2. Вам необходимо определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(X). Найдите первообразную f для заданной функции f. Постройте криволинейную трапецию.

Найдите несколько контрольных точек для функции f, вычислите координаты пересечения графика данной функции с осью OX, если они имеются. Изобразите графически другие заданные линии. Заштрихуйте искомую фигуру. Найдите x=a и x=b. Вычислите площадь криволинейной трапеции, используя формулу S=F(b)–F(a).

Пример I. Определите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией y=3x-x². Найдите первообразную для функции y=3x-x². Это будет F(x)=3/2x²-1/3x³. Функция y=3x-x² представляет собой параболу. Ее ветви направлены вниз. Найдите точки пересечения данной кривой с осью OX.

Из уравнения: 3x-x²=0, следует, что x=0 и x=3. Искомые точки – (0; 0) и (0; 3). Следовательно, a=0, b=3. Найдите еще несколько контрольных точек и изобразите график данной функции. Вычислите площадь заданной фигуры по формуле: S=F(b)–F(a)=F(3)–F(0)=27/2–27/3–0+0=13,5–9=4,5.

Пример II. Определите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x² и y=4x. Найдите первообразные для данных функций. Это будет F(x)=1/3x³ для функции y=x² и G(x)=2x² для функции y=4x. С помощью системы уравнений найдите координаты точек пересечений параболы y=x² и линейной функции y=4x. Таких точек две: (0;0) и (4;16).

Найдите контрольные точки и изобразите графики заданных функций. Легко заметить, что искомая площадь равна разности двух фигур: треугольника, образованного прямыми y=4x,y=0, x=0 и x=16 и криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x², y=0, x=0 и x=16.

Вычислите площади данных фигур по формуле: S¹=G(b)–G(a)=G(4)–G(0)=32–0=32 и S²=F(b)–F(a)=F(4)–F(0)=64/3–0=64/3. Итак, площадь искомой фигуры S равна S¹–S² =32–64/3=32/3.

Билет 4

1. Первообразная функции

Функция называется первообразной функции , если функция является производной функции .

У одной и той же функции много первообразных. Если - первообразная функции , то и любая функция , где С - число, является первообразной той же функции.

Доказательство. . Верно и обратное: если и - две первообразные одной и той же функции , то . И в самом деле, так как то , то есть . А производная равна нулю только у постоянной функции. Отсюда и получается, что , или , ч.т.д.

Неопределенным интегралом функции называется множество первообразных этой функции.

Неопределенный интеграл функции обозначается символом . Чтобы найти интеграл от данной функции, нужно найти любую ее первообразную и прибавить к ней произвольное число С. Так, , и т.д.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой , причем неотрицательна на отрезке . Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

разделить отрезок оси абсцисс на n равных отрезков;

провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой ;

заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием и высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;

найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна , где - любая из первообразных функции , график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

находится любая из первообразных функции .

записывается . - это формула Ньютона-Лейбница.

2. Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Другие виды цилиндра — (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.

Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.

Билет 5