Параллелепипед с граничными условиями третьего рода

Рис. 28. Параллелепипед

Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи на всех гранях (рис. 28). В начальный момент времени температура во всех точках параллелепипеда одинакова и равна . Размеры параллелепипеда равны . Начало координат поместим в центр параллелепипеда. Уравнение теплопроводности имеет вид .

Параллелепипед можно рассматривать как тело, образованное пересечением трёх бесконечных пластин толщиной . В таком теле при принятых условиях температурное поле симметрично относительно центра параллелепипеда. Решение данной задачи может быть получено на основании теоремы перемножения решений. Решение представляется в виде

,

где ; ; есть решения одномерных уравнений теплопроводности для трёх бесконечных пластин , а

.

Цилиндр конечной длины

Цилиндр диаметром 2R и длиной находится в среде с постоянной температурой в условиях, аналогичным рассмотренным для параллелепипеда. Цилиндр конечной длины можно рассматривать как тело, образованное пересечением бесконечного цилиндра диаметра 2R и бесконечной пластины толщиной .

Рис. 29. Цилиндр конечной длины

Таким образом, применяя теорему перемножения решений, можно определить безразмерную относительную температуру в виде , где , . Значение находится по формуле (5.10), а значение – по формуле (5.14). Средняя безразмерная температура находится по формуле , где средняя безразмерная температура бесконечной пластины толщиной

, а средняя безразмерная температура бесконечного цилиндра радиуса R.

5.4. Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел

Анализ решений для тел различной формы показывает, что они имеют одинаковую структуру – сумму бесконечного ряда, члены которого убывают по экспоненте. Этот ряд в обобщённом виде можно записать следующим образом.

, .

Рис. 30. К регулярному режиму охлаждения

Коэффициенты ряда и зависят от формы тела. При малых значениях времени распределение температуры внутри тела и скорость изменения температуры в точках тела зависят от особенностей начального распределения температуры, т.е. от начальных условий. Этот период называется первой стадией процесса. С увеличением времени ряд быстро сходится

и, начиная с некоторого момента времени начальные условия уже не влияют на процесс охлаждения. Он полностью зависит от условий охлаждения на поверхности тела, теплофизических свойств, формы и размеров. Поле температур

описывается первым членом ряда . Логарифмируя это выражение, получим или

. (5.15)

Т.е. логарифм избыточной температуры для всех точек тела линейно зависит от времени. Этот период называется второй стадией охлаждения – регулярным режимом. При длительном охлаждении, т.е. при все точки тела принимают одинаковую температуру, равную . Этот период соответствует стационарному режиму.

Если продифференцировать (5.15) по времени, получим

.

Величина m имеет размерность 1/сек и называется темпом охлаждения. В регулярном режиме темп охлаждения не зависит ни от времени, ни от координат и одинаков для всех точек тела.

33