3. Системы случайных величин

Мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом, так называемые одномерные случайные величины. Однако в практических задачах очень часто приходится сталкиваться с экспериментами, в которых измеряют две, три, ..., п характеристик, образующих комплекс или систему. Подобные эксперименты называются многомерными. Для характеристики таких экспериментов вводится понятие системы случайных величин или многомерной случайной величины.

3.1. Определение многомерных случайных величин

Систему нескольких случайных величин определенных на вероятностном пространстве , будем обозначать . Случайные величины называются составляющими или компонентами многомерной случайной величины.

Пример 3.1. Пусть вероятностный эксперимент состоит в изготовлении установочных колец токарным автоматом. Тогда каждому элементарному событию — изготовление i-го кольца - можно поставить в соответствие следующие числа:

толщина кольца;

диаметр отверстия;

предел прочности;

масса кольца.

Следовательно, эксперимент описывается 4-мерной случайной величиной: .

Для геометрической интерпретации системы случайных величин используют понятие случайной точки, или случайного вектора. Например, систему двух случайных величин рассматривают при этом как случайную точку на плоскости с координатами Х и Y, т. е. А (X;Y) или случайный вектор, направленный из начала координат в точку (X, Y) на плоскости ХОY; система трех случайных величин - случайная точка А(Х, Y, Z) или случайный вектор в трехмерном пространстве и т. д.

Пусть на вероятностном пространстве задано п случайных величин: . Совокупность этих величин называется многомерной (п-мерной) случайной величиной. Обозначим множество возможных значений п-мерной случайной величины . Любое подмножество назовем событием. Тогда множество подмножеств, которые получают из множеств путем применения конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения, образуют -алгебру . В зависимости от того, являются ли случайные величины дискетными или непрерывными, вводится вероятность событий из .

Если случайная величина двумерная (X, Y), то множество ее возможных значений обозначается ; -алгебру образует система подмножеств (событий) , каждое из которых может быть получено из множества вида путем применения конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и дополнения. Вероятность любого события А вводится таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом:

.

В итоге получим распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), так как каждому событию ставится в соответствие неотрицательное число , удовлетворяющее аксиомам Колмогорова.

Тогда , где - множество возможных значений двумерной случайной величины; -алгебра числового множества. - распределение вероятностей двумерной случайной величины, на­зывается вероятностным пространством двумерной случайной величины (Х,Y).

Если (X, Y) - дискретная двумерная случайная величина (т. е. когда множество конечно или счетно), то -алгебру образуют из множеств (со­бытий) вида . Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) систему подмножеств строят из множеств (событий) вида .

Вопросы для самопроверки

1. С какой целью вводится многомерная случайная величина?

2. Сформулируйте определение многомерной случайной величины.

3. Что является множеством значений многомерной случайной величины?

4. Какие множества образут алгебру ?

5. Как задается распределение вероятностей многомерной случайной величины?