении математической модели?

2. Чем неоднородные модели отличаются от однородных?

3. Если множество заболевших однородно и скорость передачи инфекции определяется параметром трансмиссии, то функциональная зависимость, включающая параметры, отвечающие за количество заболевших, инфицированных и здоровых, будет иметь вид:…

4. Каким уравнением можно описать изменение в субпопуляции заболевших, если продолжительность инфекции распределена экспоненциально со средним 1/ ?

5. По какому закону будут присваиваться величины признака особи, инфицированной недавно?

6. Каким свойством обладает коэффициент вариации в любой момент времени?

Список литературы

1. Бондарчук С.С., Перевозкин В.П. «Математическое моделирование в популяционной экологии»,Томск: Томский государственный педагогический университет, 2014г.

2. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. «Динамические системы и модели биологии», М: Драфт, 2011г.

Практическая работа №29

Моделирование мутуализма

Цель: рассмотреть модели мутуализма, решить тематические задачи.

Краткие теоретические сведенья

Мутуализм (от лат. mutuus - взаимный) -это взаимовыгодные отношения между видами, при которых присутствие одного партнера становится необходимым условием для существования другого. Мутуалистические отношения очень широко распространены в природе. Одним из самых известных примеров таких отношений являются лишайники, представляющие собой неразделимое сожительство грибов и водорослей.

На первый взгляд создать математические модели мутуалистических взаимоотношений нетрудно. Для этого уравнение Лотки—Вольтерры, описывающее рост популяции одного вида, т. е. dN₁dt = r₁*N₁{K₁—N₁ K₁), следует видоизменить, введя коэффициент (+α*N₂)/K₁, определяющий, наcколько особи вида 2 способствуют увеличению скорости роста популяции вида 1. Такое же уравнение может быть получено для вида 2 с использованием коэффициента (+β*N₁)/K₂ ,в этих уравнениях учитывается возможность увеличения численности каждого вида в присутствии другого вида, т. е. признак истинно мутуалистических отношений.

Однако такая модель воспроизводит ситуацию, в которой численность обоих мутуалитов взрывообразно и неограниченно возрастает. Очевидно, что это нереалистично. Другие попытки моделирования мутуализма приводят к заключению, что такое взаимодействие довольно нестабильно. Но большая часть данных, полученных в естественных условиях, показывает его высокую устойчивость и способность быстро, восстанавливаться после нарушений. Почти наверняка неудача этих моделей объясняется их подходом к мутуализму как к зеркальному отражению конкуренции; в них предусматривается, что ограничения роста популяции, существующие для отдельного вида, при мутуализме ослабятся. В действительности же большинство случаев мутуализма, вероятно, не ослабляет ограничения, а устраняет, замещая другими.

Например, если у кишечнополостного появляется фотосинтезирующий эндосимбионт, углеродное питание перестает быть лимитирующим рост фактором, и на первый план, по-видимому, выходят иные ограничения. Такое состояние может быть вполне устойчивым.

Простая модель мутуализма. Мейер, Цучия и Фредериксон изучали устойчивость популяций двух видов, находящихся в мутуалистических взаимосвязях, и описали систему уравнениями

При выводе этих уравнений допускалось, что в среде содержатся все необходимые питательные вещества за исключением s₁ (продуцируемого n₂) и s₂ (продуцируемого n₁).

Сочетание мутуализма с конкуренцией. Мейер и другие предположили, что для решения задачи стоит учитывать зависимости роста двух видов от общего субстрата s₃; эта зависимость может быть отражена в виде отдельного множителя в каждом выражении типа уравнения Моно, например в уравнении ( ).

Мутуализм и субстратное ингибироваиие. Второе решение, соответствующее устойчивому состоянию системы в хемостате без вымывания (сосуществованию видов), возможно в том случае, если допустить, что рост видов подчиняется уравнению Эндрюса: