Теорема о спектрах.

-это круговая частота.

1. Пара преобразований Фурье

А) Прямое преобразование Фурье

Б) Обратное преобразование Фурье

2. Соотношение масштаба функции и ее спектра

Пример:

Возьмем функцию: Ее спектр будет: по формуле:

Если эта функция будет вдвое уже , то спектр ее будет вдвое шире:По формуле

Если эта функция вдвое шире, то ее спектр будет вдвое уже:По формуле

Если эта функция будет сведена к единичному импульсу, то ее спектр буде параллелен оси частот:

3. Принцип наложения или суперпозиций

Спектр суммы функций равен сумме спектров функции.

4. Теорема переноса или теорема запаздывания

Если у нас есть функция, которая смещается на , то у нас появляется фазовый сдвиг:

И обратно:

5. Если у нас есть функция, у которой спектр имеет сдвиг на , то сама функция будет изменена:

Функция сжимается и расширяется.

6. Теорема о спектре свертки

Если мы имеем свертку двух функций

при чем ;

То Фурье-преобразование будет определяться произведением спектров.

Теорема о спектре произведения

Спектр произведения функции равен свертке спектров этих функций.

Соотношение между спектром единичного, периодического и квазипериодического объектов.

1. Периодический объект

Периодический объект в виде прямоугольной решетки.

Этот объект характеризуется периодом p, шириной штриха и длинной штриха. Обычно длинна штриха и ширина просвета l равны друг другу.

Выделим из этого объекта один единичный объект – штрих:

Для единичного объекта – спектр представляет собой функцию sinc:

=2 sinc

И спектр будет иметь вид:

Частота будет равна

И мы получим из этого спектра выборку:

Для получения линейчатого спектра периодической решетки, нам надо осуществить выборку из спектра единичного объекта, формирующего эту решетку с частотой, соответствующей расстоянию между единичными объектами, формирующими эту решетку.

Квазипериодический объект – это отрезок периодического объекта на ограниченном пространстве. Из всего объекта выделяем кусок.

В результате получаем:

Наш спектр уже не истинно линейчатый, а вокруг каждой линии будет возникать спектр, определенный функцией sinc с параметром L.

Наш спектр будет иметь вид:

Чем уже кусок нашей решетки, тем шире будет расширение линии sinc.

Шумы и помехи в изображении

Шумы – это возникающие в изображении различного рода нарушения его целостности, структуры, которые являются нежелательными и ухудшают его качества.

Шумы могут быть случайными (стохастическими) и детерминированными.

Случайные возникают на первой стадии формирования изображения – как оригинала, так и обработки этого сигнала, когда он еще представлен в аналоговой форме.

Эти шумы могут быть разделены на две группы: шумы аналоговые и импульсные шумы.

Детерминированные шумы – это шумы, которые возникают при обработке компьютерной системой нашего изображения. Детерминированные шумы в свою очередь бывают – пространственной дискретизации и шумы квантования.

Случайные шумы проявляются еще в аналоговом изображении, еще на фотографическом материале.

При нормальном изменении оптической плотности, мы будем иметь вид нашей кривой:

А при микро фотометрии мы можем увидеть такие вот флуктуации:

Случайные шумы могут появляться и во время сканирования.

Также, на фоне непрерывно меняющегося сигнала могут быть импульсные выбросы – шумы.

• царапины

• пылинки

• грязь.

Случайное распределение оптической плотности и есть зернистость.

Случайный аналоговый шум возникает в любых системах.

Описание случайного аналогового шума

1. Невозможно предсказать текущее значение, которое принято в текущей точкепространства или текущий момент времени, в который принят данный сигнал.

2. Можно только оценить на определенной длине вероятностьпоявления текущего значения.

Кривая плотности вероятности

1

- нормальная кривая распределения, выражается, Гауссовской величиной.

Случайный шум можно охарактеризовать

1. Средним значением

2. Квадрат

3. Первым и вторым начальными распределениями: и

Есть функция симметричная, то величина шума не изменяет среднего значения сигнала т.е. первый начальный момент равен нулю.

Ширина кривой плотности распределения вероятности – это кривая, которая может быть описана с помощью второго центрального момента распределения или дисперсии:

Дисперсия

Корень квадратный из дисперсии - - это среднее квадратичное отклонение, которое тоже является важнейшей характеристикой шума.

Шум характеризуется не только величиной отношения, но также и частотными параметрами

2

Частотные свойства функции характеризуются функцией автокорреляции.

Функция автокорреляции.

Возьмём решётку – непрозрачные штрихи на не прозрачном фоне. Ширины просветов по размерам равны штрихам:

Освещённость после прохождения света уменьш на 0.5

=0,5

Представим, что у нас есть две таких решётки и будем эту решётку совмещать с первой решёткой. Если штрихи и просветы сложим, то всё так и останется =0,5.

Теперь мы вторую решётку смещаем на расстояние вправо. Это приведёт к тому что ширина просвета у нас сузится на , а штрих увеличится на .

Ещё сместим на - ещё расширится на это же расстояние. В конце концов, мы можем сместить так, что штрихи все закроют:

Для широкой решётки

Чем грубее решётка, тем

Для первой будет шире, а для второй уже.

Чем крупнее шум, тем будет шире функция автокорелляции.

Можно также записать как

Функция автокорреляции для случайного процесса является аналогом функции размытия линии описывающий детерминированный процесс.

Фурье преобразование функции автокорреляции даёт спектральную плотность мощности шума.

Спектральная плотность мощности шума:

Можем получить некоторую зависимость:

Шум имеющий функцию автокорреляции стремящуюся к -функции, называемой белым шумом; он имеет равномерный спектр без спада во всём диапазоне пространственных частот.

Белый шум – обычно невозможен (полностью белый шум) и речь идёт о квазибелом шуме, в котором в некотором пространстве частот близок к белому а в некотором диапозоне идёт спад.

Квазибелый шум – это шум с равномерным не зависящим от частоты распределением спектральной мощности в определённом диапазоне пространственных частот.

Стационарные шумы

Случайный шум называется стационарным, если все его статистические свойства описаны с помощью корреляционных моментов и они инвариантны относительно произвольного начала отсчёта пространства или времени.

Импульсный случайный шум. Методы описания.

Импульсный случайгый шум весьма многообразен. Может меняться всё: момент появления, знак, амплитуда.

Рассмотрим случай когда шум у нас имеет постоянный знак и имеет два значения:

Случайность заключается в случайной точке пространства, случайная частота, случайная ширина. Но величина их постоянна.

Эти шумы будут характеризоваться шириной амплитуды

Они будут характеризоваться по уровню 0 и 1

Если паузе нужного значения , а средняя длительность импульса при единичном значении амплитуды равна , то вероятность появления амплитудного значения 0 и 1 можно оценить как ; .

Сами эти параметры не зависимы друг от друга и распределены по экспоненциальному закону.

Среднее значение ожидания:

Для автокорреляционной функции талого шума получено выражение

Для спектральной мощности шума это выражение записывается как

Для импульсного шума

Взаимосвязь сигнала и шума. Понятие об отношении сигнал-шум.

В какой степени зависит величине шума от величины сигнала. Благодаря этому мы выделяем сигнал из шума.

Если статистические характеристики шума не зависят от величины сигнала, то такой шум называется аддитивным .

Общая величина сигнала – будет суммой сигнала и шума

Если статестические характеристики шума зависят от характеристики сигнала, то такой шум называется мультипликативным шумом.

При мультипликативном сигнале величины сигнала от шума перемножается с неким коэффициентом k:

Аддитивный или аддитивно-мультипликативный сигнал: