Лабораторная работа № 2. Проверка статистических гипотез о законах распределения. Определение гарантированной скорости предела сквозного пробития Vпсп методом статистических испытаний.

Цель работы: Ознакомление с методом статистических испытаний. Определение вида и параметров закона распределения случайной величины V_псп – скорости сквозного пробития преграды. Определение гарантированной скорости сквозного пробития.

слении характеристик этого процесса.

Постановка задачи.

Рассматривается стрельба артиллерийским бронебойным снарядом по бронеплите. В качестве показателя эффективности действия БП-ов используется величина V_псп – скорость предела сквозного пробития. Показатель зависит от двух групп факторов (рис.1): конструктивных характеристик БП и их технологических отклонений. Из числа конструктивных характеристик учитываются:

d+d - калибр [м];

q+ q - масса [кг];

h_гч+ h_гч - высота головной части [м];

b+ b - толщина преграды [м];

_т+_т - предел текучести материала преграды [Па];

+ - плотность материала преграды [кг/м³];

d_т+ d_т - диаметр притупления головной части [м].

Рекомендуемые примерные отклонения параметров +:

калибр - до 0.5%;

масса - (2/3)%;

высота головной части - до 5%;

толщина преграды - до 0.5% ;

предел текучести мат. преграды - до 3% ;

плотность мат. преграды - до 1%;

диаметр притупления головной части до 1%.

500 количество опытов

10 количество pазpядов (выбирается в зависимости от количества опытов);

Требуется, используя метод вычислительного эксперимента, рассчитать статистические характеристики распределения значений скорости предела сквозного пробития преграды, установить вид и параметры закона распределения. Сделать выводы по результатам исследования.

Рис.1 Расчетная схема.

Описание метода.

Метод исследования: метод статистических испытаний заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычи

Статистической гипотезой (СГ) называется любое предположительное суждение о вероятностных характеристиках случайных величин.

Различают два вида статистических гипотез: о законах распределения и о числовых характеристиках. Например, предположение о том, что исследуемая случайная величина подчиняется нормальному распределению, является статистической гипотезой первого вида.

Любая СГ может быть принята или отклонена только после проверки ее соответствия опытным данным. Сущность проверки заключается в том, чтобы установить, можно ли расхождение между гипотезой и опытными данными (а такое расхождение всегда будет иметь место) отнести на счет случайной погрешности.

Очевидно, что положительный ответ на данный вопрос будет свидетельствовать в пользу выдвинутой гипотезы. В противном случае придется заключить, что гипотеза не согласуется с опытными данными.

Правило, по которому принимается или отклоняется СГ, называется критерием проверки гипотез. Критерии формируются на основе статистик.

Характерной для практики задачей является аппроксимация эмпирических распределений некоторыми теоретическими, свойства которых известны.

где соответственно эмпирическое и теоретическое распределения. Из числа непрерывных распределений важную роль играет нормальное распределение, которое является основным для случайных величин, изменяющихся на бесконечном интервале, когда и отражает процессы, происходящие под воздействием большого числа факторов;

Следует, однако, помнить, что нередко одной и той же гипотезе Но, как показывает практика, может удовлетворять несколько теоретических распределений. Принятие гипотезы Но означает лишь то, что выбранное распределение не противоречит опытным данным. Продолжение испытаний может привести к опровержению сделанного заключения, причем для опровержения достаточно небольшого числа противоречащих основной гипотезе результатов (иногда единичного), в то время как для ее подтверждения необходим большой объем испытаний. Тем самым реализуется принцип асимметрии принятия решений.

Вторая особенность заключается в том, что критическая область всегда является правосторонней вследствие специфики применяемых статистических критериев. При этом, поскольку проверка гипотез о законах распределения всегда проводится при сравнительно большом числе опытных данных, то уровень значимости  = 0,1...0,3 до 0,4.

Наконец, выбор статистического критерия, как и выбор класса теоретических распределений не является формализованным и осуществляется на основе оценки свойств выборочной совокупности (прежде всего ее объема) и свойств самих критериев.

Рассмотрим свойства наиболее распространенных статистических критериев. Применительно к гипотезе первого типа, т.е. к гипотезе Но: , такими критериями являются: критерий (Пирсона), критерий  (Колмогорова) и критерий ² (Мазеса - Крамера - Смирнова).

Статистика критерия Пирсона имеет вид:

где i - порядковый номер интервала гистограммы;

k -число интервалов гистограммы,

mi - количество попаданий случайной величины в i-ый интервал,

n- общее число опытов

-эмпирическая вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал

pi=Fi(x) - теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал

Как видно, в качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим F(x) законами распределения критерий Пирсона использует относительный квадрат отклонений по всем интервалам гистограммы

Критическое значение табулировано и находится по уровню значимости  и числу степеней свободы =k-i-1 , где i- количество связей, определенно числом оценок параметров, вычисленных по данным выборки. Так, для нормального распределения i=2, если оба параметра x и Sx вычислены по результатам испытаний.

Гипотеза Но принимается, если расчетное значение .

Критерий используется при (по крайней мере ). Существенным его недостатком является произвол в разбиении области значений случайной величины на интервалах, что влияет на объективность вывода. Для того, чтобы уменьшить влияние этого недостатка на окончательное решение, целесообразно руководствоваться следующим положением: при слишком большом числе интервалов картина распределения исследования случайной величины искажается случайными зигзагами частот, слишком малочисленных при узких интервалах; при слишком малом числе интервалов сглаживаются и затушевываются характерные особенности распределения. Поэтому необходимы многовариантные расчеты с разным числом интервалов. В общем случае число k зависит от объема выборки n. Приведем некоторые рекомендации по его выбору:

n	50	100	500	1000	10000
k	8	10	13	15	20

Если интервалы одинаковой длины, то для ее определения используют величину размаха выборки R=Xmax-Xmin, где Xmax, Xmin - минимальное и максимальное значения выборки. В этом случае длина интервала определяется формулой:

Границы отделенных интервалов определяются соотношениями:

1-й интервал: xmin-; xmin-d,

2-й интервал: xmin-d; xmin-d,

…………………….

j-й интервал: xmin-id; xmin-id,

……………………

k-й интервал: xmin-kd; xmin-kd,

где =0,01d.

После выбора интервалов подсчитывают mi - число наблюдений, попавших в интервал [di], , т.е. в интервал включаются и те наблюдения, которые приходятся на левую границу интервала.