Семестровое задание по сопротивлению материалов №1

0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Донбасский государственный технический университет

Кафедра Теоретической и строительной механики

СЕМЕСТРОВОЕ ЗАДАНИЕ №1

Тема: Статически неопределенная задача на растяжение-сжатие прямых стержней

Выполнил ст. гр. ГИ-06-3у

инд. №05220624

Рассказов С.А.

Проверил

Пупков В.С.

г. Алчевск, 2008

СЕМЕСТРОВОЕ ЗАДАНИЕ №1

Статически неопределенная задача на растяжение-сжатие прямых стержней

Исходные данные к расчету:

А=12 см²;

a=0,16 см;

b=0,17 см;

с=0,22 м;

P₁=14 кН;

P₂=45 кН;

Задание

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений  и перемещений  по заданным данным.

Решение

I. Составим расчетную схему задания.

Расчетная схема бруса представлена на рисунке 2. Ее можно разделить на три участка I-AB, II-DC, III-CD.

II. Определяем степень статической неопределенности задачи.

ССН=ЧН-ЧУ

где ЧН – число неизвестных реакций (в нашем случае 2); ЧУ – число уравнений статики, которые можно записать для данной системы (в нашем случае 1).

ССН=2–1=1, т.е. система один раз статически неопределима.

III. Запишем уравнения бруса.

Спроецируем все силы на ось бруса

где – реакции опор.

IV. Запишем полное удлинение бруса через сумму удлинений его участков.

где – удлинение участков бруса.

V. Выразим удлинение каждого из участков через усилия, действующие на этом участке.

Для случая, когда продольная сила на участке постоянна, удлинение i определяется по следующей формуле:

где – продольная сила, действующая на i-том участке; – длина i-го участка; – модуль упругости i-го участка; – площадь поперечного сечения i-го участка.

Подставляя соответствующие данные на первом участке получим:

На втором участке получим:

На втором участке получим:

VI. Получим выражение для определения продольной силы на каждом из участков (положительное направление продольной силы берем в сторону от сечения).

Применим метод сечений (Для удобства расчетные схемы повернуты на 90).

Первый участок: м,

Второй участок: м,

Третий участок: м,

VII. Подставляем полученные выражения для продольных сил в уравнение совместимости деформаций, полученное на IV этапе.

;

;

Подставив длины участков, получим:

;

;

.

VIII. Решаем систему из двух уравнений (уравнения равновесия и уравнения совместимости деформаций) и определяем реакции жестких заделок.

;

кН;

кН.

IХ. Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Построим эпюру продольных сил, для этого подставим найденные значения реакций опор в выражения для нахождения продольных сил, полученные на VI этапе.

Первый участок:

кН.

Второй участок:

кН.

Третий участок:

кН.

Эпюра N представлена на рисунке.

Построение эпюры нормальных напряжений.

Для построения эпюры напряжений  воспользуемся формулой

При использовании этой формулы приводим все единицы измерения в систему СИ (т.е. кН в Н, а см² в м²).

Тогда на первом участке имеем

МПа

На втором участке соответственно

МПа

На третьем участке:

МПа

Эпюра нормальных напряжений представлена на рисунке.

Х. Сделаем выводы о несущей способности стержня.

Поскольку на одном из участков напряжения не превысили =160 МПа, прочность стержня обеспечена.

ХI. Определяем удлинения участков и строим эпюру перемещений.

Так как на каждом участке продольная сила постоянна, для определения удлинения каждого из участков воспользуемся зависимостью:

Подставляя соответствующие данные на первом участке получим (подставляем в системе СИ):

м

На втором участке получим:

м

На третьем участке получим:

м

Определим перемещения границ участков:

м;

м;

м;

м

Эпюра перемещений изображена на рисунке.