Пример оформления отчета по лабораторной работе №1

Л

Петров К.С.

гр. Е531

абораторная работа - 1

Обоснование статистических решений. Сравнение методов Байеса и минимакса.

Цель работы:

1. Практическое применение методов обоснования статистических решений.

2. Сравнение методов Байеса и Минимакса.

Описание методов:

1. Метод Байеса: состоит в минимизации осредненного (Байесовского) риска.

Существует 2 возможных состояния:

₁ - объект работоспособен; вероятность - р_1;

₂ - объект не работоспособен; вероятность – р_2;

Р₁ и Р₂ известны нам, еще до проведения испытаний;

Признаком возможных состояний является некая измеренная на опыте случайная величина-X;

Р₁₂ - вероятность совершить ошибку 1-го рода;

С₁₂ - плата за эту ошибку ;

Р₂₁ - вероятность совершить ошибку 2-го рода;

С₂₁ - цена ошибки 2 - го рода;

R - средний риск ;

R = C₁₁P₁P₁₁ + C₁₂P₁P₁₂ + C₂₁P₂P₂₁ + C₂₂P₂P₂₂

R min- байесовский риск.

f ( X_O/d₁ ) / f ( X_O/d₂ ) = ( C₂₂ - C₂₁ ) P₂ / ( C₁₁ - C₁₂ ) P₁ =

Если по итогам испытаний будет получено такое значение признака, то есть величина х, при котором отношение f ( x/d₁ ) / f ( x/d₂ ) , то X X_O и нужно принимать решение d₁, а иначе - d₂.

2. Минимаксный принцип: состоит в минимизации максимального риска.

Состояния ₁ и ₂,

решения d₁ и d₂ ;

f ( x/d₁ ), f ( x/d₂ ) - заданы

C₁₁=C₂₂=0; C₁₂, C₂₁ - заданы.

P₁ и P₂ - неизвестны.

P₂ = 1- P₁

= C₂₁ / C₁₂ P₂ / P₁ = C₂₁ / C₁₂ 1-P₁^* / P₁^*

Если известно, то вступает в действие принцип Байеса

min max R = C₁₂P₁^* )dx + C₂₁ ( 1-P₁^* ) ⁾

Исходные данные:

результаты измерений содержания железа в масле гидроцилиндра г/т
годный	4,7	3,8	6,2	4,3	6,4	5,5
негодный	12,3	10	13,7	11,1	11,1	9

Результаты расчетов:

среднее значение	дисперсия	с.к.о.
5,15	1,107	1,052141
11,2	2,752	1,658915
Зависимость Х0 от значения цены ошибки 2-ого рода.
C21	P1	Минимакс	Байес
1	0,9	7,784	11,306
10		6,231	9,341
50		5,137	7,732
100		4,688	6,949
500		3,817	4,786
1000		3,534	3,597

Зависимость Х0 от значения вероятности Р1.

C21	P1	Минимакс	Байес
20	0,5	5,756	6,226
	0,6	5,756	6,731
	0,7	5,756	7,25
	0,8	5,756	7,846
	0,9	5,756	8,678
	0,99	5,756	10,825

Выводы:

1. С ростом цены ошибки второго рода решение по методу Байеса приближается к решению по методу минимакса, и оба решения становятся более строгими.

2. С ростом вероятности нахождения изделия в годном состоянии Р1 решение по методу Байеса становится более мягким (разрешает более длительную эксплуатацию изделия). Решение по методу минимакса не зависит от вероятности Р1.

3. В любом случае решение по методу минимакса является более строгим, чем по методу Байеса, то есть применяется тогда, когда риск выше.