Двумерное дискретное преобразование Фурье

Обозначим через

двумерный сигнал, описывающее дискретное изображение размера строк и столбцов. Вне указанных границ этот сигнал не определен. Выполним периодическое продолжение данного финитного сигнала, введя двумерный периодический сигнал

Если сигнал   существует только внутри прямоугольника , со сторонами элементов, то сигнал определен на всей плоскости  и является на ней прямоугольно-периодическим.

Любой периодический сигнал может быть представлен в виде ряда Фурье, но, в отличие от одномерных сигналов, двумерные описываются двумерным рядом Фурье, имеющим вид:

(1). 

Базисные функции этого двумерного представления - двумерные комплексные экспоненты (иногда называемые комплексными синусоидами)

имеющие, как и сигнал , прямоугольную периодичность с тем же периодом . Здесь (k₁, k₂) - двумерный номер базисной функции, а величины  имеют смысл пространственных частот. Иногда пространственными частотами называют целочисленные величины k₁ и k₂.

Коэффициенты Фурье  ряда  (1) образуют двумерный частотный спектр сигнала  и определяются формулой прямого преобразования Фурье:

(2)

Выражение (1), восстанавливающее сигнал по его спектру , является обратным преобразованием Фурье. В справедливости преобразований  (1) и (2), называемых двумерным ДПФ, можно убедиться, подставив (2) в (1) и приведя правую часть полученного равенства к значению левой, т.е. к .

Математические модели

Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к. получателю заранее известно, каким будет передаваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер.

Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.

Случайный процесс Х(t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени xi(t), называемых реализациями или выборками.

Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: F_n (x₁, x₂,..., x_n; t₁, t₂,..., t_n), или плотность вероятности f_n (x₁, x₂,..., x_n; t₁, t₂,..., _tn).

Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями,поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f₁ (x, t), характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f₂ (x₁, x₂; t₁, t₂), характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)

;

средний квадрат (начальный момент второго порядка)

;

дисперсия (центральный момент второго порядка)

;

корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса

При этом справедливо следующее соотношение:

(6)

Стационарные процессы - процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.

Эргодические процессы - процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.

Гауссовы процессы - процессы с нормальным законом распределения:

(7)

Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.

В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.

Марковский процесс - случайный процесс, у которого вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.