8.2 Условия разложимости функции в ряд Фурье

Пусть теперь произвольная периодическая с периодом функция. По формулам (14), (16) и (17) для нее могут быть вычислены коэффициенты Фурье и составлен ряд Фурье. Возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы формально составленный ряд Фурье имел бы эту функцию своей суммой? Ответ на этот вопрос дает теорема Дирихле. Предварительно дадим определения:

Определение 3. Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция монотонна (т.е. только возрастает или только убывает или постоянна).

П ример кусочно-монотонной функции приведен на Рис. 1.

Определение 4. Функция называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке , если она на этом отрезке кусочно-монотонна и имеет на нем не более чем конечное число точек разрыва первого рода.

Теорема (Дирихле) Если периодическая с периодом функция ограничена в интервале и удовлетворяет на нем условиям Дирихле, то формально составленный для нее ряд Фурье сходится на всей числовой оси, его сумма совпадает со значениями функции в точках ее непрерывности и равна среднему арифметическому пределов слева и справа в каждой точке разрыва, то есть

, (18)

если точка разрыва первого рода. На концах отрезка ряд Фурье сходится и его сумма равна

. (19)

Эту теорему мы примем без доказательства.

Пример 1. Периодическую с периодом функцию разложить в ряд Фурье.

Р ешение График функции представлен на Рис. 2. Функция, очевидно, кусочно-монотонна и ограничена в интервале и,

следовательно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к ней в точках ее непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье. Находим:

, ,

,

при этом было учтено, что . Полагая , получаем искомый ряд Фурье:

. ▲

Лекция 9.

9.1 Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Функция называется четной, если и называется нечетной, если . Произведение двух функций одной четности, очевидно, четная функция, а произведение двух функций разной четности – нечетная. Покажем, что интеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю, т.е.

, (20)

а от четной может быть представлен в виде

, (21)

В самом деле, в силу свойства аддитивности определенного интеграла

. (22)

Делая в первом интеграле замену переменной

и меняя местами верхний и нижний пределы, находим:

.

Имея в виду эти результаты, обратимся к формулам, определяющим коэффициенты Фурье.

Если функция четная, то , в силу четности и нечетности , функция четная, а нечетная и поэтому

, (23)

, (24)

. (25)

Ряд Фурье для четной функции, таким образом, принимает вид

. (26)

Говорят также, что четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам.

Если функция нечетная, то функция нечетная, а четная и, следовательно,

, (27)

, (28)

. (29)

Ряд Фурье для нечетной функции принимает вид:

, (30)

то есть, нечетная функция разлагается в ряд Фурье по синусам.

Пример 2. Периодическую с периодом функцию , определенную в интервале уравнением , разложить в ряд Фурье.

Р ешение. График функции изображен на Рис. 3. Функция четная и разлагается в ряд Фурье по косинусам. Поэтому достаточно вычислить коэффициенты и по формулам (23) и (24). Находим:

.

Полагая в последней формуле и подставляя в ряд (26), окончательно получаем:

.▲