Maloletov-diss

151

2. Логика работы объекта тела не подразумевает знание какой порядковый номер тело имеет в системе, и тем более — какие порядковые номера имеют взаимодействующие тела (хотя технически их и возможно получить). Однако, от этого зависят знаки коэффициентов при силах и моментах сил. Поэтому логичнее переложить вычисление знаков на среду.

Согласно описанному подходу будут сформированы матрицы определённой структуры. Так, i тело будет формировать матрицу вида:

Над матрицей для удобства выписаны переменные, которым соответствуют столбцы. Правый столбец содержит свободные члены уравнений.

Объект-взаимодействие i и j тел будет формировать пять матриц. Первые две из них будут записываться на основе уравнений (2.18), они одинаковы по структуре и отличаются только индексами (первая описывает действие j тела на i тело, а вторая — i тела на j тело):

Здесь «–» следует писать если i > j, а «+» — если i < j

152

Другие две матрицы будут включать в себя коэффициенты при обобщённых ускорениях, получающиеся в результате дифференцирования уравнений связи, в столбце свободных членов — все прочие (не содержащие обобщённых ускорений слагаемые) из уравнений (2.21) и (2.23).

Последняя матрица содержит в себе условия наложенные на силы и моменты сил (2.19).

Например, для силового взаимодействия эти две матрицы будут нулевыми, а третья матрица будет иметь вид:

Алгоритм сборки полной матрицы заключается в выполнении следующих действий. Уравнения, описывающие движение одного свободного тела отображаются в матрицу, схематично представленную на рисунке 2.2.

Светлые ячейки соответствуют нулевым коэффициентам, серые ячейки — коэффициентам отличным от нуля, тёмно-серые — столбец свободных членов.

Рисунок 2.2 — Схема матрицы уравнений, описывающих движение одного твёрдого тела.

153

При добавлении второго тела матрица увеличивается на 6 строк и столбцов, элементы столбца свободных членов переносятся в крайний правый столбец, а в добавленные ячейки помещаются коэффициенты уравнений второго тела (см. рисунок 2.3).

Светлые ячейки соответствуют нулевым коэффициентам, серые ячейки — коэффициентам отличным от нуля исходной матрицы (рисунок 2.2) первого тела, тёмно-серые — коэффициентам добавленной на данном этапе матрицы второго тела.

Рисунок 2.3 — Схема матрицы уравнений, описывающих движение двух свободных твёрдых тел.

Если первое и второе тело взаимодействуют друг с другом, то матрица увеличивается ещё на 6 строк и столбцов. Элементы столбца свободных членов опять переносятся в крайний правый столбец, а в добавленных ячейках размещаются матрицы, сформированные объектом-взаимодействием. Элементы в добавленных столбцах первых 12 строк имеют строгую структуру, которая определяется способом задания сил взаимодействия между телами. А элементы на последних 6 строках определяются уравнениями связей — и их структура зависит

154

от вида связи. Для примера на рисунке 2.4 показана структура матрицы, получающаяся при введении в систему сферического шарнира.

Светлые ячейки соответствуют нулевым коэффициентам, серые ячейки — коэффициентам отличным от нуля исходной матрицы (рисунок 2.3) для двух свободных тел, тёмно-серые — коэффициентам добавленных уравнений связи.

Рисунок 2.4 — Схема матрицы уравнений, описывающих движение двух твёрдых тел, соединённых друг с другом сферическим шарниром.

Действия повторяются при включении в систему новых тел и взаимодействий. На рисунке 2.5 показана структура матрицы, получающейся при добавлении в рассматриваемый пример третьего твёрдого тела.

Светлые ячейки соответствуют нулевым коэффициентам, серые ячейки — коэффициентам отличным от нуля исходной матрицы (рисунок 2.4), тёмносерые — коэффициентам уравнений третьего тела.

Рисунок 2.5 — Схема матрицы уравнений после добавления в систему третьего тела.

2.6.2.Особенности реализации численных методов

Для численного определения производных используются известные разностные схемы [13, 224]:

где f — дифференцируемая функция; x — переменная, по которой берётся производная; x — малое приращение переменной — шаг взятия производной.

Известно [13], что при использовании формулы (2.109) ошибка пропорциональна значению третьей производной

Если предполагать бесконечно высокую точность представления чисел, то чем меньше x , тем более высокую точность позволяют получить формулы (2.109), (2.110) и (2.111). Однако в компьютере точность представления чисел ограничена. Поэтому при достаточно малых значениях x , точность вычислений ухудшается. Если обозначить через относительную погрешность представления чисел в компьютере (например, для типа double ϵ≈10−15÷−16 ), то ошибку вычислений по формуле (2.109) можно оценить следующим выражением:

Отсюда следует, что оптимальный шаг дифференцирования, при котором ошибка будет минимальна определяется по формуле:

157

Если f ' ' ' x x окажется равно 0, то использование формулы (2.113) даст ошибку, которую нельзя трактовать однозначно. Это может быть и ситуация когда f ' ' ' x x действительно равна 0 и шаг дифференцирования на точность вычислений не влияет (на самом деле, при очень большом шаге погрешность может возникать из-за неточности представления чисел в компьютере, но практического значения это не имеет). С другой стороны может быть ситуация, когда шаг слишком маленький и из-за погрешностей представления чисел в компьютере отличие f ' ' ' x x от нуля не заметно. Теоретически возможно также случайное попадание в точку, в которой приближённая формула (2.111) даёт равенство 0, в то время как точное значение третьей производной отличается от нуля. Но на практике вероятность такого события пренебрежимо мала.

Поэтому, на x накладывается ещё два условия:

где символ следует понимать как «больше на 1-2 порядка», и

Найденный шаг дифференцирования используется также для вычисления второй f ' ' x (x) (2.110) и третьей f ' ' ' x x (2.111) производных.

Этот же алгоритм используется при вычислении частных производных функций нескольких переменных, что требуется в некоторых задачах оптимизации.

Например, если функция механического состояния шагающей машины () зависит от одной обобщённой координаты и её первой и второй производных

Значение функции Φ для любого момента времени, обобщённых координаты, скорости и ускорения может быть получено из теоретикомеханической модели путём задания соответствующего программного закона движения. Следовательно значения частных производных, которые могут понадобиться, могут быть найдены с помощью следующих разностных схем.

Φ0+0=Φ(q , q˙ +Δ q˙ , q¨ )

Φ0−0=Φ(q , q˙ − q˙ , q¨ )

Φ00+2=Φ(q , q˙ , q¨ +2 q¨ )

Φ00−2=Φ(q , q˙ , q¨ −2 q¨ )

2.6.3.Проверка разработанных теоретико-механических моделей

Адекватность разработанных теоретико-механических моделей была проверена по результатам натурных экспериментов для шагающих машин «Восьминог» (рисунок В.1), «Ортоног» (рисунок В.2), шагающих опор