Maloletov-diss

132

Al11=ξi lix−ξ j lix −x ji lix αj11−y ji lix α j21−z ji l ix α j31

Al21=ξi liy −ξ j liy −x ji liy α j11−y ji liy α j21−z ji liy αj31

Al31=ξi liz−ξ j liz−x ji liz αj11−y ji liz α j21−z ji liz α j31

Al12=ηi l ix−ηj lix−x ji lix α j12−y ji lix αj22−z ji l ix α j32

Al22=ηi l iy−ηj liy−x ji liy αj12−y ji liy αj22−z ji liy α j32

Al32=ηi l iz−ηj l iz−x ji liz α j12− y ji liz α j22−z ji liz α j32

Al13=ζi lix−ζ j lix −x ji lix αj13−y ji lix αj23−z ji lix α j33

Al23=ζi liy−ζ j liy −x ji liy αj13−y ji liy α j23−z ji liy αj33

Al33=ζi liz−ζ j liz−x ji liz αj13−y ji liz α j23−z ji liz α j33

Bl11=−ξ j(lix αj11 αi11+liy αj11 αi21+liz αj11 αi31)−ηj(lix α j12 αi11+liy αj12 αi21+liz α j12 αi31)− −ζ j (lix α j13 αi11+liy αj13 αi21+liz α j13 αi31)−ξ j l jx−x ji l ix αi11−x ji l iy αi21−x ji l iz αi31

Bl12=−ξ j(lix α j11 αi12+liy αj11 αi22+liz α j11 αi32)−ηj(lix αj12 αi12+liy αj12 αi22+liz α j12 αi32)− −ζ j (lix α j13 αi12+liy α j13 αi22+liz αj13 αi32)−ηj l jx−x ji lix αi12−x ji liy αi22−x ji liz αi32

Bl13=−ξ j(lix αj11 αi13+liy αj11 αi23+l iz αj11 αi33)−ηj (lix α j12 αi13+liy α j12 αi23+liz αj12 αi33)− −ζ j (lix α j13 αi13+liy α j13 αi23+liz α j13 αi33)−ζ j l jx −x ji lix αi13−x ji liz αi33−x ji liy αi23

Bl21=−ξ j(lix αj21 αi11+liy αj21 αi21+liz αj21 αi31)−ηj(lix α j22 αi11+liy αj22 αi21+liz α j22 αi31)− −ζ j (lix α j23 αi11+liy αj23 αi21+liz α j23 αi31)−ξ j l jy−y ji lix αi11−y ji liy αi21−y ji liz αi31

Bl22=−ξ j(lix α j21 αi12+liy αj21 αi22+liz α j21 αi32)−ηj(lix αj22 αi12+liy αj22 αi22+liz α j22 αi32)−

−ζ j (lix α j23 αi12+liy α j23 αi22+liz αj23 αi32)−ηj l jy−y ji lix αi12−y ji liy αi22−y ji liz αi32 Bl23=−ξ j(lix αj21 αi13+liy αj21 αi23+l iz αj21 αi33)−ηj (lix α j22 αi13+liy α j22 αi23+liz αj22 αi33)−

−ζ j (lix α j23 αi13+liy α j23 αi23+liz α j23 αi33)−ζ j l jy −y ji lix αi13−y ji liy αi23− y ji liz αi33 Bl31=−ξ j(lix αj31 αi11+liy αj31 αi21+liz αj31 αi31)−ηj(lix α j32 αi11+liy αj32 αi21+liz α j32 αi31)−

−ζ j (lix α j33 αi11+liy αj33 αi21+liz α j33 αi31)−ξ j l jz−z ji lix αi11−z ji liy αi21−z ji l iz αi31

Bl32=−ξ j(lix α j31 αi12+liy αj31 αi22+liz α j31 αi32)−ηj(lix αj32 αi12+liy αj32 αi22+liz α j32 αi32)− −ζ j (lix α j33 αi12+liy α j33 αi22+liz αj33 αi32)−ηj l jz−z ji lix αi12−z ji liy αi22−z ji liz αi32

Bl33=−ξ j(lix αj31 αi13+liy αj31 αi23+l iz αj31 αi33)−ηj (lix α j32 αi13+liy α j32 αi23+liz αj32 αi33)− −ζ j (lix α j33 αi13+liy α j33 αi23+liz α j33 αi33)−ζ j l jz−z ji lix αi13−z ji liy αi23−z ji liz αi33

Cl=−ξ j α j11 c2lx−ξ j α j21 c2ly−ξ j αj31 c2lz−ηj α j12 c2lx−ηj αj22 c2ly−ηj α j32 c2lz− −ζ j α j13 c2lx−ζ j α j23 c2ly−ζ j αj33 c2lz−x ji c2lx− y ji c2ly−z ji c2lz+hl

(2.78)

133

Am11=ξi mix−ξ j mix−x ji mix α j11− y ji mix α j21−z ji mix αj31

Am21=ξi miy−ξ j miy−x ji miy αj11− y ji miy αj21−z ji miy α j31

Am31=ξi miz−ξ j miz−x ji miz α j11− y ji miz αj21−z ji miz αj31

Am12=ηi mix −ηj mix−x ji mix α j12− y ji mix α j22−z ji mix αj32

Am22=ηi miy −ηj miy−x ji miy α j12− y ji miy α j22−z ji miy αj32

Am32=ηi miz−ηj miz−x ji miz αj12−y ji miz αj22−z ji miz αj32

Am13=ζi mix −ζ j mix−x ji mix α j13−y ji mix α j23−z ji mix αj33

Am23=ζi miy −ζ j miy−x ji miy αj13−y ji miy αj23−z ji miy α j33

Am33=ζi miz−ζ j miz−x ji miz α j13− y ji miz αj23−z ji miz αj33

Bm11=−ξ j(mix αj11 αi11+miy α j11 αi21+miz α j11 αi31)−η j(mix αj12 αi11+miy α j12 αi21+miz αj12 αi31)−

134

c2lx=lix (2α˙ i11 α˙ j11+2 α˙ i12 α˙ j12+2α˙ i13 α˙ j13)+ +liy(2 α˙ i21 α˙ j11+2 α˙ i22 α˙ j12+2α˙ i23 α˙ j13)+ +liz (2 α˙ i31 α˙ j11+2α˙ i32 α˙ j12+2 α˙ i33 α˙ j13)

c2ly=lix(2α˙ i11 α˙ j21+2 α˙ i12 α˙ j22+2α˙ i13 α˙ j23)+ +liy(2 α˙ i21 α˙ j21+2 α˙ i22 α˙ j22+2α˙ i23 α˙ j23)+ +liz (2 α˙ i31 α˙ j21+2α˙ i32 α˙ j22+2 α˙ i33 α˙ j23)

c2lz=lix (2 α˙ i11 α˙ j31+2 α˙ i12 α˙ j32+2α˙ i13 α˙ j33)+ +liy(2 α˙ i21 α˙ j31+2 α˙ i22 α˙ j32+2α˙ i23 α˙ j33)+

+liz (2 α˙ i31 α˙ j31+2α˙ i32 α˙ j32+2 α˙ i33 α˙ j33)

(2.80)

c2mx=mix (2α˙ i11 α˙ j11+2 α˙ i12 α˙ j12+2α˙ i13 α˙ j13)+ +miy (2 α˙ i21 α˙ j11+2α˙ i22 α˙ j12+2 α˙ i23 α˙ j13)+ +miz (2α˙ i31 α˙ j11+2 α˙ i32 α˙ j12+2α˙ i33 α˙ j13 )

c2my=mix(2α˙ i11 α˙ j21+2 α˙ i12 α˙ j22+2α˙ i13 α˙ j23)+ +miy (2 α˙ i21 α˙ j21+2α˙ i22 α˙ j22+2 α˙ i23 α˙ j23)+ +miz (2α˙ i31 α˙ j21+2 α˙ i32 α˙ j22+2α˙ i33 α˙ j23 )

c2mz=mix (2 α˙ i11 α˙ j31+2 α˙ i12 α˙ j32+2α˙ i13 α˙ j33)+ +miy (2 α˙ i21 α˙ j31+2α˙ i22 α˙ j32+2 α˙ i23 α˙ j33)+ +miz (2α˙ i31 α˙ j31+2 α˙ i32 α˙ j32+2α˙ i33 α˙ j33 )

Выражение для силы вдоль оси e

может быть представлено через проекции силы на оси подвижной системы отсчёта i тела

или окончательно через проекции момента сил на оси неподвижной системы отсчёта

+F ζ (α13 eix+α23 eiy+α33 eiz)=F e(t , X i , V i , X j , V j)

д) Поверхность как неудерживающая геометрическая связь. В

некоторых случаях контакт тела с поверхностью удобнее рассматривать как геометрическую неудерживающую связь. Такие случаи возникают когда нахождение нормальных реакций опорной поверхности является статическиопределимой задачей, что позволяет находить их более точно, не вводя предположений о физической природе взаимодействующих твёрдых тел.

При выполнении условия (2.33) контакт тела с поверхностью реализуется и накладывается связь, запрещающая перемещение в направлении нормали к поверхности:

Для поверхности, связанной с неподвижным телом (средой), проекции нормали к поверхности на оси неподвижной системы отсчёта не меняются с течением времени, производные уравнения связи находятся в виде:

С учётом замены реальной поверхности касательной плоскостью, производные от расстояний находятся приближённо выражениями (2.39) и

136

ρ¨ξ=ξ¨ ij ,

ρ¨η=η¨ ij , (2.86)

ρ¨ζ=ζ¨ ij .

Окончательно уравнение связи имеет вид:

ξ¨ ij nξ+η¨ ij nη+ζ¨ ij nζ=−2 a(ξ˙ ij nξ+η˙ ij nη+ζ˙ ij nζ )−b2 (ξij nξ+ηij nη+ζij nζ) (2.87)

Уравнение связи (2.87) дополняется двумя уравнениями для сил в касательной плоскости:

Если в правые части уравнений (2.88) не входит нормальная реакция Fn (например, в уравнениях (2.41) в случае F *τ <F **τ , F*b <F **b ), то эти уравнения подставляются в общую систему уравнений в виде:

Если правые части уравнений (2.88) от нормальной реакции Fn зависят линейно

137

где f τ , f b — функции обобщённых координат и скоростей, то выражения для сил принимают вид:

F (τ −n f )+F (τ −n f )+F (τ −n f )=0

Fξ(bξ−nξ f b )+Fη(bη−nη f b)+F ζ(bζ−nζ f b )=0 (2.91)

Вслучае нелинейной зависимости уравнений (2.88) от нормальной реакции Fn требуется реализация того или иного алгоритма численного решения в

зависимости от вида нелинейности и требуемой точности. Так, для случая зависимости от абсолютной величины Fn (например, в уравнениях (2.41) в случаеξ ξ ξ τ η η η τ ζ ζ ζ τ

F *τ≥F **τ , F*b ≥F **b ) достаточно проверить два решения: (2.91) и

2.4. Нестационарные связи и законы управления

а) Программные законы движения для свободного тела. Уравнения, задающие программные законы движения тела по форме соответствуют уравнениям нестационарной связи (2.20) или (2.22). При введении этих уравнений в теоретико-механическую модель определяются силы и моменты сил, обеспечивающие реализацию заданных законов движения.

Программные законы движения тел могут задаваться различными способами в зависимости от решаемой задачи. Так, для свободного твёрдого тела можно задавать законы изменения его обобщённых координат как функций времени, учитывающих также и изменения других величин.

138

Однако на практике при управлении шагающим аппаратом чаще всего возникает необходимость управлять корпусом аппарата, задавая его скорости в проекциях на оси подвижной системы отсчёта. Это связано с тем, что и операторводитель шагающей машины при ручном управлении, и система управления автоматического робота обычно имеют информацию о постоянно меняющейся внешней среде, которую получают «с борта» машины. Такой подход не является особенностью шагающих машин. Например, водитель автомобиля действует аналогично: с помощью педалей акселератора и тормоза управляет величиной скорости машины, а с помощью рулевого колеса управляет направлением скорости движения.

Если количество степеней свободы шагающего аппарата достаточно велико, то корпус шагающей машины может совершать пространственное движение и для его описания необходимо задать шесть уравнений вида:

Bix=V ix−B*ix (t , X )=0

Biy=V iy−B*iy (t , X )=0

Bir=ri−B*ir (t , X )=0

где B*l — функции, задающие законы изменения соответствующих скоростей; X — вектор, в общем случае содержащий параметры системы и окружающей среды, по которым строятся законы управления. В вектор X могут быть включены обобщённые координаты, обобщённые скорости и функции от них.

Выражения (2.93) дифференцируются и включаются в общую систему уравнений в форме (2.23). Если вектор X включает в себя обобщённые скорости, то при разрешении получающихся уравнений следует учитывать ускорения,

139

возникающие при дифференцировании функций B*l . Во всех остальных случаях единственным ускорением в каждом из уравнений (2.93) будет производная от первого слагаемого — соответствующей обобщённой скорости.

Выражения (2.93) могут быть представлены в виде матричного уравнения

где Ai — матрица коэффициентов при скоростях; Bi — матрица-столбец законов управления; Vi — матрица-столбец обобщённых скоростей:

Vi=(V ix ,V iy ,V iz , pi ,qi ,ri )T

Bi=(B*ix (t , X ) , B*iy(t , X ), B*iz (t , X ) , B*iq (t , X ) , B*ip (t , X ), B*ir (t , X ))T

Расширенная матрица, получающаяся объединением матриц Ai и Bi , определяется как матрица управления i тела. Аналогично могут быть построены матрицы управления систем твёрдых тел.

(цилиндрический шарнир). Для цилиндрического шарнира, рассмотренного в разделе 2.3, можно задать нестационарную связь, определяющую закон вращения тел относительно друг друга вокруг оси шарнира. Соответствующее уравнение заменит собой уравнение для момента сил (2.69).

140

Направление оси цилиндрического шарнира задаётся единичным векторомe , компоненты которого определяются выражениями (2.58) и (2.62).

Уравнение связи имеет вид:

Be=( pi eix+qi eiy+ri eiz )−( p j e jx+q j e jy+r j e jz )+ω ji (t , X )=0 (2.96)

где ω ji(t , X ) — закон изменения угловой скорости j тела относительно i тела. Справедливо выражение ωij (t , X )=−ω ji (t , X ) .

Первые производные от уравнения связи:

Полагая, что вектор параметров X не зависит от обобщённых скоростей (или более старших производных от координат) тел системы, и учитывая (2.65) дифференциальное уравнение связи приобретает вид:

(поступательная прямолинейная пара). Для поступательной прямолинейной пары, рассмотренной в разделе 2.3, можно задать нестационарную связь, определяющую закон относительного перемещения тел вдоль оси пары. Соответствующее уравнение заменит собой уравнение для силы (2.83).