- •Предисловие
- •1.3. Принципы управления.
- •1.4. Задачи теории
- •Литература
- •2.1. Дифференциальное и операторное
- •2.3. Математические модели входных воздействий.
- •2.4. Переходная функция.
- •Литература
- •3.1 Усилительное звено.
- •3.2. Запаздывающее звено
- •3.3. Инерционное звено.
- •Построение выполняется по формуле
- •Вначале находим координаты пересечения:
- •Построение выполняется по формуле
- •Комплексная частотная характеристика
- •Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
- •В случае 0,3 нужно пользоваться точной лачх из-за возрастания амплитуды в окрестности резонансной частоты.
- •3.7. Апериодическое звено второго порядка.
- •3.8. Классификация типовых звеньев.
- •Литература
- •4.1. Построение и анализ структурных схем.
- •4.1.1. Элементы структурных схем
- •4.1.2. Метод анализа структурной схемы
- •4.2. Передаточные функции систем
- •4.2.1. Последовательное соединение звеньев
- •Параллельное соединение звеньев.
- •4.2.3. Система с обратной связью
- •4.2.6. Передаточная функция по ошибке
- •4.2.7. Передаточная функция по возмущению.
- •4.2.8. Передаточные функции системы с перекрестными связями
- •4.3. Статические и астатические системы
- •4.4.2.1. Перенос узла через узел.
- •4.4.2.2. Перенос сумматора через сумматор.
- •4.4.2.3. Перенос сумматора через узел по направлению передачи сигнала
- •4.4.2.4. Перенос сумматора через узел против направления передачи сигнала.
- •4.4.3. Перенос узла или сумматора через звено.
- •4.4.3.1. Перенос узла с выхода звена на вход.
- •4.4.3.2. Перенос узла с входа звена на выход.
- •4.4.3.3. Перенос сумматора с выхода звена на вход.
- •4.4.3.4. Перенос сумматора с входа звена на выход.
- •5.1. Понятие об устойчивости.
- •Записываем операторное уравнение
- •5.2. Критерий Гурвица. Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.
- •5.3. Критерий Михайлова.
- •Находим передаточную функцию замкнутой системы
- •5.4. Критерий Найквиста
- •Если система замкнутая, ее передаточная функция
- •Требуется, чтобы и в плоскости область устойчивости находилась слева от кривойD-разбиения, если двигаться от к. Левая сторона кривой штрихуется.
- •Литература
- •6.1. Прямые показатели качества
- •6.2. Косвенные показатели качества
- •6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей.
- •Интегральные оценки качества. Первая интегральная оценка:
- •6.3. Чувствительность к изменению
- •Литература
- •7.1. Понятие синтеза системы.
- •2. Пропорционально-интегральный регулятор (пи-регулятор)
- •3. Пропорционально-дифференциальный регулятор (пд-регулятор)
- •1. Последовательная коррекция.
- •2. Параллельная коррекция.
- •3. Коррекция по возмущению.
- •Литература
- •Преобразование сигналов импульсным устройством
Записываем операторное уравнение
(Tp2 + p)Y(p) = kX(p)
и передаточную функцию системы:
.
Полиномы числителя и знаменателя имеют вид:
.
Характеристическое уравнение разомкнутой системы D(p) = 0, то есть,
.
Корни этого характеристического уравнения действительные:
.
Пример 5.2.
Используя дифференциальное уравнение предыдущего примера, найти характеристическое уравнение и его корни для замкнутой системы.
Подставляя передаточную функцию разомкнутой системы в формулу (5.6), получаем характеристическое уравнение замкнутой системы:
.
Его корни:
Они могут быть как действительными (4 k T < 1), так и комплексными
(4 k T > 1) .
5.2. Критерий Гурвица. Устойчивость системы по Гурвицу выясняется с помощью характеристического уравнения. Составляется специальный определитель – определитель Гурвица. Правило следующее.
Намечают nстрок иnстолбцов (n– степень характеристического уравнения). В первый строке ставят все нечетные коэффициенты:a1,a3,a5. По главной диагонали, начиная с коэффициентаa1, слева-вниз-направо располагают последовательно все остальные коэффициенты. Столбцы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по нарастающим индексам, вниз - по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнения, заменяют нулями.
Определители Гурвица 5-го, 4-го, 3-го и 2-го порядков выглядят следующим образом.
n = 5 n = 4 n = 3 n = 2
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители были положительными.
Получим условия устойчивости для конкретных уравнений.
Характеристическое уравнение 2-й степени:
a0p2+a1p+a2 = 0 .
Ему соответствует определитель Гурвица 2-го порядка:
= a1a2 - a0 · 0 = a1a2. 2 = a1a2 .
Условие устойчивости: a0, a1, a2 > 0; 2 > 0, т.е. a1a2 > 0.
Характеристическое уравнение 3-й степени:
a0p3 + a1p2 + a2p + a3 = 0.
Ему соответствует определитель Гурвица 3-го порядка:
= a1(a2a3 - a10) - a3(a0a3 - 0·0)+0(a0a1 - a2·0).
Δ3 = a1a2a3 - a0a23.
Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3 > 0; Δ3 > 0, или, сокращая на a3, a1a2 – a0a3 > 0.
Характеристическое уравнение 4-й степени:
a0p4 + a1p3 + a2p2 + a3p + a4 = 0 .
Ему соответствует определитель Гурвица 4-го порядка:
= а1 - а3 + 0 – 0 .
Δ4 = a1a2a3a4 – a21a24 – a0a23a4 .
Условие устойчивости: a0, a1, a2, a3, a4 > 0, Δ4 > 0, или сокращая на a4, a1a2a3 - a21a4 - a0a23 > 0 .
Характеристическое уравнение 5-й степени:
a0p5 + a1p4 + a2p3 + a3p2 + a4p + a5 = 0 .
Опуская процедуру вычисления определителя, выпишем сразу условие устойчивости:
a0, a1, a2, a3, a4, a5 > 0,
(a1a2 – a0a3)(a3a4 – a2a5) – (a1a4 – a0a5)2 > 0 .
Можно составлять определители Гурвица и для характеристических уравнений более высокой степени, получая соответствующие условия устойчивости. Однако, объем вычислений нарастает с увеличением степени характеристического уравнения, поэтому считается приемлемым пользоваться критерием Гурвица для характеристических уравнений степени не выше пятой.
Определитель Гурвица позволяет найти коэффициент усиления на границе устойчивости. Коэффициент усиления – это свободный член характеристического уравнения, его индекс равен степени уравнения. Границей устойчивости будет условие Δ= 0. Откуда и вычисляется коэффициент усиления.
Пример 5.3.
Дана система, характеристическое уравнение которой имеет вид :
T1 T1T2T3p3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3)p2 + (T1 + T2 + T3)p + 1 + k = 0 .
Выяснить, будет ли система устойчивой, если T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, k = 19 ? Каким должен быть коэффициент усиления на границе устойчивости?
Записываем характеристическое уравнение 3-й степени в общем виде, сопоставляем его с заданным и заключаем:
a0= T1T2T3 , a2= T1+T2+T3 ,
a1= T1T2+T1T3+T2T3 , a3=1+k .
Все коэффициенты больше нуля, но надо проверить, будет ли определитель Гурвица больше нуля. Подставив числа в неравенство a1a2 - a0a3 > 0, обнаруживаем, что оно не выполняется: 66 - 120 < 0. Определитель оказался отрицательным. Следовательно, система неустойчива.
На границе устойчивости a1a2 - a0a3 = 0. Подставляя числа, имеем: 11·6 = 6 (1 + k). Коэффициент усиления на границе устойчивости k = 10.
П
Выяснить, будет ли устойчивой система с характеристическим уравнением
5p4 + p + 2 = 0 .
Сопоставив данное уравнение с его общим видом, получаем:
a0 = 5, a1 = a2 = 0, a3 = 1, a4 = 2.
По условию устойчивости a1a2a3 – a12a4 – a0a32 > 0. Это не выполняется:
-5∙12 < 0. Система неустойчива, хотя все коэффициенты положительные.
П
Звенья, передаточные функции которых
и,
соединяются последовательно. Выяснить, будет ли такая система устойчивой? Какую величину имеет постоянная времени T0 на границе устойчивости замкнутой системы?
Находим передаточную функцию разомкнутой системы
.
Ее знаменатель, приравненный к нулю, есть характеристическое уравнение. После сокращения на T0 характеристическое уравнение выглядит так:
T12p3 + T2p2 + p = 0 .
Сопоставляя с записью характеристического уравнения в общем виде, делаем вывод:
a0 = T12, a1 = T2, a2 = 1, a3 = 0.
Для уравнения 3-й степени условия устойчивости требуют, чтобы
a0, a1, a2, a3 > 0 , a1a2 - a0a3 > 0 .
Это соблюдается: T12 , T2 , 1 > 0 , T2 – 0 ∙ T12 > 0 . Следовательно, разомкнутая система устойчива.
Составим характеристическое уравнение замкнутой системы. Это будет сумма полиномов числителя и знаменателя, приравненная к нулю:
T0 T12p3 + T0T2p2 + T0(k1k2 + 1)p + k1k2 = 0.
Выписываем коэффициенты:
a0 = T0T12, a1 = T0 T2 , a2 = T0(k1k2 + 1) , a3 = k1k2 .
Выясняем устойчивость:
T0T12, T0T2 , T0(k1k2 + 1) , k1k2 > 0 .
Замкнутая система будет устойчивой, если
T0T2 (k1k2 + 1) - k1k2 T12 > 0 .
На границе устойчивости определитель равен нулю, из чего заключаем:
.