7)Дифференциальное уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров.

Угол поворота сечения (θ) – это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

Угол поворота по часовой - <0. Угол поворота против часовой- >0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJ_z

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d²y/dx²)/[1+(dy/dx)²]^3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d²y/dx²=M(x)/EJ_Z

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJ_z)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий;

а) для консоли:

у_с=у(0), Q_с=Q(0)=0

в) для двухопорной балки

у_а=у(0)=0, у_в=у(3а)=0

Пять правил метода начальных парамеров;

1)начало координат всегда помещаем в первую крайнюю левую точку точку оси бруса. Это начало оси Х для всех участков.

2)при составлении выражения М(х) всегда учитывают внешние силовые факторы расположенные слева от поперечного сечения разреза.

3)в выражении М(х) внешний момент М_А умножают на скобку (х-а)⁰, где а –координата сечения в котором приложен момент М_А

4)если распределенная нагрузка q обрывается до поперечного сечения разреза, то ее дополняют фиктивной q, а для восстановления действительных условий нагружения вводят в рассмотрение компенсирующую нагрузку q равную по величине но противоположную по направлению.

5)интегрируем не раскрывая скобки.

8)Геометрические характеристики сечений. Определение координат центров тяжести и моментов инерции сечения сложной формы.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади).

Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; S_y=∫_AZdA, аналогично S_z=∫_AydA [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Z_{центра тяжести}• Α, Sz=У_ц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,y_ц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

J_z=∫_Ay²dA-момент инерции относительно оси z

J_y=∫_Az²dA-момент инерции относительно оси y [M⁴],[CM⁴]

b)Центробежный момент инерции.

Главные оси плоской фигуры –J_zy=∫_Az_ydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

J_ρ=∫_Aρ²dA={ρ²=z²+y²}=∫_Az²dA+∫_Ay²dA=J_y+J_z

Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее разбивают на части для которых известны положения центра тяжести и формулы S_z, S_y, тогда S_z,S_y сложные фигуры вычисляются по формулам у_Ц.Т. и Z_Ц.Т. которые приведены ниже.

где А-площадь поперечного сечения, у_Ц.Т. и Z_Ц.Т.- это расстояние от осей центров тяжести данной части сложной фигуры, до соответствующего положения начальных осей.

Момент инерции для сложного поперечного сечения;

J_Z=J_Zⁱ, J_У=J_Уⁱ

где J_Zⁱ=J_Z+(a_ZZ1)²A, J_Уⁱ=J_У+(a_УУ1)²А, где J_Z,J_У- моменты инерции простых фигур, а_УУ1 и а_ZZ1-расстояния от осей центров тяжести простой фигуры до соответствующей оси центра тяжести поперечного сечения сложной формы.