3.2.Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), множество возмож­ных значений которой .

Определение 3.1. Функцией распределения системы двух случайных вели­чин , рассматриваемой как функция переменных называется вероятность появления события :

F(x,y) = P{(X<x) (Y<y)}. (3.1)

С геометрической точки зрения функция распределения есть вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точ­ке (х, у), лежащей левее и ниже ее (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Рассмотрим свойства функции распределения.

1°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству

0 F(x,y) 1, .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойство следует из определения функции распределения как вероятности появления события {(X < х) ( < у)} , так как вероятность всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.

2°. Функция распределения двумерной случайной величины F(x, у) -неубывающая функция по каждому аргументу, т. е.

;

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что F(x, у) — неубывающая функция по аргументу х. Событие, состоящее в том, что составляющая X примет значение, меньшее , и при этом составляющая < у , можно разделить на сле­дующие два события:

1) X принимает значение, меньшее , при этом < у , с вероятностью

;

2) X принимает значение, удовлетворяющее неравенству х₁ Х < х₂ , при этом , с вероятностью .

Согласно аксиоме 3 Колмогорова,

= + .

Отсюда

или

Так как вероятность — число положительное, то

.

3°. Для функции распределения имеют место предельные соотношения:

Рис.3.2 Рис.3.3

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как — вероятность события , то такое событие невозможно, поскольку невозможно со­бытие следовательно, вероятность этого события равна нулю и т.д. F( ) есть вероятность события X < ) (Y < )}. Такое событие до­стоверно, вероятность его равна единице.

4 . При одном из аргументов, стремящихся к бесконечности ( ), функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

,

где и — соответственно функции распределения случайных величин X и Y (рис. 3.2).

Рис.3.2 Рис.3.3

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как событие достоверно, то F(x, ) определяет вероятность события {X < х}, т. е. представляет собой функцию составляющей X . Аналогично событие {X < } достоверно и F( , у) определя­ет вероятность события , т. е. является функцией F₂(y) .

Геометрически функция F₁ (x) (F₂(y)) случайной величины X ( ) есть вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную спра­ва абсциссой х (сверху ординатой у).

5°. Функция распределения F(x, у) системы двух случайных величин непрерывна слева по каждому аргументу.

Свойства 1°— 5° — характеристические. Это значит, что каждая функция F(x,y), удовлетворяющая указанным свойствам, является функцией распре­деления двумерной случайной величины (X, Y).

Функция распределения F (х, у) однозначно определяет распределение ве­роятностей P_XY(A) , так как всякое событие можно представить в виде конечного либо счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения событий .

Свойства 1°—5° функции распределения F(х, у) позволяют вычислять ве­роятности попадания двумерной случайной величины (X, Y) в любые прямо­угольные области, т. е. справедливы теоремы, приведенные ниже.

Теорема 3.1. Вероятность попадания случайной точки в бесконечную полу­полосу равна приращению функции распределения по одному из аргументов (рис. 3.3, 3.4):

= (3.2)

= (3.3)

Рис.3.4 Рис.3.5

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь геометрической интерпретацией функ­ции распределения двумерной случайной величины (X, Y), легко видеть, что событие можно представить в виде объединения несов­местных событий , где

Тогда, согласно аксиоме Колмогорова 3,

= +

или по определению 3.1

,

откуда и следует выражение (3.2).

Аналогично выводится и равенство (3.3).

Теорема 3.2. Вероятность попадания случайной точки (X, ) в прямоугольник вычисляется по формуле

(3.4)

Эта вероятность находится следующим образом: из вероятности попада­ния случайной точки в полуполосу АВ вычитается вероятность попадания слу­чайной точки в полуполосу CD (рис. 3.5).

Пример 3.2. Двумерная случайная величина задана функцией распределения

Найти вероятность попадания случайной величины в квадрат, вершины которого имеют следующие координаты: (0,0) ; (0,1) ; (1, 0) и (1,1) .

Р е ш е н и е. Искомая вероятность вычисляется по формуле (3.4):

Вопросы для самопроверки

1. Почему значения функции распределения находятся в пределах от 0 до 1?

2. Перечислите свойства функции распределения .

3. Как вычислить вероятность попадания случайной величины в прямоугольные области?