4.3. Критический диаметр цилиндрической стенки

Рис. 12. К критическому диаметру изоляции

Рассмотрим трубу, диаметром , покрытую слоем тепловой изоляции (см. рис.12). Выясним влияние диаметра изоляции на термическое сопротивление всей системы. Запишем термическое сопротивление системы труба-изоляция. (4.10) Построим график изменения Rl в зависимости от диаметра изоляции. Обозначим ; ; Построим графики изменения термических сопротивлений в зависимости от диаметра изоляции (см. рис.13). Как следует из рис. 13, при некотором

значении , термическое сопротивление системы имеет минимум, а тепловые потери – максимум (рис.14). Для определения значения исследуем (4.10) на экстремум.

Рис.13. Зависимость термических сопротивлений от диаметра изоляции

Рис. 14. Зависимость тепловых потерь от диаметра изоляции

.

Отсюда

.

Если , то с ростом диаметра изоляции тепловые потери растут и достигают максимального значения при . Затем при дальнейшем увеличении потери тепла начинают уменьшаться и при потери тепла становятся равным потерям неизолированной трубы и только при потери тепла начинают уменьшаться. Таким образом слой изоляции толщиной не выполнял функции тепловой изоляции.

Следовательно, критический диаметр изоляции должен быть меньше наружного диаметра изолируемой трубы, т.е. . В этом случае слой изоляции сразу же будет уменьшать тепловые потери. Найдём допустимую величину коэффициента теплопроводности изоляционного материала, положив .

.

4.4. Передача тепла через шаровую стенку

Поле температур в шаре описывается уравнением теплопроводности в сферических координатах. Связь сферических и декартовых координат задаётся соотношениями

;

;

.

Рис. 15. К шаровой стенке

Уравнение теплопроводности в сферических координатах имеет следующий вид. Пусть имеется полый шар с радиусами и . Если температура на поверхностях шара одинакова во всех точках поверхностей, перенос тепла будет происходить только в направлении радиуса. В стационарном тепловом режиме при постоянном коэффициенте теплопроводности уравнение можно упростить.

или

. (4.11)

Обозначив преобразуем (4.11) к виду

.

Решение имеет вид

.

Заменяя u получим уравнение

интегрируя которое получим общее решение уравнения.

. (4.12)

а) граничные условия первого рода

При ; при , . Для определения постоянных и получим два уравнения.

;

из которых найдём

; .

Распределение температуры в шаровой стенке есть

.

Тепловой поток через шаровую стенку равен

.

б) граничные условия третьего рода

При – тепло, которое передаётся от первой жидкости к стенке.

– тепло, которое переносится теплопроводностью через стенку;

При – тепло, которое передаётся от стенки ко второй жидкости.

Таким образом

.