2.5 Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть члены знакоположительного ряда

(31)

являются значениями непрерывной неотрицательной и монотонно убывающей на полуинтервале функции при целочисленных значениях ее аргумента, т. е.

тогда: если сходится несобственный интеграл , то сходится и ряд, если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд.

.Доказательство. ► В соответствии с условием теоремы рассматриваемый ряд может быть представлен в виде

.

Пусть какая-либо первообразная функции , и так как , то возрастает с ростом и при имеет предел, конечный или бесконечный. Введем в рассмотрение числовую последовательность . Тогда, в первом случае последовательность сходится, т. е.: , где - конечно, а значит, сходится и ряд

= , (32)

поскольку его сходимость эквивалентна существованию предела варианты . Во втором случае последовательность расходится и расходится ряд (32). С этим рядом и сравним рассматриваемый ряд.

По формуле конечных приращений Лагранжа, общий член ряда (32) может быть представлен в виде

, (33)

так что вследствие монотонности функции имеем:

,

и тогда, в случае сходимости интеграла сходится ряд (32), а значит, по признаку сравнения, сходится и ряд (31), так как его общий член меньше общего члена сходящегося ряда (32). Если же интеграл расходится, то расходится ряд (32), а значит и ряд (31) так как его общий член больше общего члена расходящегося ряда (32). Теорема доказана. ◄

Пример 11. Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда .

Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Введем функцию и рассмотрим несобственный интеграл при . Имеем:

то есть при интеграл расходится, а при сходится. Если , то

то есть интеграл тоже расходится. Таким образом, в соответствии с интегральным признаком Коши, обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Пример 12. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся вновь интегральным признаком Коши. Полагая , находим:

и так как интеграл расходится, то расходится и ряд.

Лекция 3.

3.1 Знакопеременные ряды

Определение. Числовой ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные числа, называется знакопеременным рядом

Пример:

.

3.2 Знакочередующиеся ряды

Среди знакопеременных рядов особое значение имеют знакочередующиеся ряды

Определение. Числовой ряд, в котором за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным - положительный, называется знакочередующимся рядом.

Пример:

.

В дальнейшем условимся записывать знакочередующийся ряд в виде

, (34)

считая числа положительными, но подчеркнем, что там, где стоит знак минус, членами ряда являются именно отрицательные числа .

Для знакочередующихся рядов существует следующий достаточный признак сходимости.

Признак Лейбница

Теорема. Если члены знакочередующегося ряда

по абсолютной величине убывают т. е.

, (35)

и его общий член стремится к нулю при , т. е.

, (36)

то этот ряд сходится, его сумма положительна и не превышает по величине первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

Сгруппируем ее члены попарно следующим образом

.

В силу неравенств (35), все слагаемые в скобках положительны, так что и возрастает с ростом . Сгруппируем теперь члены в по-другому:

Сумма в квадратных скобках, очевидно, положительна, и поэтому .

Итак, мы показали, что последовательность четных сумм возрастает с ростом , оставаясь ограниченной. Следовательно, она имеет предел

,

и так как ,

.

Рассмотрим частичную сумму нечетного числа членов ряда, и так как

,

находим:

,

так как по условию (а значит и ). Поскольку, последовательности четных и нечетных частичных сумм имеют один и тот же предел , то и , причем, . Теорема доказана. ◄

Замечание. Так как добавление или отбрасывание конечного числа первых членов не изменяет сходимости ряда, то для сходимости знакочередующегося ряда достаточно чтобы неравенства (35) имели место начиная с некоторого . Убывание членов ряда по абсолютной величине начиная с первого члена ряда необходимо для того чтобы можно было сделать заключение о том, что сумма ряда положительна и не превышает по величине первого члена ряда.

Пример 13. Доказать сходимость ряда .

Решение. Действительно, члены данного ряда по абсолютной величине убывают

,

и его общий член стремится к нулю при ,

,

то есть ряд удовлетворяет признаку Лейбница и, следовательно, сходится.

Перейдем к рассмотрению произвольных знакопеременных рядов. Будем записывать такой ряд в виде

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными.