29. Маятник Обербека Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции маятника Обербека относительно оси вращения (без грузов на его спицах и с грузами) и проверка свойства аддитивности момента инерции.

Теоретическое обоснование

Маятник Обербека представляет собой инерционное колесо в виде крестовины (рис. 1) и предназначен для исследования закона динамики вращательного движения твердого тела и определения его момента инерции.

Основной закон динамики вращательного движения , (1) гдеМ – суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси его вращения; — угловое ускорение тела;I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Твердое тело можно представить как систему материальных точек. Скалярную величину , равную произведению массы материальной точки на квадрат расстояния ее от оси вращения, называют моментом инерции материальной точки относительно этой оси. Сумму моментов инерции всех точек тела относительно оси вращения называют моментом инерции тела относительно этой же оси:

[кгм² ]. Момент инерции можно вычислить по формуле(2)

Таким образом, момент инерции маятника Обербека изменяется при изменении положения грузов тп'на спицах прибора. Сравним формулу (1) с уравнением второго закона Ньютона для поступательного движения тела (материальной точки) и увидим, что момент инерции для вращательного движения тела имеет такой же физический смысл, как масса для движения материальной точки. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

При изменении расстояния перемещаемых грузов от оси вращения крестовины маятника Обербека угловое ускорение крестовины тем меньше, чем больше момент инерции системы относительно оси вращения.

Приборы и метод измерения

Из уравнения (1) следует, что под действием постоянного момента силы твердое тело получает постоянное угловое ускорение, т. е. вращается равноускоренно. Наблюдая равноускоренное вращение под действием постоянного момента М и измеряя соответствующим образом угловое ускорение Б, можно рассчитать момент инерции тела относительно оси вращения:(3)

Этот метод и используется в данной работе для определения момента инерции так называемого крестообразного маятника Обербека. Крестообразный маятник (см. рис. 1) состоит из четырех спиц, вставленных во втулку, укрепленную на неподвижной оси. На спицах на равных расстояниях от оси могут закрепляться одинаковые цилиндрические грузы. На оси находится также шкив, на который наматывается нить. К концу нити привязана платформа, на которую накладываются гири. Под действием веса платформы и гирь нить разматывается и маятник вращается с некоторым угловым ускорением . Это ускорение будет постоянным, так как платформа с гирями создает постоянный вращающий момент с плечом R, равным радиусу шкива. Платформа с гирями находится под действием двух противоположно направленных сил — силы тяжести ту и силы натяжения нити. Следовательно, второй закон Ньютона для платформы запишется так:

mg – T = ma, где m — общая масса платформы и положенных на нее гирь. Отсюда натяжение нити

T = m(g – a).

Это натяжение создает действующий на маятник вращающий момент M = TR = m(g – a)R

Подставляя полученное значение вращающего момента в (3), получим (пренебрегая моментом силы трения) , (4) где  — угловое ускорение маятника,  = a/R (очевидно, что линейное ускорение a окружных точек шкива, соприкасающихся с нитью, равно ускорению а, с которым движется нить), и, подставляя в (4), имеем . (5)

В свою очередь, ускорение а можно найти из формулы равноускоренного движения h == at²/2, откуда a = 2h/ t², где h — высота падения платформы.

Подставляя найденное значение ускорения в (5) и учитывая, что R = D/2, где D — диаметр шкива, будем иметь . (6)

Так как a << g, то h = at²/2 << gt²/2, или 2h << gt²/2. Это дает возможность упростить формулу (б). Пренебрегая 2h по сравнению с gt² получаем окончательно . (7)

Эта формула и является, рас четной. Все величины, входящие в правую часть, доступны прямому измерению.

Работа выполняется на одной из двух установок. При больших высотах падения (-1 м) используется механический секундомер для определения времени движения платформы (первая установка); при относительно малых высотах падения (не более 0,5 м) используется фотоэлектрическая схема определения времени движения платформы (вторая установка).