2.3 Признак Даламбера

Теорема. Если при предел отношения -го члена ряда

к -му существует, конечен и равен ,то есть

, (29)

то при ряд сходится, при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым и нужно применить другой признак.

.Доказательство. ► Пусть предел (29) существует, конечен и . Покажем, что ряд сходится. Из определения предела следует, что для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех больших будет выполняться неравенство

или

Выберем настолько малым, чтобы было

.

Тогда для всех

,

или:

Рассмотрим теперь два ряда:

,

.

Второй из них представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Но тогда, поскольку члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, по признаку сравнения он тоже сходится. Так как этот ряд получен из исходного ряда путем отбрасывания его первых членов, что не влияет на сходимость ряда, то исходный ряд тоже сходится.

Пусть теперь то есть . Но тогда, для достаточно больших , , а это означает, что общий член ряда не стремится к нулю при , то есть для этого ряда не выполняется необходимый признак сходимости и такой ряд, следовательно, не может быть сходящимся. Теорема доказана. ◄

Пример 8. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем:

,

Вычисляя предел (29), находим:

при этом была использована эквивалентность бесконечно малых величин: . Так как предел меньше единицы, то рассматриваемый ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Имеем:

,

и предел (29) равен

.

(было использовано свойство факториала ). Так как предел меньше единицы, то данный ряд сходится.

2.4 Радикальный признак Коши

Теорема. Если для знакоположительного ряда

существует и конечен предел

, (30)

то при ряд сходится, при расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым и нужно применить другой признак.

Доказательство. ► Пусть предел (30) существует, конечен и . Покажем, что ряд сходится. Из определения предела следует, что для любого положительного числа найдется такой номер , что для всех больших будет выполняться неравенство

или

Выберем настолько малым, чтобы было . Тогда для всех будет справедливо неравенство , или Рассмотрим два ряда

,

.

Второй из них представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Но тогда, поскольку члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда, то, по признаку сравнения, он тоже сходится. Так как этот ряд получен из исходного ряда путем отбрасывания его первых членов, что не влияет на сходимость ряда, то исходный ряд тоже сходится.

Пусть теперь , то есть . Но тогда, начиная с некоторого номера , будет иметь место неравенство , или . Последнее означает, что общий член ряда не стремится к нулю при , то есть для этого ряда не выполняется необходимый признак сходимости и такой ряд, следовательно, не может быть сходящимся. Теорема доказана. ◄

Пример 10. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Так как предел меньше единицы, то ряд сходится. При решении примера был использован второй замечательный предел , где бесконечно малая при .