1. Область определения функции — множество r всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная.

Функция нечетная: sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R.

График функции симметричен относительно начала координат.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

sin(x+2π·k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.

sin x = 0 при x = π·k, k ∈ Z.

sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k, π+2π·k), k ∈ Z.

sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π·k), k ∈ Z.Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Область определения функции — множество R всех действительных чисел.

Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная.

Функция четная: cos(−x)=cos x для всех х ∈ R.

График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π:

cos(x+2π·k) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R.cos x = 0 при

cos x > 0 для всех

cos x < 0 для всех

Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках:

Функция убывает от −1 до 1 на промежутках:

Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках:

Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках:

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: tg(−x)=−tg x для всех х из области определения.

График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. tg(x+π·k) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.tg x = 0 при

tg x > 0 для всех

tg x < 0 для всех

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.

График функции симметричен относительно оси OY.

Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π, т.е. ctg(x+π·k)=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.ctg x = 0 при

ctg x > 0 для всех

ctg x < 0 для всех

Функция убывает на каждом из промежутков

2. Определение

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема 1

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство:

Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости .

Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х.

Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам.

Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

Билет 9