Лабораторная работа № 1. Обоснование статистических решений. Сравнение методов Байеса и минимакса.

Цель работы: Практическое применение методов обоснования статистических решений, основанных на байесовском риске. Сравнение методов Байеса и минимакса.

Постановка задачи.

Пусть производится диагностика состояния гидроцилиндра двигателя по содержанию железа в масле (параметр x). Задача состоит в выборе значения x₀ параметра x таким образом, что при x>x₀ следует принимать решение о снятии двигателя с эксплуатации, а при x< x₀ допускать дальнейшую работу.

Так как состояние системы характеризуется одним параметром, то система имеет одномерное пространство признаков, а область возможных решений содержит две подобласти: x< x₀ и x> x₀. Первой подобласти соответствуют исправное состояние системы _ и решение d₁, а второй - неисправное состояние _ и решение d₂ т.е.

при x< x₀ полагаем x d₁,

при x< x₀ полагаем x d₂.

Но по причине влияния многих факторов признак x является величиной случайной, имеющей свой закон распределения в каждой из этих подобластей, что показано на рис. 1.

Рис.1

Как видно из рисунка 1, плотности распределений пересекаются, так что кривая f(x/d₁) частично попадает в область дефектного состояния и наоборот - кривая f(x/d₂) частично расположена в области исправного состояния. Это означает, что параметр x неоднозначно характеризует состояние системы, в силу чего возможны ошибки в принятии решения по результатам измерения параметра x: ошибка 1-го рода , когда система в действительности исправна, но принимается решение d₂, и ошибка 2-го рода , когда система дефектна, но принимается решение d₁. Следовательно, граничное значение x₀ должно быть выбрано таким образом, чтобы последствия этих ошибок оказались приемлемыми с практической точки зрения.

Для получения такого решения необходимо конкретизировать условие задачи.

Пусть f(x/d) является плотностью нормального распределения с параметрами:

_

x₁ - 5 г (5 г железа на I тонну масла),

S₁ - 2 г,

_

x₂ - 12 г,

S₂ - 3 г,

Кроме того на основе анализа статистических данных установлено, что вероятность исправного состояния гидроцилиндра P₁= 0,9, т.е. P₂ = 1- P₁ = 0,1.

Примем также, что:

C₁₁ = C₂₂ = 0,

C₁₂= 1,

C₂₂= 20,

т.е. цена ошибки второго рода (цена пропуска дефекта) в 20 раз больше цены ошибки 1-го рода (цены ложной тревоги).

При этих исходных данных необходимо определить граничное значение x₀ и величину риска, используя байесовский принцип и принцип минимакса.

Описание методов : Метод Байеса :

Рассмотрим случай, когда технический объект подвергается испытанию с целью определить возможность его дальнейшего использования. При такой постановке задачи фактически предполагается 2 возможных состояния:

₁ - объект работоспособен; вероятность - Р_1;

₂ - объект не работоспособен ; вероятность - Р_2.

Р₁ и Р₂ известны нам, еще до проведения испытаний.

Соответственно и множество возможных решений D будет двухкомпонентным D{d₁,d₂}:

d₁ - объект находится в состоянии _1;

d₂ - объект находится в состоянии _2.

Пусть объективным признаком возможных состояний является некая измеренная на опыте случайная величина X. Будем полагать, что закон распределения этой случайной величины нам известен. При этом для обоих состояний вид закона один и тот же, но параметры различны.

При этом имеем :

;

,

М[x]=m_i - математическое ожидание случайной величины X в состоянии _i

=D[x] - дисперсия случайной величины X

Представим на графике плотности распределения f ( x /₁ ) и f ( x /₂ ).

Определим на этом графике некоторую граничную точку X_O, такую, что, если X, измеренный на опыте, меньше X_О следовательно преимущественным является состояние ₁ и надо принимать решение d₁.

Если X X_O то ₂ ( d₂ ).

Однако, как видно из рисунка, при X X_O существует вероятность пребывания объекта в состоянии ₁. Эта вероятность численно равна заштрихованной на рисунке площади:

P₁₂ = ) dx = ) dx ,

где: Р₁₂ - вероятность совершить ошибку 1-го рода ( отвергаем истину )

С₁₂ - плата за эту ошибку

При X X_O может проявиться с какой-то вероятностью состояние ₂

То есть аналогично : P₂₁ = ) dx = ) dx

Где, Р₂₁ - ошибка 2-го рода ( ложь принимаем за истину )

С₂₁ - цена ошибки 2 - го рода.

В остальных случаях решения будут правильными и цена их будет С₁₁ и С₂₂ (премии). Обычно С₁₁ и С₂₂ принимаются равными нулю.

Их вероятности:

P₁₁ = ) dx ;

P₂₂ = ) dx .

Таким образом, по итогам испытания могут быть приняты как правильные, так и неправильные решения, то есть функция потерь может быть представлена так называемой платежной матрицей:

Каждый элемент этой матрицы может проявиться с определенной вероятностью, то есть платежной матрице можно поставить в соответствии матрицу вероятностей

На самом деле это матрица условных вероятностей.

Для перехода к матрице безусловных вероятностей, необходимо знать с какой вероятностью проявляются сами состояния ₁ и ₂

Любой этот элемент представляет собой вероятность одновременного свершения двух событий. Можно без труда определить математическое ожидание некоторой случайной величины С - платы за принятое решение.

М = R - средний риск

Зная матрицу С и Р можно легко записать значение для R :

R = C₁₁P₁P₁₁ + C₁₂P₁P₁₂ + C₂₁P₂P₂₁ + C₂₂P₂P₂₂ ( 1 )

Зависимость ( 1 ) есть функция X_O. Мы заинтересованы в том, чтобы

R min ( 2 )

Зависимость ( 2 ) называется байесовский риск, а правило принятия решений на основе ( 2 ) называется байесовским принципом решений на множестве D.

Представив ( 1 ) в развернутом виде можно найти dR/dX_O и тогда получим:

dR/dX_O = C₁₁P₁f ( X_O/d₁ ) - C₁₂P₁f( X_O/d₁ ) + C₂₁P₂f( X_O/d₂ ) - C₂₂P₂f( X_O/d₂ ) = 0

f ( X_O/d₁ ) (C₁₂P₁ - C₁₁P₁) = f ( X_O/d₂ ) ( C₂₂P₂ - P₂₁P₂ )

f ( X_O/d₁ ) / f ( X_O/d₂ ) = ( C₂₂ - C₂₁ ) P₂ / ( C₁₁ - C₁₂ ) P₁ =

Если по итогам испытаний будет получено такое значение признака, то есть величина х, при котором отношение f ( x/d₁ ) / f ( x/d₂ ) , то X X_O и нужно принимать решение d₁, а иначе - d₂.

Частные случаи :

1. На практике бывают случаи когда элементы платежной матрицы неизвестны и их полагают C₁₂ = C₂₁ = 1, тогда = Р₂ / P₁, если С₁₁ = С₂₂ = 0. Это, так называемое, условие идеального наблюдения (условие Зигерта - Котельникова).

2. Априорные вероятности равны друг другу следовательно = 1 - случай max правдоподобия. Если f ( x/d₁ ) f ( x/d₂ ) следовательно нужно принимать решение d₁.