2.1 Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Определение. Числовой ряд, все члены которого положительные числа, называется знакоположительным.

Отметим следующую особенность знакоположительного ряда: его частичные суммы

.

положительны и образуют возрастающую последовательность т.е.

.

2.2 Признаки сравнения

1). Непосредственный признак сравнения

Теорема. Пусть между членами двух знакоположительных рядов (u) и (v)

(18)

(19)

начиная с некоторого номера N выполняются соотношения

. (20)

Тогда, из сходимости ряда (v) следует сходимость ряда (u), а из расходимости ряда (u) следует расходимость ряда (v).

.Доказательство. ► Прежде всего отметим, что совершенно не существенно выполняются ли соотношения (20) для первых членов рядов, поскольку, согласно теореме 3, отбрасывание конечного числа первых членов ряда не влияет на его сходимость. Пусть и - -е частичные суммы рядов и соответственно за вычетом их первых членов, т.е.

.

Тогда, в силу соотношений (20),

,

и переходя к пределу при , получаем

.

Отсюда следует:

а) если существует и конечен предел последовательности частичных сумм , то существует и конечен и предел последовательности частичных сумм , что эквивалентно утверждению: если сходится ряд , то сходится и ряд ;

б) если предел последовательности частичных сумм не существует или бесконечен, то не существует или бесконечен и предел последовательности частичных сумм , что эквивалентно утверждению: если расходится ряд , то расходится и ряд . Теорема доказана. ◄

Для применения данного признака сравнения нужно располагать эталонными рядами, относительно которых заранее известно сходятся они или расходятся. В качестве таких эталонных рядов наиболее часто применяются:

геометрическая прогрессия

, (21)

которая сходится при , и расходится при ,

и обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)

, (22)

который, как будет показано ниже, сходится при показателе , и расходится при .

При этот ряд принимает вид

(23)

и называется гармоническим рядом. ¹

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку и ряд с общим членом расходится, то, по признаку сравнения, расходится и рассматриваемый ряд

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся тождеством: (для доказательства которого достаточно прологарифмировать его обе части) и тем фактом, что возрастающая функция и при достаточно больших справедливо неравенство , тогда

и так как обобщенный гармонический ряд с показателем сходится, то по признаку сравнения сходится и данный ряд.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку , и представляет собой общий член сходящейся геометрической прогрессии (со знаменателем ), то рассматриваемый ряд также сходится.

2). Предельный признак сравнения

Теорема. Если при предел отношения общих членов рядов

(24)

(25)

существует и конечен т.е.

и , (26)

то оба ряда (u) и (v) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. ► Пусть предел (26) существует и конечен, т. е. . Тогда для любого положительного числа при достаточно больших будет выполняться неравенство

или

(27)

Пусть ряд (v) сходится. Тогда из неравенства следует и так как по теореме 1 ряд с общим членом тоже сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд . Пусть теперь ряд расходится. Тогда из неравенства и признака сравнения следует, что будет расходиться и ряд с общим членом , а значит, в соответствии с теоремой 1, и ряд .Теорема доказана. ◄

Согласно необходимому признаку сходимости ряда, если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при , то есть является бесконечно малой величиной при . Поэтому для сходящихся рядов предел (26) эквивалентен утверждению, общие члены рядов и при являются бесконечно малыми одного порядка. Поскольку, как мы знаем, обобщенный гармонический ряд с общим членом сходится при , то отсюда вытекает следствие:

Следствие. Если при общий член ряда

является бесконечно малой величиной более высокого порядка чем , то есть если существует такое положительное число , что имеет место

, (28)

то данный ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Составляя предел (28), находим:

,

и, например, при получаем

то есть общий член ряда при является бесконечно малой более высокого порядка чем и, в соответствии со следствием к предельному признаку сравнения, этот ряд сходится.

Замечание. В качестве контрпримера приведем ряд . С одной стороны

,

а, с другой

,

при любом . То есть с одной стороны, при величина стремится к нулю быстрее чем , но с другой стороны она не является бесконечно малой более высокого порядка чем . Это объясняется тем, что при функция стремится к бесконечности, но медленнее чем любая положительная степень .