2. Объем призмы

Объем призмы ранен V = Sоснов • H. где Sоснов — площадь основания призмы. H — ее высота.

Исходим из известного факта: объем параллелепипеда, равен

Vпар = Sоснов • H

(Sоснов - площадь основания, H — высота).

Начнем с частного случая. Пусть нам дана треугольная призма.

Достроим ее до параллелепипеда. Следовательно, параллелепипед состоит из двух равных призм, поэтому

С другой стороны,

а высота призмы и параллелепипеда общая. Из равенства

следует, что

Переходим теперь к общему случаю. Дана произвольная призма. В ее основании лежит многоугольник. Проведя в нем диагонали, исходящие, из одной вершины, разбиваем многоугольник на треугольники (рис. 39). Сечения, проведенные через эти диагонали и соответствующие боковые ребра призмы делят ее на определенное число n треугольных призм. Для призмы с номером k объем равен

Vk = Sk • H

где Sk — площадь ее основания, H — высота первоначальной призмы. Складывая объем треугольных призм, получаем объем первоначальной призмы

Переходим теперь к общему случаю. Дана произвольная призма. В ее основании лежит многоугольник. Проведя в нем диагонали, исходящие, из одной вершины, разбиваем многоугольник на треугольники (рис. 39). Сечения, проведенные через эти диагонали и соответствующие боковые ребра призмы делят ее на определе

1сам

Билет 13

1. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование

2.. Две пирамиды, имеющие равные высоты и равновеликие основания, имеют равные объемы.

Теорема 6.5.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

Доказательство

Теорема 6.6.

Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

Билет 14

1. Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е, приблизительно равному 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Знаменитое трансцендентное число е можно вычислить с любой степенью точности с помощью различных компьютерных алгоритмов.

Если a = е, то получаем красивый результат в виде

Производная логарифмической функции y = loga x определяется выражением

Для натурального логарифма y = ln x производная равна

2. Бъем тела есть неотрицательное число;

Если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих;

Объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице;

Равные геометрические тела имеют равные объемы.

Следствие. Если тело имеет объем V1 и содержится в теле, имеющем объем V2, то V1 < V2.

Теоремы для объемов тел

Т1 Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений: V=abc.

Т.2 Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту: V=SH

Т.3 Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту: V=SH

Т.4 Объем призмы равен произведению площади основания на высоту: V=SH

Т.5 Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы: V1′ = V2′

Т.6 Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту: V=31SH

Т.7 Объем любой пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту: V=31SH

Т.8 Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V= R2H

Т.9 Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: V=31R2H

Т.10 Объем усеченного конуса равен V=31 H(R2+Rr+r2), где R и r – радиусы оснований усеченного конуса.

Т.11 Для подобных фигур на плоскости, имеющих площадь, верна теорема: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Для подобных пространственных тел, имеющих объем, верна аналогичная теорема: отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Билет 15

1.сам

2.в ообще-то определения нужны наверное более серьёзные: функция Sin(x) из R в R на отрезке [-Pi/2,Pi/2] непрерывна и строго монотонна, область значений отрезок [-1,1] , значит по теореме об обратной функции к ней существует обратная функция из [-1,1] в R, которая и называется арксинусом, область значений [-Пи/2,Пи/2]. arcsin(sin(x)) для углов от -Пи/2 до Пи/2 это x. arcsin(sin(3/4*Pi))=Pi/4

аналогично Cos(x) из R в R на отрезке [0,Pi] непрерывна и строго монотонна, область значений [-1,1], значит существует обратная функция из [-1,1] в R, принимающая значения из отрезка [0,Пи], назовём её арккосинусом. arccos(cos(17/6*Pi))=5/6*Pi

Билет 16

1.сам

2. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр — круговой если в основании его лежит круг. См. также Площадь поверхности цилиндра

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V=π r2 h

Билет 17